O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

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1 FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA José Fernando Fragalli Departamento de Física Udesc/Joinville O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A elegância, a riqueza, a complexidade e a diversidade dos fenômenos naturais que decorrem de um conjunto simples de leis universais é parte integrante do que os cientistas querem dizer quando empregam o termo beleza E. Schrödinger Física Moderna I - O Átomo de Hidrogênio

2 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

3 O Modelo Atômico de Bohr 1. INTRODUÇÃO Como vimos, Niels Bohr ( ) propôs em 1913 um modelo atômico que levasse em conta a existência do núcleo e que estivesse de acordo com os resultados da espectroscopia de vapores atômicos. Emissão e absorção de energia no Átomo de Bohr Frase de Niels Bohr

4 1. INTRODUÇÃO Problemas do Modelo Atômico de Bohr Já discutimos anteriormente que Bohr resolveu o problema da instabilidade, intrínseca a qualquer modelo clássico, adotando o postulado que elétrons executam órbitas estacionárias em torno do núcleo. O Modelo Atômico de Bohr A instabilidade no Modelo Atômico de Bohr Sem este postulado, o elétron perderia energia a cada ciclo, e sua tendência seria colapsar em direção ao núcleo.

5 1. INTRODUÇÃO As ondas de matéria de De Broglie Em 194 Louis De Broglie apresentou a teoria das ondas de matéria em sua tese de doutoramento intitulada Recherches sur la théorie des quanta. Esta teoria traz em seu bojo o conceito de dualidade onda-partícula para a matéria. Comportamento ondulatório do elétron no átomo, segundo De Broglie Frase de Louis De Broglie

6 1. INTRODUÇÃO A equação de onda para o elétron Em 196 Erwin Schroedinger publicou o artigo Quantisierung als Eigenwertproblem. Neste artigo Schroedinger obteve uma dedução da equação de onda para sistemas independentes de tempo, e mostrou que fornecia autovalores de energia corretos para o Átomo de Hidrogênio. Frase de Erwin Schroedinger O gato de Schroedinger morto e vivo

7 1. INTRODUÇÃO A comprovação experimental das ondas de matéria Em 197 Davisson e Germer lançaram elétrons de baixa energia em direção a um cristal de níquel, observando um padrão de difração semelhante aos observados quando Raios-X eram lançados contra este cristal. Este resultado experimental confirmou a hipótese de De Broglie que a matéria poderia apresentar comportamento ondulatório. Davisson e Germer com o aparato emissor de elétrons A difração de elétrons e seu resultado experimental

8 1. INTRODUÇÃO As ondas de matéria e a estabilidade atômica Feita esta breve revisão histórica, vamos agora retomar o trabalho de Schroedinger sobre o Átomo de Hidrogênio. A base de seu trabalho está em considerar o elétron como um objeto ondulatório. Desta forma, o comportamento do elétron no Átomo de Hidrogênio deve obedecer a equação de onda desenvolvida por Schroedinger. Esta abordagem resolve o problema da estabilidade do átomo, pois não considera em qualquer momento uma trajetória a qual o elétron deve seguir.

9 1. INTRODUÇÃO As respostas fornecidas por Schroedinger Não havendo trajetória, não há porque o elétron ser instável, já que ele não segue uma equação de movimento que o faça estar acelerado ao redor do núcleo. Como veremos, a solução da Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio fornece a forma com a qual o elétron está distribuído ao sofrer a interação com o núcleo atômico. Fornece também as energias possíveis para este elétron. Mais importante, a solução indica que estas energias são constantes de movimento, e que portanto fornecem os estados estacionários, garantindo a estabilidade atômica.

10 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

11 . EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A Equação de Schroedinger: ideias gerais Entender o átomo sob o ponto de vista da Mecânica Quântica significa escrever e resolver a Equação de Schroedinger para o átomo. h Ψ r + Ψ r = Ψ r op µ ( r ) U ( r ) E ( r ) Dificuldade: escrever uma expressão para a interação entre os elétrons (cargas negativas) e o núcleo (cargas positivas) pertencentes a esta átomo.

12 . EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A Equação de Schroedinger: ideias gerais Átomo de Hidrogênio: tem apenas um elétron, logo tem a interação mais simples possível de ser tratada. Interação no Átomo de Hidrogênio energia potencial eletrostática entre um núcleo positivo e um elétron. U op r ( ) e = 1, C: carga elementar = e 1 4 π ε r Ι 0 Ι: operador identidade r: variável espacial que define a interação ε 0 = 8, C /N m : permissividade elétrica do vácuo

13 . EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A Equação de Schroedinger: a característica tridimensional Embora a interação dependa apenas da variável radial, é necessário escrever a Equação de Schroedinger em três dimensões (três graus de liberdade). h r e 1 r r Ψ Ψ = E Ψ µ 4 π ε r ( ) ( ) ( ) 0 : operador Laplaciano µ = 9, kg: massa do elétron Ι Ψ r r ( r ) = Ψ ( r ) h/ π = 1, J s: constante de Planck E : energia do elétron, constante de movimento

14 . EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A Equação de Schroedinger: o que a solução fornece A Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio fornece como solução o estado para o elétron. Estado função de onda Ψ (auto-função) e energia E (autovalor) com que o elétron está ligado ao seu núcleo. A função de onda nos informa como o elétron está distribuído, qual é portanto, a forma de seu orbital. A energia nos informa quais são as energias com as quais o elétron está preso (ligado) ao átomo.

15 . EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A Equação de Schroedinger: a escolha das variáveis Primeira dificuldade: escolher um sistema de coordenadas para escrever o operador Laplaciano adequadamente. Como a interação depende apenas da variável radial, o mais adequado é escolher o sistema de coordenadas esféricas, com as variáveis r, θ e φ. h r e 1 r r Ψ Ψ = E Ψ µ 4 π ε r ( ) ( ) ( ) 0

16 . EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A Equação de Schroedinger: coordenadas esféricas Vamos expressar então o operador Laplaciano em coordenadas esféricas. 1 = r + r r r 1 + sinθ + r sinθ θ θ + r 1 sin θ φ

17 . EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A Equação de Schroedinger Vamos agora substituir o operador Laplaciano na Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio. h 1 1 r Ψ ( r, θ, φ ) + sin θ Ψ ( r, θ, φ ) µ r r r r sinθ θ θ 1 e 1 + Ψ + Ψ = Ψ r sin θ φ 4 π ε0 r ( r, θ, φ ) ( r, θ, φ ) E ( r, θ, φ )

18 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

19 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A proposta de solução Para resolver esta equação diferencial, propomos uma solução do tipo ( r, θ, φ ) R( r) ( θ ) ( φ ) Ψ = Θ Φ R(r): função que depende apenas da variável radial r. Θ(θ): função que depende apenas da variável angular azimutal θ. Φ(φ): função que depende apenas da variável angular polar φ.

20 Após um árduo trabalhos obtemos a igualdade abaixo. sin θ d d sinθ d d r R( r) sinθ ( θ ) R r dr + Θ + dr Θ θ dθ dθ ( ) ( ) µ e 1 1 d + E r sin θ + = Φ h 4 π ε 0 r Φ ( φ ) dφ No lado esquerdo da igualdade: uma função que depende apenas das variáveis r e θ. O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A condição de solução No lado direito da igualdade: função que depende apenas da variável φ. ( φ ) AMBOS OS TERMOS DEVEM SER IGUAIS À MESMA CONSTANTE m. f(r,θ) = g(φ) f(r,θ) = g(φ) = m 0

21 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS O estabelecimento das igualdades Temos então que sin θ d d sinθ d d r R( r) sinθ ( θ ) R r dr + Θ + dr Θ θ dθ dθ ( ) O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO ( ) µ e 1 + E r sin θ m + = h 4 π ε 0 r 1 d Φ ( φ ) = Φ dφ ( φ ) m

22 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

23 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A equação na variável φ Estudemos agora a equação na variável φ. 1 d ( φ ) Φ φ dφ Φ = ( ) m Rearranjamos os termos desta equação e obtemos d ( φ ) m ( φ ) 0 dφ Φ + Φ =

24 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A solução na variável φ Temos então a seguinte equação diferencial d d Φ + Φ = φ ( φ ) m ( φ ) 0 Como sabemos, a solução desta equação diferencial é ( φ ) A e i m Φ = φ A e m: constantes a serem determinadas a partir de condições de contorno.

25 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A determinação da constante m A constante m pode ser determinada a partir de uma condição de contorno especial. Lembremos que a função de onda que é solução da Equação de Schroedinger deve ser continua em todo o espaço. A variável φ representa o ângulo polar, tal que os valores φ = 0 e φ = π representam o mesmo ponto.

26 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A condição de contorno Logo para que Φ seja contínua em todo o espaço, temos que a seguinte condição de contorno deve ser satisfeita ( φ 0) ( φ π ) Φ = = Φ = Esta igualdade nos leva a condição de existência da constante m. m Z m =... 3,, 1,0,1,,3,...

27 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Análise da solução para m Obtemos então a seguinte condição para a constante m m =... 3,, 1,0,1,,3,... A análise desta solução nos permite concluir que o comportamento quântico (grandezas discretas) surge naturalmente, apenas como conseqüência da solução da Equação de Schrödinger. À constante m (um número inteiro qualquer) dá-se o nome de número quântico magnético.

28 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS O número quântico magnético O número quântico magnético especifica a orientação permitida para uma nuvem eletrônica no espaço. O número de orientações permitidas está diretamente relacionado à forma desta nuvem eletrônica. m = 0 m = 1,0, + 1

29 A constante A pode ser determinada impondo o fato que a função de onda deve ser normalizada. Obtemos então O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A determinação da constante A A = 1 π 1 Φ ( φ ) = e i m φ m π m Z m=... 3,, 1,0,1,,3,...

30 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A forma provisória da solução geral Ψ m (r,θ,φ) Assim, temos que Ψ(r,θ,φ) é dada provisoriamente por 1 (, θ, φ ) ( ) ( θ ) Ψ i m m r = R r Θ e φ π m Z m =... 3,, 1,0,1,,3,...

31 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

32 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS As variáveis θ e r Vamos voltar agora nossa atenção à equação escrita em termos das variáveis θ e r. sin θ d d sinθ d d r R ( r) sin ( ) R( r) dr + θ Θ θ + dr Θ( θ ) dθ dθ µ e 1 + E r sin θ m + = h 4 π ε 0 r

33 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A separação das variáveis θ e r Após outro exaustivo trabalho obtemos a separação destas duas variáveis. 1 d d µ e 1 ( ) r R r E r ( ) R r dr + + = dr h 4 π ε 0 r m 1 d dθ( θ ) = sinθ sin θ sinθ θ dθ dθ Θ( ) No lado esquerdo da igualdade: uma função que depende apenas das variável r. AMBOS OS TERMOS DEVEM SER IGUAIS À MESMA CONSTANTE b. No lado direito da igualdade: uma função que depende apenas das variável θ.

34 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS As equações nas variáveis θ e r Temos então que 1 d d µ e 1 r R r E r l l 1 ( ) R r dr + + = + dr h 4 π ε 0 r m sin ( ) ( ) 1 d dθ( θ ) sinθ = l l + 1 θ sinθ θ dθ dθ Θ( ) ( )

35 Vamos agora estudar a equação na variável θ. m 1 d d sin sinθ Θ θ = l l + 1 θ sinθ θ θ θ ( ) ( ) Θ( ) d d Vamos rearranjar os termos desta equação. 1 sin O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A equação na variável θ d sin d ( ) ( 1) m θ θ l l ( θ ) 0 d Θ + + Θ = d sin θ θ θ θ Esta equação na variável θ leva um nome especial. Ela é uma das formas da chamada Equação Associada de Legendre.

36 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A solução da Equação Associada de Legendre A Equação Associada de Legendre é resolvida utilizandose a técnica de expansão em séries de potências. Uma boa fonte de consulta para entender o método das séries de potências para solução deste problema é o livro Equações Diferenciais aplicadas à Física de Kleber Daum Machado, a Edição. A solução do problema da Equação Associada de Legendre é apresentada no Capítulo 7 deste livro, pgs

37 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A solução da Equação Associada de Legendre Dada a complexidade do processo de solução, não a desenvolveremos aqui, deixando a cargo do estudante o interesse pela procura da solução. Assim, vamos apenas apresentar as soluções para a função Θ(θ). Vamos apresentar também a condição de existência da solução para Θ(θ), bem como comentar as conseqüências desta condição. 1 sin d sin d ( ) ( 1) m θ θ l l ( θ ) 0 d Θ + + Θ = d sin θ θ θ θ

38 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A solução da Equação Associada de Legendre A série de potência que é solução da Equação Associada de Legendre converge apenas quando também a constante b assume a forma b = l (l+1), onde l também é um número inteiro e positivo. O processo de solução mostra que a constante l além de ser um número inteiro e positivo deve ser tal que m = l, l + 1, l +,..., 1,0,1,,..., l, l 1, l l 1 sin d sin d ( ) ( 1) m θ θ l l ( θ ) 0 d Θ + + Θ = d sin θ θ θ θ

39 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A solução da Equação Associada de Legendre Desta forma, fixando o valor do número inteiro e positivo l, fixamos também os possíveis valores do número quântico magnético m. Repetimos aqui a Equação Associada de Legendre na variável θ e a condição de existência de solução. 1 sin d sin d θ ( θ ) l ( l 1) m Θ + + Θ ( θ ) = 0 θ dθ dθ sin θ m = l, l + 1, l +,..., 1,0,1,,..., l, l 1, l l

40 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS As Funções Associadas de Legendre: m > 0 A solução da Equação Associada de Legendre para a situação onde temos m > 0 é escrita na forma l+ m m 1 ( cos ) ( 1) m m d Θ θ l = sin cos 1 l l m l! θ cos θ + ( ) ( ) d ( θ ) ( ) l Não devemos nos esquecer que a condição de existência de solução é m = l, l + 1, l +,..., 1,0,1,,..., l, l 1, l l

41 Para encontrar a solução da Equação Associada de Legendre para a situação onde temos m < 0 fazemos m = l, l + 1, l +,..., 1,0,1,,..., l, l 1, l l O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS As Funções Associadas de Legendre: m < 0 ( l m ) ( l + m ) ( m ) m! Θ l ( cosθ ) = ( 1) Θl cos! ( m ) ( θ ) Não devemos nos esquecer que a condição de existência de solução é

42 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS As Funções Associadas de Legendre: exemplos Abaixo apresentamos algumas Funções Associadas de Legendre para valores de l = 0 e m = 0. l = 0 m = 0 0 ( ) Θ cosθ = 1 0

43 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS As Funções Associadas de Legendre: exemplos Abaixo apresentamos algumas Funções Associadas de Legendre para valores de l = 1 e m = 0,±1. m = ( θ ) Θ = 1 sin θ l = 1 m = 0 ( θ ) 0 Θ = 1 cosθ m = 1 ( θ ) 1 Θ 1 = sinθ

44 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS As Funções Associadas de Legendre: exemplos Abaixo apresentamos algumas Funções Associadas de Legendre para valores de l = e m = 0,±1±. l = m = m = 1 m = 0 m = 1 m = 1 Θ ( θ ) = sin Θ ( θ ) = cos θ sin θ 0 1 Θ = 3 cos 1 ( θ ) ( θ ) ( ) 1 Θ = θ 3 cosθ sinθ ( θ ) Θ = 3 sin θ θ

45 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Alguns gráficos das Funções Associadas de Legendre para m = 0 y = = y( x) = 1 ( 3 x 1) l = 1 ( x) x l = 3 l y( x) = 1 ( 5 x 3 3 x) l = 4 l = 5 l = 6 y ( ) 1 4 x = ( 35 x 30 x + 3) 8 y ( x) = 1 5 ( 65 x 70 x x) 8 y ( ) x = ( 16 x 315 x x 5) 16

46 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Alguns gráficos das Funções Associadas de Legendre para m = 0

47 O número quântico secundário (ou azimutal) l O número quântico secundário indica a forma do orbital e o valor do momento angular orbital associado a ele. Veremos mais à frente que o módulo do momento angular orbital é dado por Assim, temos que O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS ( 1) L = l l + h l = 0 m = 0 L = 0 Simetria Esférica. Orbital 1S

48 Para outros valores de l l =1 L = h O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS O número quântico secundário (ou azimutal) l l = L = 6 h

49 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A forma provisória da solução geral Ψ m (r,θ,φ) Desta forma, após a solução para a variável θ, temos que Ψ lm (r,θ,φ) é dada provisoriamente por 1 (, θ, φ ) ( ) m ( θ ) Ψ r = R r Θ e i m φ lm l π Θ lm (θ) é a Função Associada de Legendre de ordem l e m. * l Z l = 0,1,,3,... m Z m = l, l + 1, l +,..., 1,0,1,,..., l, l 1, l l

50 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

51 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS De volta à equação na variável r Voltemos à equação escrita em termos das variáveis r: 1 d d µ e 1 r R r + E r l l + = + R ( r) dr dr h 4 π ε 0 r ( ) ( 1) Fazemos as simplificações necessárias e rearranjamos os termos desta equação: ( l 1) 1 d d µ e 1 l + r R ( r) E R ( r) r dr + + = dr h 4 π ε 0 r r 0

52 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A solução para R(r) Após uma exaustiva para a função R(r). manipulação, obtemos a solução R 1 a0 1 a0 n a0 ( r) = e L ( r) l r nl l n = 1,,3,... = 0,1,,3,..., n 1 l Z * n Z ** Nesta equação, L nl (r) são os Polinômios de Laguerre de ordem n e l.

53 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A versão quase definitiva para a função de onda Ψ Apresentamos então a função de onda Ψ como sendo r l 1 1 ( ) n a r ( ) ( ) 0 m i m φ nlm r, θ, φ e L ( ) nl r l θ e a0 π a0 Ψ = Θ n Z ** m Z m n = 1,,3,... * l Z l = 0,1,,3,..., n 1 = l, l + 1,... 3,, 1,0,1,,3,..., l 1, l.

54 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Definições importantes A grandeza a 0 tem dimensão de comprimento e é conhecida como raio de Bohr. 4 π ε µ 0 e h = a 0 a 0 = 0,059 nm é o Raio de Bohr

55 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A energia do elétron ligado ao Átomo de Hidrogênio Por sua vez, a constante n (n Z ** ) está associada à energia do elétron ligado ao Átomo de Hidrogênio. Assim, obtemos para a energia do elétron: E µ e 4 1 = = n ( ) 4 π ε h n n 0 13,6 ev ** n Z n = 1,,3,...

56 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A energia obtida através da solução da Equação de Schroedinger Como vimos, obtemos a quantização da energia no Átomo de Hidrogênio. E I = 13,56 ev é a energia do estado fundamental no Modelo de Bohr µ e 1 n 13,56 = n 4 E n = ( 4 π ε 0 h) ev Novamente, é importante salientar que a única hipótese feita para chegar a este resultado é que a dinâmica do sistema elétron+próton é governada pela Equação de Schrödinger.

57 3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS A comparação entre as energias obtidas por Bohr e pela solução da Equação de Schroedinger Observe que este resultado é idêntico àquele obtido por Bohr em seu modelo atômico. E I = 13,6 ev é a energia do estado fundamental no Modelo de Bohr µ e 1 n 13,6 = n 4 E n = ( 4 π ε 0 h) ev Por outro lado, os princípios envolvidos em cada um dos modelos são totalmente diferentes!!!

58 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

59 4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO O Método de Separação de Variáveis: cálculo de alguns Polinômios de Laguerre L nl O cálculo dos Polinômios de Laguerre não é difícil de ser feito, embora seja extremamente trabalhoso. Para se ter uma ideia do quanto trabalhoso é este cálculo, basta dizer que temos que impor a condição de normalização da função de onda para cada par de índices n e l. Vamos nos limitar então a escrever a função de onda para cada trinca de números quânticos n, l e m para posteriormente interpretar este resultado.

60 4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A função de onda do estado fundamental Para n = 1, temos que l = 0 e m = 0. ( r) 1 Ψ = 100 ( ) 3 π a0 e r a 0 Ψ 100 apresenta simetria esférica, pois depende apenas da variável r E = 13, 56 1 ev

61 4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Uma das funções de onda do primeiro estado excitado Para n =, podemos ter l = 0 e m = 0. 1 r Ψ ( ) 00 r = 1 e 3 8 π a a0 ( ) 0 r a 0 Além disso, Ψ 00 também apresenta uma posição onde ela é nula, que ocorre em r = a 0 Ψ 00 também apresenta simetria esférica, pois depende apenas da variável r E = 3, 40 ev

62 4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas funções de onda Para n =, podemos ter também l = 1 com m = 1, m = 0 e m = 1. Ψ 11 ( r θ, ϕ) 1 = 8 π 1 ( a ) r a e r a, 0 0 3/ 0 sinθ e i ϕ Ψ ( r θ ) 4 1 π 0 10, = e 1 ( a ) 0 3 / r a 0 a r cosθ Ψ 1 1 ( r θ, ϕ ) 1 = 8 π 1 ( a ) r a e r a, 0 0 3/ 0 sinθ e i ϕ E = 3, 40 ev

63 4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas funções de onda Para n = 3, podemos ter l = com m =, m = 1, m = 0, m = -1 e m = -. Ψ 3 ( r θ, ϕ) ( a ) r a 1 1 r 0, = e 3/ 8 π a 0 0 sinθ e i ϕ Ψ ( r θ ) 4 1 π 0 10, = e 1 ( a ) 0 3 / r a 0 a r cosθ E = 1, 51 3 ev

64 4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas funções de onda Para n = 3, podemos ter l = 1 com m = 1, m = 0 e m = -1. E = 1, 51 3 ev

65 4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas funções de onda Para n = 3, podemos ter l = 0 com m = 0. E = 1, 51 3 ev

66 1. Introdução. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio 3. O Método de Separação de Variáveis a. O Número Quântico Magnético b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos Esféricos c. O Número Quântico Principal e a Quantização da Energia 4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio 5. O Spin do Elétron

67 Um pouco de história O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 5. O SPIN DO ELÉTRON Em 19, Otto Stern ( ) e Walther Gerlach ( ) planejaram um experimento para determinar se elétrons têm momento de dipolo magnético intrínseco. É importante frisar que este experimento foi conduzido tendo em mente o Modelo Atômico de Bohr. Otto Stern ( ) Walther Gerlach ( )

68 5. O SPIN DO ELÉTRON Descrição do arranjo experimental O arranjo experimental do experimento de Stern-Gerlach é mostrado abaixo. O aparelho de Stern-Gerlach consiste essencialmente num imã produzindo um campo magnético não uniforme.

69 O experimento O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 5. O SPIN DO ELÉTRON Um feixe de átomos penetra no imã numa direção perpendicular ao gradiente do campo magnético. Em consequência da interação do seu momento de dipolo magnético intrínseco (spin) com o campo magnético, os átomos sofrem uma deflexão na sua passagem pelo campo. Na saída do imã, os átomos são detectados por contadores, que podem eventualmente atuar como filtros.

70 5. O SPIN DO ELÉTRON Interpretação do experimento Pode-se mostrar que um campo magnético não uniforme aplica sobre um momento de dipolo magnético uma força na direção do gradiente do campo.

71 A força defletora O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 5. O SPIN DO ELÉTRON O valor da força é proporcional ao gradiente do campo e à componente do momento de dipolo magnético na direção deste gradiente. F z = µ z B z z

72 5. O SPIN DO ELÉTRON A força defletora e o momento de dipolo magnético Esta força provoca um desvio na trajetória da partícula. O desvio depende do momento de dipolo magnético da partícula. Partículas com diferentes valores de µ z sofrem diferentes desvios e se chocam com o anteparo em alturas diferentes. F z = µ z B z z

73 Detalhes do experimento 5. O SPIN DO ELÉTRON No experimento de Stern-Gerlach as partículas são átomos neutros de prata (Ag) obtidos por evaporação do metal em um forno. Átomos de prata deixam o forno pela abertura, com uma distribuição de velocidades determinada pela temperatura do forno. Os átomos de prata que conseguem passar pelos colimadores tem uma velocidade praticamente horizontal. F z = µ z B z z

74 5. O SPIN DO ELÉTRON Mais detalhes do experimento O feixe de átomos colimado atravessa a região de gradiente de campo magnético, onde cada átomo é desviado de acordo com seu valor de µ z. Assim, o aparato de Stern-Gerlach divide o feixe de átomos original em tantos feixes quantos os forem os valores de µ z presentes. Por causa da dispersão na distribuição das velocidades, os feixes de cada µ z são alargados. F z = µ z B z z

75 5. O SPIN DO ELÉTRON Resultados do experimento de Stern-Gerlach Os átomos de prata são divididos em dois feixes: um para cima, que corresponde a +µ B e outro para baixo, que corresponde a -µ B.

76 Um pouco de história O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 5. O SPIN DO ELÉTRON A partir dos resultados obtidos por Stern e Gerlach, em 195, Samuel A. Goudsmit ( ) e George Eugene Uhlenbeck ( ) sugeriram que o elétron possui um momento angular intrínseco. Eles denominaram este momento angular intrínseco de spin. Samuel Goudsmit ( ) George Uhlenbeck ( )

77 Mais um número quântico 5. O SPIN DO ELÉTRON O elétron (e outras partículas como o próton e o nêutron) possui um outro grau de liberdade além dos representados pelas três coordenadas espaciais. Assim, ele têm um outro número quântico, associado a um momento angular, adicional ao momento angular orbital, que chamamos de momento angular de spin. Embora o nome dado possa induzir a erro, não se trata de um momento angular devido a rotação do elétron em torno de si mesmo pois, até onde sabemos o elétron não tem estrutura.

78 5. O SPIN DO ELÉTRON Interpretação deste momento angular intrínseco Uma componente qualquer do momento angular de spin do elétron, S z por exemplo, admite apenas os valores 1 S z = ± h Como vemos o momento angular de spin admite apenas múltiplos semi-inteiros da quantidade elementar h/π.

79 É importante salientar aqui que o momento angular de spin é um momento angular. Desta forma, as variáveis dinâmicas a ele associadas têm autovalores exatamente similares aos correspondentes do momento angular orbital. Logo, temos que O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 5. O SPIN DO ELÉTRON Propriedades do momento angular de spin L = l l ( + 1) h S = s s ( + 1) h L = m z l h S z = m s h m s = s, s + 1,..., s 1, s

80 5. O SPIN DO ELÉTRON Propriedades do momento angular de spin A diferença entre o momento angular orbital e o de spin é que no caso orbital para o elétron, l pode admitir qualquer inteiro positivo, incluindo o zero. Já no caso do spin do elétron, a única possibilidade é que s = ½. Assim, podemos ter apenas m s = ½ e m s = - ½. S z+ = + 1 h S z = 1 h Também nos referimos como spin para cima e spin para baixo ou spin + e spin ou e.

81 A partir deste resultado, associamos a este momento angular intrínseco o número quântico de spin m s. m s = + 1 S z+ O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO O número quântico de spin = + 5. O SPIN DO ELÉTRON 1 h Assim, para a descrição do estado quântico de um elétron é necessário, além de especificar a função de onda Ψ nlm, especificar também o seu estado de spin, isto é m s = 1 S z = 1 h Ψ nlm l m s

82 Os estados de energia O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 5. O SPIN DO ELÉTRON Um auto-estado de um elétron no átomo de hidrogênio, por exemplo, pode ser especificado por n, l, m l e m s. Na teoria de Schrodinger a energia do elétron é independente do spin, e as funções de onda são idênticas para os estados com m s = ½ e m s = - ½. Assim, a degenerescência de um nível n, que era n devido à multiplicidade de l e m (n valores para l e l+1 valores de m l para cada l), passa a ser n devido à degenerescência de spin.

83 5. O SPIN DO ELÉTRON O Spin e a ressonância magnética Além do elétron, muitas partículas elementares possuem a propriedade de spin. No caso do próton, seu spin é usado para obter imagens pela técnica conhecida como ressonância magnética nuclear.

84 5. O SPIN DO ELÉTRON O Spin e a ressonância magnética O campo magnético externo abre os níveis de energia devido ao spin nuclear.

85 5. O SPIN DO ELÉTRON O Spin e a ressonância magnética A relaxação do spin produz uma ondas eletromagnética que é convertida em imagem.