Teoria Cinética dos Gases

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA II Teoria Cinética dos Gases Prof. Bruno Farias

2 Introdução Termodinâmica é o estudo das transformações de energia envolvendo calor e trabalho e como essas transformações podem ser relacionadas com as propriedades da matéria. Um dos tópicos mais importantes da Termodinâmica é a Física dos Gases. Engenharia Mecânica Meteorologia

3 Engenharia Alimentos Engenharia Ambiental

4 Um gás é formado por moléculas (que podem ser formadas por um ou mais átomos) que ocupam totalmente o volume do recipiente em que se encontram e exercem pressão sobre suas paredes. Na descrição macroscópica de um gás investigamos grandezas de grande escala, tais como: pressão, volume, temperatura e massa da substância. Já na descrição microscópica trabalhamos com grandezas em pequena escala, tais como: massa, velocidade, energia cinética e o momento linear das moléculas individuais que compõem a substância.

5 As variáveis volume, pressão e temperatura, são consequências do movimento dos átomos. Volume é resultado da liberdade que os átomos têm para se espalhar por todo recipiente. Pressão é causada por colisões dos átomos com as paredes do recipiente. Temperatura está associada à energia cinética dos átomos. A teoria cinética dos gases, foco deste capítulo, relaciona as descrições macroscópicas e microscópicas para o estudo do comportamento dos gases.

6 Número de Avogadro Quando estamos trabalhando com moléculas usamos o mol como medida da quantidade de uma substância. Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12 g de carbono-12. Em um mol de qualquer substância existem o seguinte número de partículas onde mol -1 representa por mol. O número N A é chamado de número de avogadro.

7 O número de mols n contidos em uma amostra de qualquer substância é igual à razão entre o número de moléculas N da amostra e o número de moléculas N A em 1 mol: Também podemos determinar o número de mols n em uma amostra dividindo a massa da amostra M am pela massa molar M (a massa por mol) Onde a massa M de 1 mol é o produto da massa m de uma molécula pelo número de moléculas N A em 1 mol.

8 Gases Ideais Experimentos mostram que para densidades suficientemente baixas, todos os gases obedecem à relação onde p é a pressão absoluta (e não manométrica), n é o número de mols do gás e T é a temperatura em kelvins. O fator R é chamado de constante dos gases ideais, e possui o mesmo valor para todos os gases Em termos da constante de Boltzmann, temos Como R = k N A, então podemos escrever nr = NK e consequentemente temos que

9 Para massa constante (ou número de moles constante) o produto nr de um gás ideal é constante, de modo que pv/t também é constante. Designando pelos índices 1 e 2 dois estados da mesma massa do gás, podemos escrever

10 Exemplo

11 Exemplo

12 Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática Vamos determinar a relação entre a pressão p exercida por um gás ideal (com n mols) sobre as paredes de uma caixa cúbica e a velocidades da moléculas do gás. As paredes da caixa são mantidas a uma temperatura T.

13 Por simplicidade, vamos ignorar as colisões das moléculas umas com as outras e considerar apenas as colisões elásticas com as paredes. A figura abaixo mostra uma molécula do gás, de massa m e velocidade v, que colide com a parede sombreada da caixa. Em cada colisão o momento transferido para a parede pela molécula é Δp x = 2mv x.

14 O intervalo de tempo Δt entre colisões é o tempo que a molécula leva para se deslocar até a parede oposta e voltar (percorrendo uma distância 2L), movendo-se com uma velocidade v x. Assim, temos que t 2L v x Portanto, a taxa média com a qual o momento é transferido para a parede, ou seja, a força que a molécula exerce sobre a parede é dada por

15 A força total que age sobre a parede é dada pela soma das contribuições de todas as moléculas que colidem com a parede Dividindo o módulo da força total F x pela área da parede L 2, temos a pressão p a que é submetida a parede onde N é o número de moléculas que existem na caixa.

16 Substituindo a soma por nn A (v x2 ) méd, temos ou ainda, Como há muitas moléculas e elas se movem em direções aleatórias v x2 = 1/3 v 2, assim

17 A raiz quadrada de (v 2 ) méd, é uma espécie de velocidade média, conhecida como velocidade média quadrática das moléculas e representada pelo símbolo v rms. Logo A partir da equação acima podemos calcular v rms

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19 Exemplo

20 Energia Cinética de Translação Considerando agora uma situação mais realista vamos supor que a velocidade da molécula na caixa varia quando a mesma colide com outras moléculas. Nesse caso, a energia cinética de translação média da molécula é dada por K méd mv méd 3 2 kt.

21 A Distribuição de Velocidades das Moléculas Cada partícula tem uma velocidade diferente, e cada colisão entre partículas altera a velocidade das partículas. Assim, para que se compreenda as propriedades de um gás é necessário compreender a distribuição das velocidades da partículas. A distribuição de velocidades das moléculas de um gás é descrita pela lei de distribuição de velocidades de Maxwell, que é dada por

22 A grandeza P(v) é uma função distribuição de probabilidade: para uma dada velocidade v, o produto P(v) dv é a fração de moléculas cujas velocidades estão no intervalo dv no entorno de v. A distribuição de velocidades das moléculas de um gás mostra de que forma os possíveis valores da velocidade estão distribuídos pelas moléculas.

23 A fração (frac) de moléculas com velocidades no intervalo, digamos, de v 1 a v 2, é Como todas moléculas possuem velocidades que estão no intervalo de zero a infinito, temos que

24 Três medidas da distribuição de velocidades das moléculas de um gás são: a velocidade média A velocidade média quadrática A velocidade mais provável

25 Exemplo

26 Energia Interna E int de um Gás Ideal A energia interna E int de um gás ideal monoatômico é soma das energias cinéticas de translação dos átomos que compõem o gás. Para um gás com n mols temos que E int nn K nrt A méd 3 2 A partir da expressão da acima podemos calcular os calores específicos molares de um gás ideal.

27 Livre Caminho Médio Vamos considerar um modelo mais realista no qual cada molécula é uma esfera de raio r que pode colidir com as outras moléculas do gás. Um parâmetro útil para descrever o movimento aleatório das moléculas de um gás é o livre caminho médio λ das moléculas. O livre caminho médio λ é a distância média percorrida por uma molécula entre duas colisões sucessivas.

28 Consideremos N moléculas esféricas com raio r e volume V. Vamos supor inicialmente que somente uma molécula esteja se movendo com velocidade constante v. Durante um intervalo de tempo dt a molécula se desloca uma distância e colide com qualquer molécula que possua centro no interior de um cilindro de raio 2r e comprimento vdt. O volume do cilindro é 4πr 2 vdt.

29 O número de moléculas no interior do cilindro é dado pelo produto do volume do cilindro vezes o número de moléculas por unidade de volume, assim temos dn 4r 2 vdt N V Esse também é o número de colisões que acontecem no intervalo de tempo dt, ou seja, número de colisões 4r 2 vdt N V

30 O livre caminho médio é o comprimento da trajetória (e do cilindro) dividido por este número de colisões distância percorrida em dt número de colisões em dt 4r 1 N 2 / V r N / V

31 O tempo médio t méd entre duas colisões é dado por t méd v A frequência das colisões f é dada por f 1 t méd

32 Exemplo a) Estime o livre caminho médio λ de moléculas de ar a 27 oc e 1 atm. Considere as moléculas como esferas de raio r = 2 x m. b) Estime o tempo livre médio de uma molécula de ar com velocidade v = 484 m/s. c) Qual é a frequência das colisões?

33 Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal Veremos agora como o calor específico molar de substância pode ser previsto usando a teoria cinética dos gases. Consideremos um gás ideal monoatômico de energia interna E int = 3/2nRT.

34 Calor Específico Molar a Volume Constante Para variar a temperatura de n mols de um gás ideal a pressão p e a uma de temperatura T, confinados em volume V de ΔT é necessária uma transferência de calor de Q nc V T Por outro lado, tal variação de temperatura leva a variação da energia interna do gás de E int 3 2 nrt

35 Comparando as duas expressões anteriores temos que C V 3 R 12, 5 2 J mol K

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37 Calor Específico Molar a Pressão Constante Vamos supor agora que a temperatura de nosso gás ideal aumenta do mesmo valor ΔT mantendo a pressão do gás constante. Nesse caso a quantidade de calor transferida é dada por Q ncpt Simultaneamente é realizado um trabalho pelo dado por W pv nrt

38 Pela primeira lei da termodinâmica E int Q W Através de manipulações matemáticas simples obtemos que C V C P R E finalmente que C P C V R