Sinais e Sistemas Mecatrónicos

Transcrição

1 Sinais e Sistemas Mecatrónicos Modelação de Sistemas Físicos Exemplos de sistemas não-lineares José Sá da Costa 1

2 m = 1000Kg, A f = 0,01m 2, R v = N s / m 5, k = N m, V d = m 3 O fole da suspensão está preenchido com um óleo incompressível e está ligado a um depósito de expansão através de uma válvula. O fole tem secção circular com uma área média A f e um volume interno que é proporcional à altura. O depósito de expansão tem a forma de uma esfera de volume constante V d, sendo preenchido por óleo e uma massa constante de um gás perfeito. A posição relativa entre o fole e o depósito de expansão, bem como a altura do depósito de expansão são suficientemente pequenas para que se considere que o efeito da coluna de óleo é desprezável. Considerase que a temperatura do gás é aproximadamente constante (ou seja, P d = const ). Em repouso, verificam-se as seguintes condições: - o volume de gás ( ) e o volume de óleo ( V o ) dentro do depósito são iguais; - a pressão no fole ( P s ) e no depósito ( P d ) é de 0, Pa; 2

3 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; i) Identificação dos elementos que constituem o sistema Elementos com 1 porto energético: massa - acumulador de fluxo mola - acumulador de potencial válvula - dissipador Depósito - acumulador de fluxo fonte - fonte de potencial Elementos com 2 portos energéticos: fole de suspensão : acoplador girador 3

4 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; ii) Separação das variáveis do sistema na componente nominal e na componente de desvio: F g 4

5 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; iii) Relação dinâmica de cada elemento do sistema Massa: acumulador de fluxo F m = m x = m x = F m t F 0 m dt = m x F k F m F g Mola: acumulador de potencial (considerando l 0 o comprimento natural da mola) ( ) = k l 0 ( x u) ( ) + k(u x) = F k + F k F k = k l 0 l = k l 0 x F k t ( ) 0 = k u x dt ( ) = k ( l 0 ( x + x u u )) Válvula: dissipador = R v q + ( ) ( + ) = R v q + q = R v q 5 ( )

6 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; iii) Relação dinâmica de cada elemento do sistema F k F m F g Depósito: acumulador de fluxo = cte + + ( )( + ) = cte + + desprezando o termo não linear obtém-se: + + = 0 sendo o fluxo acumulado V o + t = qdt 0 = 0 = cte 6

7 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; iii) Relação dinâmica de cada elemento do sistema Ou pela expansão em série de Taylor: F k F m F g F(, ) = = cte F(, ) = F(, ) + F F = = + + F ( ) + F = 0 = = = = = = ( ) + ( ) +... = cte ( ) = 0 7

8 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; iii) Relação dinâmica de cada elemento do sistema Fonte: fonte de potencial u(t) = t 0 v(t) dt F k F m F g F s Fole de suspensão: acoplador girador F s = A f = A f + A f = F s + F s q = A f ( u x ) q = A f ( u x ) logo q = 0 1/ A f A f 0 u x F s 8

9 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; iv) Restrições de continuidade e compatibilidade F m F k F s F g Continuidade de fluxo na massa: F k + F s F m F g = 0 donde ( ) + k(u x) + A f + A f k l 0 x ( ) + A f mg = 0 k l 0 x (solução do problema estático) m x mg = 0 e k(u x) + A f m x = 0 9

10 a) Escreva as equações que descrevem o comportamento dinâmico da suspensão; Resultam assim 5 equações e 6 variáveis que permitem resolver o problema dinâmico: F m F k F s F g = qdt t 0 + = 0 q = A f = R v q ( u x ) k(u x) + A f m x = 0 10

11 b) Determine a função de transferência entre U(s) e X(s) em torno das condições nominais de funcionamento; Aplicando transformadas de Laplace com condições iniciais nulas, e eliminando as restantes variáveis resulta: (s) = 1 s q(s) F m F k F s F g P d (s) = (s) P s (s) P d (s) = R v q(s) ( ) ( ) + A f P s (s) ms 2 X (s) = 0 q(s) = A f s U (s) X (s) k U (s) X (s) G(s) = X s U s ( ) ( ) = 20s s s

12 Ar condicionado Considere uma sala com um volume de 30m 3, bem isolada em todas as faces excepto uma superfície vidrada com 10m 2. A convecção através do vidro introduz uma energia proporcional à diferença entre a temperatura exterior T a e a temperatura T da sala, proporcional à área, e com coeficiente de 5Wm -2 K -1. Um equipamento de ar condicionado fornece um caudal q de ar a temperatura constante T f =10ºC, saindo um caudal idêntico de ar da sala. A potência calorífica (p) fornecida à sala está relacionada com a sua temperatura pela lei: dt ρvc p = p dt onde ρ=1,2kg/m 3 é a densidade do ar e c p =1000JK -1 Kg -1 é o seu calor específico. a) Mostre que a temperatura da sala (T) e o caudal (q) estão relacionados por uma equação da forma α dt. Determine o caudal nominal para uma dt + (1 + βq)t = βqt f temperatura de 20ºC e uma temperatura exterior de 30ºC. b) Mostre que para pequenas variações em torno das condições nominais, a dinâmica da temperatura em função do caudal pode ser aproximada pela equação: αt = βq T f T ( )T ( ) 1 + βq 12

13 Ar condicionado a) Mostre que a temperatura da sala (T) e o caudal (q) estão relacionados por uma equação da forma α dt. Determine o caudal nominal para uma dt + (1 + βq)t = βqt f temperatura de 20ºC e uma temperatura exterior de 30ºC. i) Identificação dos elementos que constituem o sistema, e sua lei dinâmica: p ac p conv Elementos com 1 porto energético: Fluxo de calor por Convecção dissipador (perda de calor do exterior para o interior da sala) p conv = ha T a T ( ) = 5 10 ( T a T ) Sala - acumulador de fluxo dt p = ρvc p = dt dt dt Ar condicionado - fonte de fluxo não linear (extrai calor à sala) p ac = c p q T T f ( ) = 1000 q ( T T f ) 13

14 Ar condicionado a) Mostre que a temperatura da sala (T) e o caudal (q) estão relacionados por uma equação da forma α dt. Determine o caudal nominal para uma dt + (1 + βq)t = βqt f temperatura de 20ºC e uma temperatura exterior de 30ºC. ii) Aplicando a restrição de continuidade de fluxo na sala resulta : p ac p conv p = p conv p ac dt dt 720 dt dt 720 dt dt = 50( T a T ) 1000 q( T T f ) ( ) = T a T 20 q T T f + ( 1+ 20q )T = 20qT f ; α = 720 e β = 20 14

15 Ar condicionado a) Mostre que a temperatura da sala (T) e o caudal (q) estão relacionados por uma equação da forma α dt. Determine o caudal nominal para uma dt + (1 + βq)t = βqt f temperatura de 20ºC e uma temperatura exterior de 30ºC. p ac p conv iii) O caudal nominal resulta da resolução do problema estático no ponto nominal de funcionamento: 720 dt dt + ( q)T = 20qT f T = T + T q = q + q T a = T a Para variáveis de desvio nulas resulta: ( 1+ 20q )T = 20qT f T q = a T 20( T T f ) = ( T [ K ] = T [ º C] + 273) ( ) = 0,05 Kg / s 15

16 Ar condicionado b) Mostre que para pequenas variações em torno das condições nominais, a dinâmica da temperatura em função do caudal pode ser aproximada pela equação: p ac p conv Substituindo a separação de variáveis na equação da dinâmica resulta: α d ( T + T ) dt ( ( )) T + T q + q ( ( )) T + T α T q + q α T + T + Tendo em conta o equilíbrio no ponto nominal de funcionamento ( 1+ 20q )T = 20qT f, e desprezando o termo não linear q T 0 resulta: αt = βq ( T f T ) ( 1+ βq )T ( ) = 20 q + q ( )T f ( ) = 20 q + q ( T + q T + q T ) = 20 q + q T + 20 qt + q ( )T f ( )T f 16