CF100 - Física Moderna II. 2º Semestre de 2018 Prof. Ismael André Heisler Aula 10/08/2018

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1 CF100 - Física Moderna II 2º Semestre de 2018 Prof. Ismael André Heisler Aula 10/08/2018 1

2 Átomos Multieletrônicos 2

3 Partículas Idênticas 3

4 Na física quântica, o princípio da incerteza impede a observação sem que o comportamento das partículas seja alterado. Werner Heisenberg Um filme implica fótons interação. Portanto, qualquer tentativa de as distinguir alteração do comportamento. Funções de onda (associadas ao elétron) têm extensão finita superposição indistinguibilidade. No átomo de He, por exemplo: os elétrons apresentam funções de onda muito superpostas. Não se pode saber qual é qual. 4

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6 quântico Por exemplo ψ α (1) = ψ α (x 1 ) = e x 1 2 ψ β (2) = ψ β (x 2 ) = cos x 2 6

7 Partículas não interagentes movimento independente energia potencial total (V T ) é a soma das energias potenciais de cada partícula: V T (r 1,r 2 ) = V(r 1 ) + V(r 2 ). Portanto, usando separação de variáveis, a autofunção total pode ser escrita como: ψ T (r 1, S z1, r 2, S z2 ) = ψ(r 1, S z1 ) ψ(r 2, S z2 ) = ψ(1) ψ(2) Se o sistema tem 2 estados distintos possíveis, α e β, podemos ter: partícula 1 no estado α e a 2 no estado β ou vice-versa. Temos, então, 2 situações possíveis: 7

8 Como as partículas são idênticas e deveriam ser indistinguíveis podemos trocar 1 2 sem que o resultado seja alterado. Vejamos o caso A: Não funciona! O resultado depende da rotulação. Porque? ψ α (1)ψ β (2)ψ α (1)ψ 2 (2) = (e x 1 2 cos x 2 ) 2 ψ α (2)ψ β (1)ψ α (2)ψ 2 (1) = (e x 2 2 cos x 1 ) 2 Para conseguirmos algo que funcione, precisamos exigir que: 8

9 Para isso, vamos fazer combinações lineares das autofunções: As funções ou são soluções da eq. de Schrödinger independente do tempo para a energia total E T. Como a eq. é linear em ψ T ψ S e ψ A também são soluções (degeneradas). O fator 1 garante a normalização. 2 9

10 Qualquer outra quantidade mensurável tem o mesmo comportamento. Assim, embora os índices 1 e 2 apareçam nas autofunções, isso não viola os requisitos de indistinguibilidade, pois o valor de qualquer quantidade mensurável obtida a partir dessas autofunções mostra-se independente desses índices. 10

11 Exemplo 9 1 (Eisberg pg 393) Duas partículas idênticas se movem independentemente em uma caixa unidimensional de comprimento a, uma estando no estado fundamental do potencial de poço quadrado infinito que descreve a caixa e a outra estando no primeiro estado excitado. (não vamos assumir spin) a) Calcule as autofunções totais simétricas e antissimétricas e verifique que o fator 1/ 2 normaliza corretamente as autofunções 11

12 Poço potencial infinito autofunções ψ n x = ψ n x = 2 L 2 L sin nπx L cos nπx L para n par para n impar 12

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16 =0 16

17 =0 17

18 b a cos 2 xdx = x sin 2x a b =1 = = 1 18

19 a) Calcule as autofunções totais simétricas e antissimétricas e verifique que o fator 1/ 2 normaliza corretamente as autofunções 1 19

20 b) Escreva expressões para o valor esperado da distância de separação, D, entre as partículas para o caso em que a autofunção espacial para o sistema de duas partículas é simétrica, e para o caso em que ela é antissimétrica. Mostre então que em nenhum desses casos este valor esperado é afetado por uma troca das coordenadas das partículas. A distância de separação, D, é o valor absoluto da diferença entre as coordenadas x das partículas, isto é, D = x 2 x 1 = x 1 x 2 20

21 Autofunções simétricas Autofunções antissimétricas 21

22 Principio de Exclusão de Pauli 22

23 Exemplo 9 2 (Eisberg pg 396) Determinar a forma da autofunção total antissimétrica normalizada para um sistema de 3 partículas no qual as interações entre as partículas podem ser ignoradas. Se notarmos que a autofunção antissimétrica para 2 partículas pode ser escrita também como o resultado de um determinante de Slater Podemos aplicar o mesmo raciocínio a um número maior de partículas. 23

24 Férmions 24

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26 Forças de troca Consideremos um sistema de 2 e-, desprezando a interação entre eles (como se eles não tivessem carga). A autofunção total deve ser antissimétrica: Ela depende das variáveis espaciais e de spin. Vamos fazer uma separação de variáveis: Cada uma das autofunções deve ter simetria bem definida em relação à troca de partículas. x As autofunções espaciais podem ser escritas como: 26

27 As autofunções de spin são diferentes, pois a variável de spin é discreta, e não contínua, como as espaciais. O spin de 1 e-, por exemplo, só pode ter duas componentes z Portanto não podem ser representadas por funções contínuas. Como temos 2 e - e cada um pode ter 2 orientações de spin, existem 4 estados possíveis para o sistema. Vamos usar símbolos ( ) para representar esses estados: Singleto Tripleto Uma interpretação física dos estados singlete e de triplete pode ser obtida calculando-se, para cada estado, o módulo S e a componente z, S z do momento angular total de spin S = S 1 + S 2 S = s (s + 1)ħ S z = m s ħ m s = s,, +s s = 0, 1 27

28 Tripleto Singleto 28

29 S 1z = S 2z = +1/2ħ S = 1 (1 + 1)ħ S z = 1ħ Tripleto S 1z = +1/2ħ S2z = 1/2ħ S = 1 (1 + 1)ħ S 1z = S 2z = 1/2ħ S z = 0ħ S = 1 (1 + 1)ħ S z = 1ħ Singleto S 1z = +1/2ħ S2z = 1/2ħ S = 0 (0 + 1)ħ S z = 0ħ 29

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32 Representação das autofunções espaciais -a/2 0 +a/2 32

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36 Exercício 9 - Quadro 36

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