Aula 12. (quase) Tudo sobre os átomos. Física Geral F-428

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1 Aula 1 (quase) Tudo sobre os átomos Física Geral F-48 1

2 Algumas propriedades atômicas: Átomos são estáveis (quase sempre); Os átomos podem ser agrupados em famílias (propriedades periódicas, com o número atômico); Átomos emitem e absorvem radiação eletromagnética com espectros discretos (não com qualquer ) ; Os átomos possuem momento angular e magnético; Os átomos se combinam (como o fazem é bem descrito pela mecânica quântica).

3 A tabela periódica dos elementos 3

4 Propriedades periódicas energia de ionização 4

5 Propriedades periódicas raio atômico Número de elementos em cada período:, 8, 8, 18, 18, 3 5

6 Absorção e emissão de luz: propriedades atômicas & teste da teoria 6

7 O modelo de ohr: nem mesmo é tão bom assim para o H, muito menos para outros elementos... 7

8 Recordando: A equação de Schrödinger e o átomo de H O poço de potencial coulombiano em que o elétron está confinado tem a forma: U r e r A equação de Schrödinger nesse potencial: m ( r ) U( r ) ( r ) E ( r ) 8

9 Coordenadas esféricas: r r,, 9

10 A equação de Schrödinger e o átomo de H Como o potencial coulombiano só depende de r, a função de onda pode ser separada (em coordenadas esféricas). Isto produz três equações diferenciais separadas, para as coordenadas eletrônicas do átomo de H! r,, R r Θ Φ símbolo valores n número quântico principal (Energia) l número quântico orbital (Módulo do Momento Angular Orbital) m número quântico magnético (Orientação do Momento Angular Orbital) n 1,, 3, l 0,..., n-1 m -l,..., l 10

11 Para estes estados, as soluções da equação de Schrödinger... n, l, m r,, l R nl r Θ lm Φ m... são bem comportadas!! 11

12 A equação de Schrödinger e o átomo de H O número quântico orbital l corresponde aos estados: l = 0, 1,, 3, 4,... (s, p, d, f, g) 3s 3p 3d E 0 / 9 (3,0,0) (3,1,0) (3,1,1) (3,1,-1) (3,,0) (3,,1) (3,,-1) (3,,) (3,,-) (,0,0) (,1,0) (,1,1) (,1,-1) E 0 / 4 s p nlm (r ) 1 E 0 1s E n n (1,0,0) (n,l,m) 1

13 Momento angular orbital Na solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio temos: Quantização do momento angular orbital de acordo com: L l( l 1) L l(l 1) 0 l n 1 L z m Note a diferença com a previsão de ohr! 13

14 Momento angular e momento magnético Momento magnético orbital: orb e m L orb e m l( l 1) 14

15 Momento angular e momento magnético orb orb Momento magnético orbital: e m e m l( l L 1) e m l ( l 1) Momentos angulares não são medidos diretamente. Medimos o momento magnético através de suas componentes paralelas a um campo magnético. magneton de ohr 15

16 E a direção do?? L Precisamos definir uma direção no espaço p.ex., direção z dada por um ; A componente L z não pode assumir um valor qualquer, mas está restrita a apenas alguns valores: chama-se esta propriedade de quantização espacial. 16

17 Componente z do momento angular orbital: Número quântico magnético: m l L z m l orb, z m l 17

18 Experimento de Einstein de Haas (1915): momento magnético dos átomos cilindro de Fe L rot µ O experimento mostrou conexão entre uma propriedade magnética do material (no caso, o ferro) e o momento angular. L at 18

19 Momento magnético atômico (orbital): Cálculo Clássico (baseado em correntes moleculares no material) L m r r 1 i e A e T r r e m dq dt r e m L L e 19

20 Além do momento angular orbital, o elétron tem também um outro momento angular, que lhe é intrínseco : não importa qual movimento o elétron está descrevendo, ou em que átomo ele está ligado, não importa nada: o elétron sempre terá este momento angular intrínseco. 0

21 O experimento de Stern Gerlach (19) Por que Ag? Z= s 1 4d 10 Por que não homogêneo? 1

22 O que exatamente Stern e Gerlach estavam procurando?? Resp.: Evidências da quantização espacial

23 O experimento de Stern Gerlach Foi realizado com um feixe de átomos de prata, saindo de um forno quente, porque podia ser facilmente detectado em uma emulsão fotográfica; Os átomos de prata (Z=47) permitiram o estudo das propriedades magnéticas de um único elétron, pois esses átomos têm um único elétron exterior que se move em um potencial coulombiano produzido por 47 prótons do núcleo, blindados por 46 elétrons de caroço; Como o elétron externo tem momento angular orbital nulo (l = 0), esperava-se que a interação com um campo magnético externo só seria possível se existisse o momento de spin. 3

24 O experimento de Stern Gerlach U F z U z g z z z z E K 4

25 Stern-Gerlach: Curiosidade histórica 5

26 Qual foi o resultado do experimento? 6

27 Stern-Gerlach: Curiosidade histórica stern-gerlach Otto Stern ( ) Nobel de Física: 1943 Walther Gerlach ( ) 7

28 Momento angular de spin: Componente z do momento: Spin do elétron S s( s 1) ; s S z m s ; ms 1 1 Momento magnético de spin: S e m S e ; S s( s m s, z m s s, z 1) Fator "g" do elétron*: g s =,003: s, z gs ms m g l = 1: g m m ; m s l, z l l l l l, *O fator g s do elétron é uma das grandezas medidas com maior precisão na Física, com uma incerteza relativa de.6 x l 8

29 Momento angular total do elétron no átomo de H J total L S Para somarmos os dois momentos angulares há uma regra: j= l-s,...,(l +s) de 1 em 1... J J L S j j 1 Portanto, os valores possíveis para j (quando l não for 0) são: j= l ½ J z m j 9

30 Um exemplo... 30

31 Números quânticos: Número quântico principal n já aparece no modelo de ohr Novos números quânticos, associados ao momento angular orbital (l, m l ) e de spin (m s ) Momento magnético: e m L l l(l n orbital n 1 ( r, t), l,, E n 1) L z m l m l m s m l l, l 1,..., orb e m m L 4 me 8 h 0 1 n s( s 1) 13,6 ev n Exemplo de efeitos devidos aos novos números quânticos: Desdobramento das linhas espectrais na presença de campos externos l S S z m s m s s,.., spin ; e m m s S ; m s orb, z l s, z s S s

32 A estrutura fina do H: Estados caracterizados pelo número quântico j, relativo ao momento angular total J= L + S n = 4 n = 3 n = 3s ½ p 3/ j=3/ j=1/ j = 7/ j = 5/ j = 3/ j = 1/ j = 5/ j = 3/ j = 1/ s ½ p ½ n = 1 j=1/ l = 0 l = 1 l = l = 3 3

33 Há outros efeitos no átomo de hidrogênio que não estão incluídos na equação de Schrödinger, que causam a quebra das várias degenerescências. O efeito mais importante é: Interação do elétron só com o campo interno do átomo ( i 1 Tesla) + Correção relativística da energia dos elétrons "Estrutura Fina" Splitting: separação ev 33

34 Quebra sucessiva das degenerescências Hidrogênio segundo Schrödinger (confirma o modelo de ohr) 34

35 Ressonância magnética U U l h U high U low z ( z) z e m Energia absorvida na região de radiofreqüências: U l h hf z 35

36 Comparação entre ressonâncias: spin eletrônico nuclear ( sob campo externo = 1 T ) hf z z A freqüência de Larmor corresponde ao modo natural do sistema. 36

37 Freqüências de ressonância Partícula Spin Larmor / s -1 T -1 / Elétron 1/ x GHz/T Próton 1/.6753 x MHz/T Deutério x MHz/T Neutron 1/ x MHz/T 3 Na 3/ x MHz/T 31 P 1/ x MHz/T 14 N x MHz/T 13 C 1/ x MHz/T 19 F 1/.518 x MHz/T 37

38 Imagem por ressonância nuclear magnética Os prótons dos tecidos do corpo humano estão situados em muitos ambientes magnéticos diferentes. Quando o corpo é submetido a um campo magnético externo, as diferenças dos campos locais podem ser detectadas e processadas em computador, gerando uma imagem (semelhante à obtida por raios X). 38

39 Resumo da aula: Níveis de energia do átomo de H; Momento angular orbital para os vários estados; Momento angular de spin do elétron; Momento angular total; Momentos de dipolo magnético; Quebras de degenerescência dos estados; Aplicações em ressonância magnética. 39

40 Na próxima aula iremos abordar átomos com mais de um elétron! 40

41 Problema 40.8 Suponha que existam dois elétrons no mesmo átomo, ambos com n= e l=1. (a) Quantos estados são possíveis para estes dois elétrons? (Não se esqueça de que não existe nenhuma diferença entre os dois elétrons.) (b) Se o princípio de exclusão de Pauli não existisse, quantos estados seriam possíveis? n ; l 1 l+1 valores de m l : 6 estados possíveis para cada elétron!! m l 1, 0,1.1+1=3 valores de m l valores de m s : +1/ -1/ m l m s +1/ -1/ +1/ -1/ +1/ -1/ C m, n n! m! m n! Combinação de 6 dois a dois!! Sistema de elétrons! A ordem não importa! sem repetição 3 6! 6 5 4! 6 5 C6,! 4! 1 4! estados 41

42 Problema 40.8 Suponha que existam dois elétrons no mesmo átomo, ambos com n= e l=1. (a) Quantos estados são possíveis para estes dois elétrons? (Não se esqueça de que não existe nenhuma diferença entre os dois elétrons.) (b) Se o princípio de exclusão de Pauli não existisse, quantos estados seriam possíveis? n ; l 1 Outra abordagem!!! l+1 valores de m l : m l 1, 0,1.1+1=3 valores de m l valores de m s : +1/ -1/ Para o primeiro elétron, há 6 estados possíveis. Para o segundo, há 6-1=5 estados possíveis. Estado já escolhido pelo elétron 1. Sendo assim, temos 6 x 5 = 30 combinações (estados possíveis). MAS... m 1, Elétrons são indistinguíveis e contamos a mesma configuração duas vezes! l, ms m 1 s, m, 1 l 1 1 1, 1,, 1,, Temos que dividir por!! Número de estados disponíveis: 15 estados!! 4

43 Problema 40.8 Suponha que existam dois elétrons no mesmo átomo, ambos com n= e l=1. (a) Quantos estados são possíveis para estes dois elétrons? (Não se esqueça de que não existe nenhuma diferença entre os dois elétrons.) (b) Se o princípio de exclusão de Pauli não existisse, quantos estados seriam possíveis? m l1 m s1 m l m s 1 +1/ 1-1/ 1 +1/ 0-1/ 1 +1/ 0 +1/ 1 +1/ -1 +1/ 1 +1/ -1-1/ 1-1/ 0-1/ 1-1/ 0 +1/ 1-1/ -1 +1/ 1-1/ -1-1/ 9 estados Ou simplesmente contando... n ; l 1 1, 0, 1 m l1 m s1 m l m s 0 +1/ 0-1/ 0 +1/ -1 +1/ 0 +1/ -1-1/ 0-1/ -1 +1/ 0-1/ -1-1/ -1 +1/ -1-1/ 6 estados Total: 15 estados! m l valores de m s : +1/ -1/ Sem exclusão de Pauli: m l1 m s1 m l m s 1 +1/ 1 +1/ 1-1/ 1-1/ 0 +1/ 0 +1/ 0-1/ 0-1/ -1 +1/ -1 +1/ -1 +1/ -1-1/ 43 6 estados extras!!

44 Problema 40.9 (Halliday, 7ª edição) Um elétron de um átomo se encontra em um estado com l = 3. Determine: (a) o módulo de ; L = (b) o módulo de ; e m (c) o maior valor possível de m l ; (d) o valor correspondente de L z ; L e m (e) o valor correspondente de μ orb,z ; ( 1 ) 3( 3 1) 3 3, 46 orb L ( 1) ( 1) 3, (f) o valor do ângulo semiclássico θ entre as direções de L z e ; m m cos L L z ( 1 ) ( 1) 3( 3 1) 3 L 3 46 como: 3 L z m m 3 m orb,z m 3 (g) valor de θ para o segundo maior valor possível de m l ; 3 l = 3 e m ; cos (3 1) 3 3 (h) valor de θ para o menor valor possível (o mais negativo) de m l ; l = 3 e 3 ; cos 150 3(3 1) 3 m 44

45 Problema 40.1 (7ª edição): Suponha que no experimento de Stern-Gerlach executado com átomos neutros de prata o campo magnético tenha um módulo de 0,50 T. (a) Qual é a diferença de energia entre os átomos de prata nos dois subfeixes? E U U 4 (9,8 10 J/T)(0,50-1,60 10 J/eV 19 (b) Qual é a freqüência da radiação que induziria transições entre estes dois estados? f E h,8 6, , J J.s (c) Qual é o comprimento de onda desta radiação? Hz T) GHz ev c f m/s 10 1,4 10 s -1,1cm (d) Em que região do espectro eletromagnético está situada? Micro-ondas. 45

46 Cap. 40, Probl. No. 18: Em um experimento de ressonância magnética nuclear, a freqüência da fonte de RF é 34 MHz e a ressonância dos átomos de hidrogênio da amostra é observada quando a intensidade do campo magnético externo ext do eletroíma é 0,78T. Suponha que int e ext são paralelos e que a componente z do momento magnético dos prótons é 1,41 x 10-6 J/T. Qual é o módulo de int? E int ext E hf hf E E E E E E int hf ext 6, ,41 J.s J/T 6 Hz 0,78 T int 0,799 T 0,78 T 0,019 T 19 mt 46