Sinais e Sistemas Mecatrónicos

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1 Sinais e Sistemas Mecatrónicos Modelação de Sistemas Físicos Variáveis e Elementos do Sistema José Sá da Costa José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 1

2 Modelação de Sistemas Físicos Sinais Vimos anteriormente que para o estudo de sinais necessitávamos de uma representação matemática dos mesmos, isto é, um modelo matemático que traduzisse inequivocamente as características dos sinais função das suas coordenadas independentes (ex. tempo, coordenadas espaciais, frequência). Essa representação pode tomar várias formas: expressão analítica fechada (ex. A sen ωt) expressão analítica não fechada (ex. série de Fourier) sequência discreta (ex. sinal amostrado) tabela, com as colunas para as variáveis independentes e uma outra com o valor do sinal gráfico (abcissas para as coordenadas independentes, e nas ordenadas o valor do sinal) José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 2

3 Modelação de Sistemas Físicos Sistemas Verificámos anteriormente que um sistema é um mero processador de sinais, com entradas, saídas e perturbações. No caso de sistemas lineares contínuos, invariantes no tempo (LIT) com uma só entrada e uma só saída (SISO) temos y(t) = A representação do modelo do sistema pode tomar várias formas: expressão analítica fechada modelo paramétrico expressão analítica não fechada tabela gráfico diagrama de blocos Y(s) = L y(t) g(τ )x(t τ )dτ { } τ )dτ { } = L g(τ )x(t = G(s)X (s) modelo não paramétrico José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 3

4 Modelação de Sistemas Físicos Sistema LIT-SISO Parâmetros concentrados x(t) Sistema g(t) y(t) Modelo do Sistema descrição matemática do sistema função de grandezas físicas g(t) resposta impulsional contínua G(s) = Y(s)/X(s) = L[g(t)] função de transferência contínua José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 4

5 Modelação de Sistemas Físicos Como obter o modelo físico do Sistema? 1 - Através das leis físicas (primeiros princípios) e estimação dos parâmetros do modelo (modelação), por exemplo a lei de Ohm I entrada V = R.I V saída R parâmetro a estimar Notar que I ser a entrada ou a saída (e vice-versa com V) é arbitrário, ou então, as condições físicas reais o determinam, i.e. se I for devido a uma fonte de corrente (entrada) então V é o resultado da corrente a passar pela resistência (saída). 2 - Através de identificação do sistema, i.e. identificação da estrutura do modelo (família de funções matemáticas a que o comportamento obedece), seguido da estimação dos parâmetros da estrutura. José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 5

6 Modelação de Sistemas Físicos Procedimento a seguir para obter o modelo 1 Saber qual o objectivo para que se quer o modelo. 2 Estabelecer a fronteira entre o que é relevante para o objecto em estudo e o que não é relevante. 3 Definir o que é entrada (causa), o que é saída (efeito) e eventualmente o que é perturbação. 4 Definir sob o ponto de vista físico quais os fenómenos elementares que estão presentes. Normalmente, associados a estes estão elementos ideais de acumulação e de dissipação de energia, com relações constitutivas e relações dinâmicas próprias. 5 Estabelecer o encadeamento entre os elementos ideais, i.e. as relações de interligação entre estes elementos. 6 Com base nas relações constitutivas, relações dinâmicas e relações de interligação, eliminam-se as variáveis que não são a entrada e a saída, obtendo-se a equação diferencial que relaciona a entrada com a saída (representação externa). José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 6

7 Modelação de Sistemas Físicos Procedimento a seguir para obter o modelo (cont.) 7 - Aplicando a transformada de Laplace, com condições iniciais nulas, obtém-se a função de transferência G(s) = Y(s)/X(s). Fazendo X(s) = δ(t) e calculando a transformada de Laplace inversa, obtém-se g(t) a resposta impulsional do sistema. 8 Após a obtenção do modelo (eq. diferencial, função de tranferência, resposta impulsional, etc.) deve-se estimar os parâmetros do modelo por via experimental, caso não sejam conhecidos. Isso faz-se comparando a resposta no tempo (ou na frequência) da saída y(t), do modelo e dos dados experimentais, para uma mesma entrada, ajustando os parâmetros de forma a minimizar o erro existente entre estas. 9 Caso o modelo não seja linear deve-se linearizá-lo em torno do ponto (ou pontos) de operação adequado(s). 10 Quando o modelo está completo deve-se validá-lo, i.e. comparar o comportamento observado no sistema real com o obtido pelo modelo e verificar se é adequado para o estudo. José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 7

8 Modelação de Sistemas Físicos Procedimento de modelação Relações básicas Relações constitutivas Relações dinâmicas Elementos (componentes) Relações interligação Restrições na interligação dos elementos Modelo Matemático Representação Interna Espaço de Estados Representação Externa Eq. Diferencial Função de Transferência Resposta impulsional José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 8

9 Modelação de Sistemas Físicos Tipo de entidades nos sistemas Matéria em repouso: corpo rígido - flexível fluido líquido - gás, vapor em movimento: corpo rígido - flexível fluido líquido - gás, vapor Energia mecânica (translação e rotação), fluídica, acústica - térmica - eléctrica, magnética - química - nuclear Informação José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 9

10 Modelação de Sistemas Físicos Interacção entre energia, matéria e informação Processos com fluxo energético sem fluxo de matéria - sistemas mecânico, eléctrico e térmicos fluxo de energia Processos com fluxo energético e fluxo de matéria - sistemas de potência, hidráulicos, pneumáticos e termodinâmicos Fluxo de energia Fluxo de matéria José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 10

11 Modelação de Sistemas Físicos Interacção entre energia, matéria e informação (cont.) Processos com fluxo de matéria e fluxo energético - sistemas de transporte de matéria (tapetes rolantes), processos químicos Fluxo de matéria Fluxo de energia Processos com fluxo de informação e fluxo de energia - instrumentos de medida, telecomunicações Fluxo de informação Fluxo de energia José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 11

12 Modelação de Sistemas Físicos Qual o grau de detalhe do modelo? Exemplo: Estudo da suspensão de um automóvel José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 12

13 Elementos Básicos Caracterização dos elementos básicos fonte Sistema ou elemento poço Ligações energéticas ou portos energéticos Elementos dum Sistema Manipuladores de energia José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 13

14 Variáveis do Sistema Elementos Básicos i Sistema eléctrico Fonte de energia V i, V P = Vi Variáveis Potência Sistema mecânico E = t t 1 2 Vi dt Energia P E F, v = = vf t t 1 2 vf dt Sistema fluídico Q, p P = pq t2 E = pq dt t 1 José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 14

15 Elementos Básicos Variáveis generalizadas do Sistema f P = f. e Fonte de energia e Receptor de energia E = t t 1 2 f. e dt Porto energético Fluxo f Potencial e José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 15

16 Elementos Básicos Variáveis dos diversos sistemas energéticos Translação Mecânicos Eléctricos Fluídicos Térmicos* Rotação Potencial velocidade velocidade tensão V pressão p temperatura T linear v angular ω Fluxo força F binário τ corrente i caudal fluxo de volumétrico Q de calor q Nota:* o fluxo de calor é uma variável de energia, sendo uma excepção à caracterização energética das variáveis de fluxo e potencial, cujo produto dá a potência instantânea. Por esse motivo se designam sistemas pseudo-térmicos. O mais correcto seria considerar a variação da entropia como variável de fluxo. José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 16

17 Elementos Básicos Mecânicos Eléctricos Fluídicos Térmicos Translação Rotação José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 17

18 Elementos Básicos Caracterização dos elementos básicos Acumuladores de energia Acumuladores de energia potencial Acumuladores de energia de fluxo Dissipadores de energia Fontes de energia Fontes de energia potencial Fontes de energia de fluxo José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 18

19 Elementos Básicos Acumuladores de energia de Potencial Variável de potencial acumulado ea = ϕ( f) = Lf t ea = edt ou e= 0 de dt a e a ϕ( f ) Lf Energia Co-energia t ea ea 1 ( ) 0 0 a ϕ 0 a a T = ef dt = f de = e de = * T fea T = = 1 Lf Lf 2 2 f José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 19

20 Elementos Básicos Acumuladores de Potencial (lineares e ideais) José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 20

21 Elementos Básicos Acumuladores de energia de Fluxo Variável de fluxo acumulado fa = ϕ() e = Ce f a ϕ() e t fa = fdt ou f = 0 df a dt Ce Energia e Co-energia t fa fa 1 ( ) 0 0 a ϕ 0 a a U = ef dt = e df = f df = * U efa U = = 1 Ce Ce 2 2 José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 21

22 Elementos Básicos Acumuladores de Fluxo (lineares e ideais) José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 22

23 Dissipadores de energia Elementos Básicos e = ϕ( f) = Rf e G = f = f J e e ϕ( f ) Rf G conteúdo energético J co-conteúdo energético Potência dissipada ef = G + J f José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 23

24 Elementos Básicos Dissipadores de Energia (lineares e ideais) José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 24

25 Elementos Básicos Fontes de energia de potencial f Fornece energia e 1 e absorve energia Fontes de energia de fluxo f f 1 absorve energia e Fornece energia José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 25

26 Elementos Básicos Elementos básicos (lineares e ideais) José Sá da Costa T4 - Modelação de Sistemas Físicos 26