A simetria entre o modelo de Bohr e a dualidade de de Broglie (Ensaios Numéricos)

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1 VI Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte e Nordeste de Educação Tecnológica (Aracajú-SE-20) A simetria entre o modelo de Bohr e a dualidade de de Broglie (Ensaios Numéricos) Moraes, B.T.F. e Laerte Lopes da Costa Coordenação de Física, IFPA, CEP , Belém, PA-Brazil tadeu.moraes@ifpa.edu.br Neste trabalho a simetria entre o modelo de Bohr e a dualidade de de Broglie, proposta para o comportamento do elétron no átomo de hidrogênio, é evidenciada através de ensaios numéricos de medidas sobre as grandezas físicas relacionadas ao movimento da partícula e à onda associada nos estados estacionários, onde é permitido ao elétron ocupar sem irradiar. Os resultados possibilitam nova investigação sobre os espectros atômicos. Palavras-chave: Modelo de Bohr, dualidade, espectros atômicos. INTRODUÇÃO De Broglie, assim como Bohr, utilizou o modelo de uma partícula carregada em MCU, cujo centro do movimento se encontra o núcleo. Grosso modo, a diferença é que de Broglie postulou a existência de uma onda associada à partícula e utilizou a teoria da relatividade restrita para justificar seu modelo, porém encontrou a mesma quantização para o momento angular, em 924. Isso motivou os autores do presente trabalho a desenvolver ensaios numéricos para os dois modelos e assim verificar a simetria dos resultados. 2. ESPECTROS ATÔMICOS E OS RESULTADOS DE BOHR A espectroscopia é uma técnica importante para estudar o arranjo dos elétrons nos átomos. Em 885, Balmer mostrou que o comprimento de onda (λ ) de qualquer linha do espectro visível do hidrogênio pode ser dada pela fórmula empírica: 2, 3,4,5, 0 onde,, , x0 m é o valor experimental da constante de Rydberg. A Figura mostra o espectro da radiação emitida em função do comprimento de onda:

2 Visível n= espectro contínuo A)= 6562,8 486,3 4043,5 40,7 3645,6 vermelho azul violeta ultravioleta Figura (limite de convergência) Após o avanço dessa técnica novas séries de linhas espectrais foram obtidas por Lyman, Parchen, Brackett e outros. De um modo geral, essas séries são representadas por:,, 2, 02 com inteiro e o comprimento de onda da radiação emitida na transição entre os estados e. Em 93, Bohr quantiza o átomo postulando que o momento angular do elétron é múltiplo de ( 2, onde é constante de Planck), ou seja, para um estado- qualquer:, onde é um número inteiro. Essa quantização possibilitou os seguintes resultados: a) A determinação da constante de Rydberg 8 03 onde, c é a velocidade da luz;, é a permissividade elétrica do vácuo; m, a massa do elétron e e, a sua carga. Os valores numéricos destas constantes substituídas em (03), fornecem:, (sem correção da massa nuclear), (com correção da massa nuclear); b) O momentum do elétron no estado-,. 04 c) A magnitude da energia do elétron no estado- : ou, onde 4 e são os raios atômicos que obedecem a forma discretizada:, com 2 sendo o raio de Bohr. d) A freqüência efetiva do elétron no estado- : 2.

3 e) A freqüência da linha espectral emitida na transição do elétron do estado- para o estado- :. 07 Com esses resultados, podemos estimar numericamente os valores de,,, e do momento do elétron em cada estado. Calculamos para,2,3,4, como é mostrado na Tabela. Estado ( (ev) 3, , , , ( A) 0, , , , , , , , (0 2, , , , , , , , Tabela 3. A HIPÓTESE DE DE BROGLIE E AS TRANSIÇÕES ATÔMICAS Em 924, de Broglie postulou que elétrons e outras partículas formadoras de matéria possuem onda associada. Sua hipótese revela a dualidade, matematicamente representada pela relação: 08 onde, é o comprimento de onda associado à partícula de massa. O momento angular quantizado por Bohr significa, então, que nos estados em que é permitido ao elétron permanecer sem irradiar, a onda associada a ele é estacionária e obedece à condição: Nessa construção, encontramos que para o estado-, a onda associada possui: a) Momentum ; 0 b) Energia (*) 2 ; c) Velocidade. 2 Adicionalmente, com a troca de energia e momentum entre partícula e onda no estado-i, estabelece-se uma relação entre suas velocidades (*) :. 3 É possível, então, compararmos as expressões (0), () e (2) com o conjunto de equações fornecidas pelo modelo de Bohr, uma vez que assumindo os valores para,2,3,4, encontramos valores numéricos para as grandezas relacionadas à onda, conforme a Tabela 2.

4 Estado ( (ev) 3, , , , ( A) 0, , , , , , , , (0 2, , , , , , , , Tabela 2 Finalmente, as frequências dos fótons nas transições atômicas podem ser obtidas combinando a equação (7) com a equação (), resultando (*) 2. 4 Para exemplificar este resultado calculamos a freqüência da linha espectral, na unidade 0, para todas as possibilidades de saltos quânticos, conforme a Figura 2, onde obtemos: a ) na transição direta 4 : 3, Transições Estados 4 b) nas transições indiretas 4 3 : 0, : 0, : 0, : 2, : 2, Figura 2 A conservação da energia é então verificada, pois a transição atômica em (a) também é fornecida pela relação de Ritz, através das possibilidades de transição dadas em (b), onde são satisfeitas as seguintes relações:. 5 Infere-se, portanto, que a Equação (4) é uma outra maneira de expressar a fórmula geral da espectroscopia dada pela Equação (02). Corrobora-se ao fato a determinação da constante de Rydberg, considerando, por exemplo, que na transição 3 2, o comprimento de onda associado à emissão (ou absorção) entre os estados 3 e 2, vale: 6560,8453, onde é a velocidade da luz. Este é o valor do comprimento de onda associado à linha no espectro visível do hidrogênio na série de Balmer, cuja substituição na Equação (02) resulta em absoluto acordo com os resultados de Bohr para a constante de Rydberg. 4. CONCLUSÃO O presente trabalho ratifica a simetria entre o modelo de Bohr e a hipótese da dualidade de de Broglie através de ensaios numéricos e das expressões matemáticas para a partícula e sua onda

5 associada nos estados estacionários. O objetivo central foi mostrar que a equivalência entre esses modelos teóricos é satisfeita analítica e numericamente. Os ensaios são considerados para o número quântico assumindo os valores,2,3,4, cujos os cálculos obtidos para a energia e o momentum apresentam percentual de erro desprezível quando são comparados os resultados para a partícula e para a onda. Outro resultado interessante é a determinação da constante de Rydberg, onde o valor encontrado experimentalmente é confrontado, aqui, considerando o caráter dual do elétron. Esses resultados possivelmente nos remetem a trabalhos futuros envolvendo estados estacionários e às interações da radiação com a matéria. 5. REFERÊNCIAS [] Bohr, N., On the Constitution of Atoms and Molecules, Philosophical Magazine S.6, 26 (5), -25 (93). [2] De Broglie, L. V. P. R., Comptes Rendus de l Academie des Sciences de Paris 77, pgs. 507; 548; 630 (923). [3] Nussenzveig, H.M., Curso de Física Básica Ótica, Relatividade, Física Quântica, Vol.4, pgs. 260; 26; 267. Editora Blucher. São Paulo-SP (998). [4] Born, M., Física Atômica. Editora Calouste Gulbekian, 4ª Edição. Lisboa (969). [5] (996).

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