Universidade de São Paulo Instituto de Física. Física Moderna II. Profa. Márcia de Almeida Rizzutto 2 o Semestre de Física Moderna 2 Aula 5

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1 Universidade de São Paulo Instituto de Física Física Moderna II Profa. Márcia de Almeida Rizzutto o Semestre de 014 1

2 19: experiência de Stern&Gerlach Proposta: Medir os valores possíveis do momento de dipolo magnético. Essa é a força responsável pela deflexão vertical do feixe, dependendo do sinal de z. Classicamente, z varia continuamente, por conta da orientação aleatória dos ímãs. Isso deve resultar numa imagem contínua, conforme a figura: feixe de ímãs image m Resultados muito diferentes são obtidos se substituímos o feixe de ímãs por um feixe de átomos, pois, nesse caso, cada átomo tem uma certa probabilidade de ser encontrado com uma certa orientação, definida pelo valor da projeção de seu momento angular sobre o eixo z (L z ). Assim, o momento de dipolo magnético, z, pode ter apenas alguns valores. com Assim, lz só poderá ter os valores discretos quantizados. Os diferentes valores de z vão sofrer forças distintas e deflexões diferentes, conforme ilustrado na figura abaixo:

3 (l+1) manchas manchas momento magnético orbital observado O experimento original de Stern&Gerlach usou um feixe de átomos neutros de Ag, obtidos por evaporação em um forno. Depois de atravessarem o campo eles eram depositados em uma placa de vidro, onde as deflexões podem ser medidas. A imagem de duas manchas (discreto em vez de contínuo) concordava com o que se esperava pelo modelo do caroço magnético para a Ag. Duas componentes discretas devido a quantização espacial, uma desviada para z positivo e outra na direção de z negativo Resultados são qualitativamente demonstrações do quantização da componente z dos momentos de dipolo magnético dos átomos e portanto de seus momentos angulares. 3

4 z Resultados de Stern & Gerlach Mas os resultados não estão quantitativamente de acordo com: g m b Igual n o de valores possíveis de m l Como l é inteiro, teríamos um número ímpar não estando de acordo com o observado. Erro na teoria de Schroedinger? Ou teoria incompleta??? l+1 valores Piorou... um experimento análogo feito (197) com feixe de átomos de H para os quais não era esperada deflexão átomos com um só elétron (no estado fundamental) l=0, logo um único valor possível para m =0 obteve-se os mesmos resultados (duas manchas). A origem desta observação deve está ligada especificamente ao elétron 194: Pauli sugere que as estruturas dos multipletos e as anomalias no efeito Zeeman poderiam ser explicadas se um novo grau de liberdade, formal, com valores, fosse associado ao elétron. 4

5 Temos que o elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco devido ao momento angular de spin (S) s A intensidade S e a componente S z do momento angular de spin estão associados a dois números quânticos s e m s Analogia com o momento angular orbital e e com Como foram observadas manchas para o H valores de m s Como m s = 1 m s = ½. Assim, o momento angular de spin é dado: Sz ms e S gs b s S e sz s g s 3 4 s 1 m b momento de dipolo magnético de spin s com g s = fator g do spin 5 incerto

6 s=1/ e m s =-1/ e +1/ Um estado estacionário de um átomo monoeletrônico é descrito por um conjunto de 4 números quânticos: ou Spin para cima s=1/ Spin para baixo s=-1/ Estas duas novas propriedades, faz com que o número de estados que aparecem no diagrama de níveis de energia duplique O spin não tem um análogo clássico (no limite clássico a intensidade de S é totalmente desprezível porque h é muito pequeno). O spin é fundamentalmente não clássico. 6

7 E como é a interação entre o momento de dipolo magnético do spin eletrônico e o campo magnético interno de um átomo de um elétron (devido ao momento angular orbital do e - )? Interação spin-órbita Interação fraca responsável (em parte) pela estrutura fina dos estados excitados dos átomos de 1 e - (no caso de muitos elétrons esta interação é relativamente forte) L S Os vetores quantizados e devem ser adicionados em situações em que mais tipos gerais de estados queremos considerar. Definimos o momento angular total do átomo, pela soma dos vetores momento angular orbital e de spin: J L S Análogo ao momento angular combinado de um corpo clássico que tenha movimentos orbital e de rotação em torno de seu eixo, exceto pelo fato de que, no caso clássico, os vetores L e S podem ter quaisquer magnitude e direção, resultando em uma soma com módulo entre os limites: L S e L S 7

8 Interação spin-órbita Queremos olhar: momento de dipolo magnético de spin eletrônico S interação entre o o campo magnético interno de um átomo de um elétron (momento angular do elétron) L interação spin-órbita relativamente fraca e responsável em parte pela estrutura fina dos estamos excitados dos átomos de um elétron Definimos o momento angular total do átomo, pela soma dos vetores momento angular orbital e de spin: J L S FNC Fisica Moderna 8

9 No caso quântico, a combinação é entre vetores que têm módulo e orientação quantizados. O vetor soma resultante, J, também é um momento angular quântico, portanto as grandezas J e J z devem obedecer as mesmas regras que suas similares L e S obedecem. Assim: J j j 1 e J z m j sendo j o número quântico associado ao momento angular total e m j = j, j + 1,..., j 1, j. A definição de J implica em: m j = m l + m s, uma vez que J z = L z + S z. Isso, por sua vez, implica em que m j deve ser semiinteiro, pois m l é inteiro e m s é semi-inteiro. Assim, caso l = 0 j = ½., 3, 5, A adição dos vetores quantizados, L e S S, para produzir J, J fornece apenas possibilidades para j: j = l + ½ ou j = l ½ j 1 e, no 9

10 Vetorialmente: Caso l =1 j = ½ ou j = 3 / m l =1 m s =1/ = m s =-1/ m l =1 m s =1/ = m l =0 m s =-1/ m l =-1 = 10

11 Interação entre o momento de dipolo magnético intrínseco do elétron (spin) e o campo magnético produzido pelo movimento orbital. Núcleo Referencial do e - o núcleo carregado se movimenta em torno do e - e esta dentro de um anel de corrente que produz B Elétron Campo que o e - sente 11

12 e lembrando que Voltando à expressão para o campo magnético: onde: L r mv mv r Ou seja, um campo magnético é gerado, na posição do elétron, pelo seu movimento orbital. Como o elétron tem um momento de dipolo magnético de spin, aparece uma energia de interação entre eles. A energia potencial magnética é: E Substituindo os valores para s e de B, teremos: E s g B s S Substituindo os valores de B e g s B e m g s = fator g do spin 1

13 Aí temos que voltar para o referencial do CM e isso requer mais uma transformação relativística para a velocidade, que introduz um fator ½ (precessão de Thomas). Assim, ficamos: Podemos também escrever em termos do potencial coulombiano: Energia da interação spin-órbita E V Bons números quânticos: SL Ze 1 S L 40r r me c E 1 1 dv( r) S L m e c r dr Se não existisse a interação spin-órbita, os momentos angulares orbital, L, e de spin, S, do elétron seriam independentes. Isto é, ambos os vetores precessariam aleatoriamente em torno do eixo z, mantendo constantes suas intensidades e componentes (L,L z,s e S z ). Estado com l = 1 e m l = 1, com os vetores L e S orientados ao acaso e no qual m l e m s são bons números quânticos. 13

14 No entanto existe a interação spin-órbita. O campo magnético forte (orientação dada por L) atua sobre o elétron e produz um torque sobre seu momento de dipolo magnético de spin. Este torque não muda a intensidade de S, mas faz uma força de acoplamento entre L e S fazendo a orientação de um depender do outro. O acoplamento spin-órbita faz com que os vetores L e S precessionem em torno de J (que é a soma de S e L). Nesse caso, os bons números quânticos passam a ser j e m j. Estado com l = e s = ½ temos: j = l + s =5/ m j = -5/,-3/,-1/,1/,3/,5/ ou j = l - s =3/ m j = -3/,-1/,1/,3/ j = 5/ j 3 14

15 No caso quântico, a combinação é entre vetores que têm módulo e orientação quantizados. O vetor soma resultante, J, também é um momento angular quântico, portanto as grandezas J e J z devem obedecer as mesmas regras que suas similares L e S obedecem. Assim: J j j 1 e J z m j A adição dos vetores quantizados, L e S, para produzir J, fornece apenas possibilidades para j: j = l + ½ ou j = l ½ Representação simbólica da soma J L S. Os desenhos simbolizam os possíveis resultados: l + ½ ou l ½ 15

16 Energia de interação spin-órbita e os níveis de energia do H Vimos que: Lembrando da constante de estrutura fina: podemos reescrever: Lembrando também que: Temos:, de forma que o valor esperado dessa grandeza, para um estado, fica: njmj s=s(s+1)=1/(1/+1) Vimos também, que: Lembrando que o raio de Bohr pode ser escrito em termos da constante de estrutura fina, ficamos com: 16

17 Podemos também usar a energia de Rydberg: E obtermos: Que me dá o alargamento em função de E 0 e pode ser aplicada para l 0 A diferença de energia entre estados com j = l + ½ ou com j = l - ½ é: abertura spin-órbita 17

18 n l j = l + ½ j = l - ½ Níveis de energia E nj para um átomo mono-eletrônico. Cada escolha de n e j dá um par de estados degenerados nl j com valores diferentes de l. Deslocamentos exagerados! As regras de seleção devem satisfazer as seguintes condições: ou ou e j=0 para j = 0 viola a conserv. de momento angular e não é permitida 18