Física estatística. Fotões e a radiação do corpo negro MEFT, IST

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1 Física estatística Fotões e a radiação do corpo negro MEFT, IST A scientific truth does not triumph by convincing its opponents and making them see the light, but rather because its opponents eventually die and a new generation grows up that is familiar with it. Max Planck ( )

2 O corpo negro Corpo com volume V, cujas paredes se mantêm à temperatura T. Corresponde a fazer uma cavidade num material, fazer vácuo na cavidade e aquecer o material até uma dada temperatura. Os átomos das paredes emitem e absorvem continuamente radiação electromagnética. [originada pela agitação térmica das partículas aceleração de partículas carregadas] Queremos conhecer as propriedades da radiação electromagnética no interior da cavidade na situação de equiĺıbrio.

3 Sobre a natureza da radiação do corpo negro Para um corpo de dimensões maiores que os comprimentos de onda de interesse, em equiĺıbrio, o campo de radiação é: homogéneo; isotrópico. independente da polarização. independente da forma e volume do recipiente, do material que é feito e dos corpos que pode conter! Em resumo o campo de radiação só depende de T! Podemos escolher a configuração na fronteira que nos é mais conveniente..

9 Fotões e o campo electromagnético Hamiltoneano do campo electromagnético pode escrever-se como uma soma de termos, cada um com a forma de um oscilador harmónico. Vemos o campo de radiação como uma sobreposição de ondas planas de várias frequências Quanticamente, cada oscilador de frequência ω pode ter energia ( n + 1 2) ω, n = 1, 2, Associamos os fotões, de energia ω, aos quanta do campo electromagnético. O estado do campo electromagnético é especificado pelos números n para cada um dos osciladores pelo número de fotões em cada frequência.

10 Fotões Os fotões são bosões de massa nula e spin. O spin pode ter duas orientações independentes (paralela ou anti-paralela ao momento) onda plana electromagnética com polarização circular direita ou esquerda. Energia E = ω; momento p = k, com k = ω/c (i.e., p = E/c). Para cada direcção de k temos duas direcções de polarização linearmente independentes ( E k) [ ( )] A onda associada é da forma exp i k r ωt

11 Densidade de estados Impondo condições de fronteira periódicas num cubo de volume V = L 3 (cf. aula 18) k = 2π L n onde n é um vector cujas componentes podem tomar os valores 0, ±1, ±2, Os valores de p estão distribuídos numa rede de passo h/l Um elemento de volume d 3 p contém (L/h) 3 d 3 p = (V /h 3 )d 3 p valores de p. [No limite V, p (V /h 3 )d 3 p]

12 Porque são os fotões mais simples de tratar.. A energia total é dada por E{n p,a } = p,a ωn p,a onde n p,a é o número de fotões de momento p e polarização a, ω = pc/ e n p = 0, 1, 2, Normalmente o conjunto {n p,a } está sujeito à restrição p,a n p,a = N mas o número de fotões é indefinido: os fotões podem ser absorvidos e emitidos das paredes!

13 Função de partição A função de partição é então Q = exp ( βe{n p,a }) {n p,a} sem nenhuma restrição em {n p,a }. Obtemos, sucessivamente, ( Q = exp β ) ω p n p,a = [ ] exp ( β ω p n) p,a p,a n 1,n 2, =0 Q = p,a 1 1 exp ( β ω p ) n=0

14 Números de ocupação Os números médios de ocupação são dados por Ora E p = ω p e n p = 1 β E p log Q log Q = p,a log [1 exp ( β ω p )] = 2 p log [1 exp ( β ω p )] Finalmente, o número médio de fotões com momento p (independentemente da polarização), é n p = 2 exp (β ω p ) 1

15 Parentesis para reforço de ideias A última expressão corresponde ao gás de Bose, simplesmente com a fugacidade z = 1 (o factor 2 é a degenerescência resultante da polarização). Os parâmetros µ (ou z) e β são multiplicadores de Lagrange; o primeiro corresponde à condição de normalização no número de partículas... que agora não existe! Na verdade... Q Ξ

16 Energia interna A energia interna obtém-se de U = β log Q = 2 p ω p 1 exp ( β ω p ) exp ( β ω p) = p ω p 1 exp (β ω p ) 1 = p ω p n p [como tinha que ser!!!] No limite V, usando ω p = pc, U = V h 3 d 3 p ω p n p = 2V h 3 dp 4πp 2 pc exp ( βpc) 1 0

17 Energia interna A energia interna obtém-se de U = β log Q = 2 p ω p 1 exp ( β ω p ) exp ( β ω p) = p ω p 1 exp (β ω p ) 1 = p ω p n p [como tinha que ser!!!] No limite V, usando ω p = pc, U = V h 3 d 3 p ω p n p = 2V h 3 dp 4πp 2 pc exp ( βpc) 1 0

18 Lei de Planck Podemos escrever o resultado anterior na forma de lei de Planck U V = dω u(ω, T ) 0 com u(ω, T ) = ω 3 π 2 c 3 exp (β ω) 1 u(ω, T ) é a densidade de energia dos fotões de frequência ω (independentemente da polarização e da direcção do momento). Na forma adimensional, η = ω/kt, u(η, T ) = (kt )4 η 3 π 2 3 c 3 e η 1 ; U V = 0 dη u(η, T )

19 Lei de Planck Podemos escrever o resultado anterior na forma de lei de Planck U V = dω u(ω, T ) 0 com u(ω, T ) = ω 3 π 2 c 3 exp (β ω) 1 u(ω, T ) é a densidade de energia dos fotões de frequência ω (independentemente da polarização e da direcção do momento). Na forma adimensional, η = ω/kt, u(η, T ) = (kt )4 η 3 π 2 3 c 3 e η 1 ; U V = 0 dη u(η, T )

20 Lei do deslocamento de Wien A função η 3 /(e η 1) tem um máximo para η Se à temperatura T 1 o máximo de emissão ocorre para um comprimento de onda λ 1, então a T 2 ocorre para λ 2 tal que η 1 = η 2 ω 1 T 1 = ω 2 T 2 ; λ 1 T 1 = λ 2 T 2 λ max T m.k η 3 /[exp(η)-1] η

21 Energia interna e calor específico O integral pode calcular-se (ver, por exemplo, o apêndice em s_law.. ) 0 η 3 dη e η 1 = π4 15 A energia interna por unidade de volume é U V = π2 15( c) 3 (kt )4 T 4 Calor específico (por unidade de volume) c V = 4π2 15( c) 3 k4 T 3 T 3

22 Lei de Stephan-Boltzmann Se abrirmos uma pequena janela para o mundo exterior na cavidade do corpo negro, podemos verificar as propriedades da radiação. A energia que escapa por unidade de tempo, por unidade de área, sob a forma de fotões de frequência ω é I (ω, T ) = 1 dωu(ω, T )c cos θ = 1 u(ω, T )c 4π 4 Integrando em todas as frequências, obtemos a lei de Stephan-Boltzmann I (T ) = 0 dω I (ω, T ) = σt 4 ; σ = π2 k c 2

23 Lei de Stephan-Boltzmann Se abrirmos uma pequena janela para o mundo exterior na cavidade do corpo negro, podemos verificar as propriedades da radiação. A energia que escapa por unidade de tempo, por unidade de área, sob a forma de fotões de frequência ω é I (ω, T ) = 1 dωu(ω, T )c cos θ = 1 u(ω, T )c 4π 4 Integrando em todas as frequências, obtemos a lei de Stephan-Boltzmann I (T ) = 0 dω I (ω, T ) = σt 4 ; σ = π2 k c 2

24 Lei de Stephan-Boltzmann GlossaryImage 049.png 763!402 pixels 30/05/ :34 σ Wm 2 K 4

25 Equação de estado A equação de estado obtém-se de A = kt log Q ; P = A V Usando os resultados anteriores, p = 2π 2π n = L V 1/3 n ; ω p = pc = 2πcV 1/3 n log Q = 2 log [1 exp ( β ω p )] p = 2 [ ( )] log 1 exp β 2πcV 1/3 n n Finalmente, P = 1 3V ω n p ; P = 1 U 3 V p

26 Notas finais A equação de estado também se poderia ter obtido de PV kt = log Ξ Os resultados P = (1/3)(U/V ) e U T 4 podem obter-se classicamente. Os valores das constantes só se podem obter com o tratamento quântico. A lei de Planck dá uma confirmação experimental adicional que os fotões não devem ter massa.. [a degenerescência devido à polarização seria 3 e não 2]

27 Notas finais A equação de estado também se poderia ter obtido de PV kt = log Ξ Os resultados P = (1/3)(U/V ) e U T 4 podem obter-se classicamente. Os valores das constantes só se podem obter com o tratamento quântico. A lei de Planck dá uma confirmação experimental adicional que os fotões não devem ter massa.. [a degenerescência devido à polarização seria 3 e não 2]

28 Bónus