Átomo de Hidrogênio 1

Transcrição

1 Átomo de Hidrogênio 1

2 Potencial central

3 Solução: separação de variáveis satisfaz a equação para qualquer valor de m l. g() deve satisfazer a condição m l deve ser inteiro. 3

4 Solução: separação de variáveis Constante de separação: l(l + 1) 4

5 Solução: separação de variáveis 5

6 Solução: separação de variáveis Equação associada de Legendre 6

7 Solução: separação de variáveis d d P ( z) m d z d z 1 z 1 z P ( z) 0. m P z z G z ( ) (1 ) ( ) (1 z ) G ( m 1) zg m ( m 1) G 0 com G dg dz and G d G dz 7

8 Solução: separação de variáveis (1 z ) G ( m 1) zg m ( m 1) G 0 G( z) a a z a z a z Seja D m ( m 1) Então: 0 { z } a Da0 0 1 { z } 6 a3 ( D ( m 1)) a1 0 { z } 1 a4 ( D 4( m 1) ) a 0 3 { z } 0 a5 ( D 6( m 1) 6) a3 0 Séries pares ou ímpares Se a 0 0 e a 1 =0 par a 0 =0 e a 1 0 ímpar 8

9 Solução: separação de variáveis (1 z ) G ( m 1) zg m ( m 1) G 0 G( z) a a z a z a z D m ( m 1) a ( m )( m 1) a ( 1)( ) >> 1: a + a para z = 1 a série diverge! Faremos a + = 0 para algum valor de ( ' m )( ' m 1) ' 0, 1,, ( 1) ' m 0, 1,, 3, m =, 1,..., 0,... 1, 9

10 Solução da equação angular 10

11 Solução da equação angular 11

12 Solução da equação radial V( r) Ze 4 r 0 Para simplificar, faremos as substituições E r Ze 4 0 S ( ) R( r ) 1 d ds 1 ( 1) S d d 4 0 1

13 Solução da equação radial 1 d ds 1 ( 1) S d d 4 0 Limites assintóticos: << 1 e >> 1 >> 1 1 d ds 1 d S ds d d d d d d S ds d r d S d 1 4 S. S / e ou S / e 13

14 Solução da equação radial 1 d ds 1 ( 1) S d d 4 0 S e F / ( ) ( ) << 1 ( 1) 1 F 1 F F 0 F( ) L( ) L (( 1) ) L ( 1) L 0. 14

15 Solução da equação radial L (( 1) ) L ( 1) L 0. L( ) a a a a { } ( 1) a0 ( 1) a1 0 1 { } ( 1 1) a1 4( 1) a 0 { } ( 1 ) a 6( 1) 6 a3 0 a 1 ( 1 ) a [( 1)( 1) ( 1)] 15

16 Solução da equação radial L( ) a a a a 0 1 a 1 ( 1 ) a [( 1)( 1) ( 1)] >> 1: a 1 / a 1/ L( ) e / S ( ) e F ( ) F( ) L( ) Precisamos truncar a série: 1 n 0 16

17 Solução da equação radial 17

18 Solução da equação de Schrödinger A função radial R e as esféricas harmônicas Y determinam a densidade de probabilidade para os vários estados quânticos. A função de onda depende de n, l, e m l. 18

19 Números Quânticos As condições de contorno impostas à função de onda levam às seguintes restrições nos números quânticos l and m l : l = 0, 1,, 3,... l < n, m l = l, l + 1,...,, 1, 0, 1,,. l., l 1, l m l l. As energias associadas às funções de onda dependem apenas do número quântico principal n (degenerescência!) n > 0, inteiro 19

20 Nomenclatura l = s p d f g h... Estados eletrônicos são nomeados por n e l. Um estado com n = e l = 1 é chamado estado p. As condições de contorno impõem n > l. 0

21 Resumo Três números quânticos: n Número quântico Principal l Número quântico de momento angular orbital m l Número quântico Magnético Das condições de contorno saem restrições sobre os números quânticos: n = 1,, 3, 4,... Inteiro l = 0, 1,, 3,..., n 1 Inteiro m l = l, l + 1,..., 0, 1,..., l 1, l Inteiro 1

22 Funções Distribuição de Probabilidade A partir das funções de onda calculamos as distribuições de densidade de probabilidade do elétron. A probabilidade de encontrar o elétron no elemento de volume dτ

23 Parte Radial da Função Distribuição de Probabilidade Elemento de volume em coordenadas esféricas: Portanto, 1 : normalização!! Dependência radial 3

24 Probabilidade radial R(r) and P(r) for the lowest-lying states of the hydrogen atom. 4

25 For all hydrogen like atoms, i.e. He +, Li ++ dp 1s / dr = 0 5

26 Distribuição espacial de probabilidade Módulo ao quadrado de Probabilidades por unidade de volume caem monotonicamente a zero quando r cresce, zero no infinito: o átomo isolado não tem um tamanho real 6

27 Essas figuras representam um volume para algum valor fixo de probabilidade, por exemplo 85 % Qualquer combinação linear de soluções é também uma solução 7

28 8

29 Momento angular e o número quântico l Classicamente, o momento angular orbital é L = mv orbital r para o movimento circular l e L se relacionam por. Se l = 0, Modelo de Bohr: L = nħ, n =1,, 9

30 Momento angular e o número quântico l 30

31 Momento angular e o número quântico l Hˆ E ˆ nm L Lˆ z nm ( m 1) nm nm 31

32 3 Momento angular e o número quântico l m n n m n E H ˆ m n m n z m n m n m L L ˆ 1) ( ˆ 1) ( sin 1)] ( [ sin ˆ ˆ * * d drd r d drd r L L m n m n m n m n

33 Momento Angular e princípio de incerteza (os operadores L x, L y, e L z não comutam entre si) Podemos determinar apenas a magnitude do momento angular e uma de suas componentes, a componente z (escolhida por convenção) 33

34 Quantização espacial, uma propriedade do espaço clássico 34

35 The Stern Gerlach experiment Um feixe de átomos de Ag (ou H) no estado com l = 1 atravessa um campo magnético não uniforme ao longo da direção z. Testando a quantização espacial e observando algo mais Há sempre um número PAR de compnentes!!! O estado m l = +1 será defletido para baixo, o estado m l = 1 para cima, e o estado m l = 0 não será defletido. Se a quantização espacial dependesse apenas do número quântico magnético m l, o número total de estados m l é sempre ímpar (l + 1) e deveria resultar em um número ímpar de feixes defletidos. 35

36 Para o estado 1s!!! l = 0, mas observa-se dois feixes!!! 36

37 Spin Intrínseco/ graus de liberdade internos Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck propuseram que o elétron deve ter um momento angular intrínseco e portanto um momento magnético. (grau de liberdade interno olhando de fora parece um momento magnético que tem o dobro da intensidade usual) Paul Ehrenfest mostrou que a superfície do elétron girando em torno do próprio eixo deveria se mover mais rápido que a velocidade da luz se for considerado como uma pequena esfera. Para explicar os resultados experimentais, Goudsmit and Uhlenbeck propuseram que o elétron deve ter umnúmero quântico de spin intrínseco s = ½. Wolfgang Pauli inicialmente considerou essas ideias risíveis, mas em seguida derivou o princípio de exclusão a partir delas 37

38 Spin Intrínseco O elétron girante reage a um campo magnético externo de maneira semelhante ao elétron orbitante. Valores análogos aos encontrados para L, L z, l, and m l. O número quântico magnético de spin m s tem apenas dois valores, m s = ±½. Nope, uncertainty principle! O spin eletrônico será sempre up ou down (novamente quantização espacial) e seu momento magnético μ s nunca será paralelo ao eixo z. Não há um eixo z preferencial, então essa propriedade deve valer para qualquer direção!!! Só dois valores possíveis então não há princípio de correspondência de Bohr, propriedade sem análogo clássico 38

39 Spin orbit coupling Hydrogen 39

40 Ground state Sodium, a single 3s electron 40

41 41

42 4 Propriedades gerais das transições radiativas Considere o elétron no estado nlm do átomo de hidrogênio Momento de dipolo elétrico: Suponha agora que o átomo está num estado de mistura r e qr p ) ( 0 ) ( * dv er p m n m n / ' ' ' / ' t ie m n t ie m n n n e e dv er e dv er e dv er dv er dv er p m n m n t i m n m n t i m n m n m n m n ) ( * * ) ( * * ) ( * ) ( * ) ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' * n E n E '

43 Interação com um campo externo E E 0 e it U p E 43

44 Transições eletrônicas No estado fundamental um átomo não pode emitir radiação. Ele pode absorver radiação ou ganhar energia através de colisões com outras partículas. 44

45 Regras de seleção Usamos as funções de onda para calcular o momento de dipolo da transição quando o elétron muda de um estado para outro. O módulo ao quadrado dessas quantidades dá as probabilidades de transição as intensidades das linhas espectrais são proporcionais a essas probabilidades. Transições permitidas: Elétrons absorvem ou emitem fótons para mudar de estado quando Δl = ±1 Transições proibidas: Outras transições são possíveis (por exemplo, interação com o campo magnético da radiação) mas ocorrem com probabilidade muito menor 45

46 Átomos multieletrônicos 46

47 Princípio de exclusão de Pauli: o estado de um elétron é descrito por 4 números quânticos, nenhum outro elétron no mesmo sistema pode ser descrito pelo mesmo conjunto de números quânticos Later: elétrons são férmions, apenas dois deles com spins diferentes pode ocupar um estado determinado por um conjunto de 3 números quânticos 47

48 Átomos multieletrônicos Z = 0 1s s p 6 3s 3p 6 4s (Ca) 1s s p 3s 3p 4s Z = 35 1s s p 6 3s 3p 6 4s 3d 10 4p 5 (Br) 1s s p 3s 3p 4s 3d 4p 48

49 Átomos multieletrônicos 49

50 50