Desenvolvimento. Em coordenadas esféricas:

Transcrição

1 Desenvolvimento Para que possamos resolver a equação da onda em coordenadas esféricas, antes é necessária a dedução do operador Laplaciano nessas coordenadas, portanto temos: Em coordenadas esféricas: 1

2 2

3 3

4 Somando: Obtém-se: Em coordenadas esféricas. 4

5 Solução da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas Usando o método da separação de variáveis: Dividindo toda a equação por temos: 5

6 Como esperamos que a solução varie harmonicamente com o tempo, fazemos: Multiplicando a equação por : Multiplicando a equação por : Multiplicando a equação por : 6

7 Como é periódica de período Multiplicando a equação por : Dividindo a equação por : Fazendo uma mudança de variável Substituindo em 7

8 Sob esta forma, esta equação lembra a equação de Legendre: Para explorar esta semelhança, faremos uma segunda mudança de variável. 8

9 Substituindo em : Portanto, se fizermos esta equação será satisfeita pelas -ésima derivada de voltando à equação em R. 9

10 Fazendo x=mr e R(r) Y(x) Substituindo na equação 10

11 Comparando com a equação de Bessel modificada: Como inteiro inteiro A solução é do tipo: 11

12 (*) Agora consideremos uma função já conhecida denominada Harmônica esférica e seja: O autovalor λ será determinado pela segunda equação *Y( ) deve ser finito para 0 ϕ π e para 0 θ 2π+, e teremos funções características Y λ(ϕ,θ) correspondentes a estes auto autovalores. Então, toda a função ψ k poderá ser descrita por uma superposição do tipo ψ k (r) = C λ R λ (r)y λ (ϕ,θ). Observação: A soma em relação a λ deve ser considerada simbólica, pois ainda não exploramos a natureza do espectro de λ: se é continuo ou discreto, se há ou não degenerescências. Para determinarmos os valores permissíveis de λ, completamos a separeção de variáveis, fazendo Y( ϕ, θ) = Θ(ϕ)Φ(θ). Isso conduz às equações, 12

13 Que já resolvemos. Sabemos que o espectro de λ 1 é discreto, e consta de λ 1 = -m²(m = 0,1,2,...), e as funções características podem ser definidas como segue. Para m=0, e para m 0 Φ 0 (θ) = 1, cos mθ Φ m (θ) = ou sen mθ Estas funções são ortogonais entre si e suas integrais de normalização são É conveniente agora termos estas funções características normalizadas de modo a terem norma 1, multiplicando-as por constantes apropriadas de maneira que todas as integrais de normalização sejam iguais à unidade. Esta condição define as funções normalizadas Φ 0 (θ) = (m =0), Φ m (+) (θ) = Φ m (-) (θ) = (m 0), onde os símbolos (+) e (-) nos lembram que estas funções são pares ou ímpares com relação à mudança θ - θ. No que concerne às funções Θ, sabemos que o espectro de λ é também discreto, com: λ = - l ( l + 1 ) ( l = 0,1,2,3,...) 13

14 Mas para que um m dado, devemos ter l m. As soluções da equação em Θ são as funções de Legrendre associadas P l m (cos ϕ). É conveniente normalizá-las para também terem norma um, definindo Θ l m (cos ϕ) = P l m (cos ϕ), de maneira que ϕ = Deveria agora estar claro que a equação dos autovalores Possui os autovalores λ = - l (l + 1) (l = 0,1,2,...), Que são, contudo, degenerados (exceto se l=0), pois para cada valor fixo de l temos várias funções características, ou seja E assim, sucessivamente, até Assim, cada valor de l corresponde a (2l+1) funções características distintas, e assim exibe uma degenerescência de ordem (2l+1). 14

15 Definimos agora as soluções fundamentais da EDP( satisfeitas as condições de contorno apropriadas) Por meio das fórmulas (m 0) Estas soluções podem ser chamadas de harmônicas esféricas (na definição clássica). Segue-se que a série de Ψ k (r) do tipo ] Deveria, em realidade, ser da forma Suponha que r seja fixo; então torna-se uma função somente de e estamos lidando com uma expressão do tipo 15

16 Este desenvolvimento em série é válido para uma função arbitrária sujeita a condições usuais semelhantes ás exigidas para as séries de Fourier, séries de Fourier- Legendre, séries de Fourier-Bessel e outras. Os coeficientes do desenvolvimento são obtidos multiplicando pela harmônica esférica correspondente e pelo fator, e integrando em relação aos ângulos: Portanto verificamos a solução formal de ( ): 16

17 Conclusão Podemos concluir que as soluções satisfazem a equação da onda e podemos resolver inúmeros problemas com combinações de condição de contorno diferentes. Estes resultados nos permitem presumir o comportamento de uma onda esférica no espaçotempo. Referências: Notas de aula, solução da equação da onda esférica A. S. De Assis Teoria do Eletromagnetismo Vol 1, Kleber Daum Machado, editora UEPG, Ponta Grossa, Mathematical Physics Eugene Butkov, Addison-Wesley, New York,