Sinais e Sistemas. Luis Henrique Assumpção Lolis. 21 de fevereiro de Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 1

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1 Sinais e Sistemas Luis Henrique Assumpção Lolis 21 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 1

2 Conteúdo 1 Classificação de sinais 2 Algumas funções importantes 3 Transformada de Fourier 4 Densidade Espectral 5 Autocorrelação 6 Exercícios de aula 7 Transmissão de Sinais através de Sistemas Lineares 8 Filtros 9 Transformada de Hilbert 10 Sinais passa-baixa e pass-faixa Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 2

3 Sumário 1 Classificação de sinais 2 Algumas funções importantes 3 Transformada de Fourier 4 Densidade Espectral 5 Autocorrelação 6 Exercícios de aula 7 Transmissão de Sinais através de Sistemas Lineares 8 Filtros 9 Transformada de Hilbert 10 Sinais passa-baixa e pass-faixa Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 3

4 Sinais Determinísticos Sinais Aleatórios Sinais Periódicos Sinais não Periódicos Sinais Analógicos Sinais Discretos Sinais de Energia Sinais de Potência Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 4

5 Sinais Determinísticos e Aleatórios Sinais Determinísticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se descrever com uma equação: x(t) = 5 cos (2π10t) Sinais Aleatórios Não se pode determinar o valor em um exato instante do tempo, mas se observado por um longo período de tempo, algumas características probabiĺısticas podem se definir: média, variância, momentos. Ex: Ruído térmico, sequência aleatória de dados. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 5

6 Sinais Periódicos e não Periódicos Sinais Periódicos x(t) = x(t + T 0 ), < t < Sinais não Periódicos Não satisfazem a condição acima Ex: pulsos, sinais digitais Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 6

7 Sinais Analógicos e Discretos Sinais Analógicos Uma função x(t) contínua no tempo e na amplitude, um sinal que existe para todos os pontos no tempo t. Sinal elétrico: quando uma forma de onda física (ex: som) se transforma em onda elétrica através de transdutor (ex: microfone) Sinais Discretos Um sinal x(kt ) só existe nos instantes kt, T definido como período de amostragem. Um sinal é Digital é discreto no tempo e na amplitude. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 7

8 Sinais de Energia e Sinais de Potência Sinal elétrico, x(t): tensão, v(t), ou corrente, i(t), com potência instantânea p(t) dada por: p(t) = v 2 (t)/r = i 2 (t)r. Supondo R = 1Ω, p(t) = x 2 (t) A energia dissipada durante o intervalo de tempo ( T/2, T/2) por um sinal real com potência instantânea p(t) é, E T x = T 2 T 2 x 2 (t) dt Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 8

9 Sinais de Energia e Sinais de Potência A potência média dissipada pelo sinal durante esse intervalo é, P T x = 1 T ET x = 1 T T 2 x 2 (t) dt T 2 Potência Média É a taxa à qual a energia é liberada. Determina a tensão (ou corrente) que deve ser aplicada a um transmissor, intensidade de campo magnético,... Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 9

10 Sinais de Energia e Sinais de Potência Sinais de Energia: 0 < E x <. Onde, T 2 E x = lim T ET x = lim x 2 (t) dt = x 2 (t) dt T T 2 Sinais de Potência: 0 < P x <. Onde, P x = lim T P T x T 1 2 = lim x 2 (t) dt T T T 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 10

11 Exemplos Calcular a potência do seguinte sinal: g(t) = Acos(2πf c t) Determine se os seguintes sinais são de energia ou de potência: (a) x 1 (t) = e 2t u(t) (b) x 2 (t) = e j(2t+π/4) (c) x 3 (t) = cos(t) Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 11

13 { 0, t < 0 Degrau unitário: u(t) = 1, t 0 Função Sinal: sgn(t) = Pulso retangular: rect(t) = Impulso unitário: 1 δ(t) dt = 1 2 δ(at) = 1 a δ(t) 3 x(t)δ(t t 0 ) = x(t 0 )δ(t t 0 ) 4 x(t)δ(t t 0 ) dt = x(t 0 ) Função sinc: sinc(t) = sin(πt) πt 1, t < 0 1, t > 0 0, t = 0 { 1, 1 2 < t < 1 2 0, fora Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 13

15 Conceitos Muitas vezes é mais interessante representar o sinal no domínio da frequência do que no tempo. Circuitos são mais facilmente analisados no domínio da frequência (ex: filtro passa-baixa). A passagem de um sinal por um sistema linear com memória: convolução no tempo, e multiplicação na frequência. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 15

16 Transformada de Fourier G(f) = F[g(t)] = g(t) = F 1 [G(f)] = G(f) = X(f) + jy (f) G(f) = G(f) e jθ(f) g(t) G(f) g(t)e j2πft dt G(f)e j2πft df G(f) = ( ) X 2 (f) + Y 2 (f) e θ(f) = tan 1 Y (f) X(f) Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 16

17 Algumas propriedades da Trasformada de Fourier 1 Se g(t) é real, então 2 Teorema de Parseval: G( f) = G (f) G( f) = G(f) θ( f) = θ(f) g 1 (t)g 2(t) dt = G 1 (f)g 2(f) df Se g 1 (t) = g 2 (t) = g(t) Teorema da Energia de Rayleigh: E = g(t) 2 dt = G(f) 2 df Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 17

18 Pares de Transformadas de Fourier Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 18

19 Propriedades da Transformadas de Fourier Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 19

20 Transformada - Pulso retangular rect(t) = { g(t) = A rect( t T ) G(f) = T/2 T/2 1, 1 2 < t < 1 2 0, t 1 2 Ae j2πft dt = AT sin(2πft ) T Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 20

21 Transformada - Pulso retangular Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 21

22 Transformada - Pulso sinc Dual do pulso retangular. Filtro ideal g(t) = sinc(2w t) A sinc(2w( t) ) A f 2W rect 2W Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 22

23 Pulso de Rádio Frequência Um pulso RF como produto de um cosseno e um pulso retangular. O produto no tempo é a convolução na frequência. A transformada do pulso retangular vai se deslocar para as posições dos pulsos de Dirac da transformada do cosseno. g(t) = A rect ( t T ) cos(2πf c t) G(f) = 1 2 {sinc[t (f f c)] + sin[t (f + f c )]} Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 23

24 Pulso de Rádio Frequência Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 24

26 Definição Caracteriza a distribuição da energia ou potência de um sinal no domínio da frequência. Importante para avaliar o sinal e o ruído na saída de um filtro. As grandezas são a Densidade Espectral de Potência (DEP) e Densidade Espectral de Energia (DEE). Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 26

27 Densidade Espectral de Energia Definição da energia no tempo e na frequência: E x = x 2 (t)dt = X(f) 2 df X(f) a transformada de Fourier do sinal não-periódico x(t). Sendo assim Ψ x (f) = X(f) 2 é definida como a DEE do sinal x(t). Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 27

28 Densidade Espectral de Potência Considerando um sinal periódico em T 0, classificado como um sinal de potência. A potência desse sinal é dada por: P x = 1 T0/2 x 2 (t)dt = c n 2 T 0 T 0/2 n= Onde c n são os coeficientes complexos da série de Fourier do sinal periódico. Sendo assim, para um sinal de potência determinístico a DEP é dada por: G x (f) = n= c n 2 δ(f nf 0 ) Observando uma versão truncada do sinal de potência, agora com energia finita, limitado em T/2, T/2, podemos calcular a transformada de Fourier desse sinal, de maneira que a DEP do sinal x(t) é dada por: G x (f) = lim T 1 T X T (f) 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 28

29 Exemplo Calcular a potência através do método temporal e frequencial x(t)a cos(2πf 0 t) Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 29

31 Autocorrelação de um sinal de energia Mede o grau de correlação do sinal com uma versão atrasada dele mesmo: R x (τ) = x(t)x(t + τ)dt, para < τ < R x (τ) mostra quão perto está um sinal de uma cópia desse mesmo sinal atrasado em τ unidade de tempo. R x (τ) = R x ( τ) R x (τ) R x (0) para todo τ R x (τ) Ψ x (f) R x (0) = x 2 (t)dt Simétrico em τ em torno de zero o valor máximo ocorre na origem a autocorrelação e a DEE formam um par de transformada de Fourier o valor na origem é igual a energia do sinal Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 31

32 Autocorrelação de um sinal de potência 1 T/2 R x (τ) = lim x(t)x(t + τ)dt, para < τ < T T T/2 A média no tempo pode ser tomada em um único período de tempo T 0 R x (τ) = 1 T0 /2 x(t)x(t + τ)dt, para < τ < T 0 T 0 /2 Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 32

33 Autocorrelação de um sinal de potência Para um sinal periódico R x (τ) = R x ( τ) R x (τ) R x (0) para todo τ R x (τ) G x (f) 1 T 0 R x (0) = T0 /2 T 0 /2 x 2 (t)dt Simétrico em τ em torno de zero o valor máximo ocorre na origem a autocorrelação e a DEP formam um par de transformada de Fourier o valor na origem é igual a potência média do sinal Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 33

35 Exercícios de aula 1 Determine a densidade espectral de energia de um pulso retangular x(t) = rect(t/t ), onde x(t) = 1 para T/2 t T/2. Calcule a energia normalizada no pulso. 2 Encontre, através de média temporal, a potência do seguinte sinal: x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t) 3 Repita o problema anterior aplicando a soma de coeficientes espectrais. 4 Encontre a função de autocorrelação de x(t) = A cos(2πf 0 t + φ) em função do período T 0 = 1/f 0. Encontre a potência média normalizada de x(t) usando a função de autocorrelação. 5 Aplicando o resultado do item anterior, encontre a função de autocorrelação de x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t) e a sua potência através da função de autocorrelação. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 35

36 Dependência Tempo-Frequência Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 36

37 O Dilema da Largura de Banda Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 37

39 Sistemas que respeitam o princípio da superposição. Ex: canal de comunicação e filtros. δ(t) - Resposta ao impulso A superposição para explicar a integral de convolução Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 39

40 Transmissão de Sinais através de Sistemas Lineares y(t) = x(τ)h(t τ) dτ y(t) = x(t) h(t) - integral de convolução Y (f) = X(f)H(f) Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 40

41 Resposta em frequência Transformada de Fourier da resposta ao impulso de um sistema: H(f) = h(t)e j2πft dt Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 41

42 Resposta em frequência Transformada de Fourier da resposta ao impulso de um sistema: H(f) = h(t)e j2πft dt Sinal complexo separável em reposta em amplitude e fase: H(f) = H(f) e jβ(f) Se o filtro é consiste de uma entrada e uma saída ele tem resposta ao impulso real, e nesse caso: H(f) = H( f) β(f) = β( f) Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 42

44 Definição Dispositivo seletivo em frequência para receber o sinal de interesse e rejeitar o sinal de interferência. Definido através da banda passante e a banda de rejeição. Filtro causal: A resposta ao impulso é zero para valores negativos de tempo Tipos de filtros: passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 44

45 Passa-baixa ideal H(f) = { e j2πft 0, B f B 0, f > B h(t) = 2B sinc[2b(t t 0 )] Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 45

47 Transformada de Hilbert É uma outra maneira de analisar os sinais. Enquanto Fourier separa a base dos sinais pelos conteúdos em frequência, Hilbert separa os sinais pelos conteúdos em fase. Se a fase é alterada em ±90 graus para todas as componentes de frequência temos a transformada de Hilbert sinal. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 47

48 Hilbert na frequência e no tempo Implementa 90 o para frequências positivas e +90 o para frequências negativas 1, f > 0 sgn(f) = 0, f = 0 1, f < 0 Ĝ(f) = j sgn(f)g(f) Então a transformada de Hilbert é a convolução do sinal com a transformada inversa de j sgn(f): 1 j sgn(f) πt ĝ(t) = 1 g(τ) π t τ dτ g(t) = 1 ĝ(τ) π t τ dτ Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 48

49 Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 49

51 Sinal anaĺıtico Definimos um sinal chamada anaĺıtico a partir de um sinal real g(t) g + (t) = g(t) + jĝ(t) ĝ(t) transformada de Hilbert de g(t). Analisando da na frequência: G + (f) = G(f) + sgn(f)g(f) 2G(f), f > 0 G + (f) = G(0), f = 0 0, f < 0 Pode ser também deduzido a partir de transformada inversa para somente frequências positivas e multiplicado por 2. Existe também o sinal anaĺıtico para frequências negativas. g (t) = g +(t) Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 51

52 Representação Canônica de Sinais Passa Banda Se um sinal ocupa uma banda de 2W em torno de uma frequência central ±f c, podemos indicar esse sinal como sendo um sinal complexo em banda base (espectro não simétrico) que é então deslocado para +f c onde tomamos posteriormente a parte real. Essa representação serve para criar e analisar sinais que transportam informação em toda a banda (modulação em quadratura) e também para ambientes de simulação onde a velocidade de simulação depende da banda analisada, por exemplo 2W << f c. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 52

53 Representação Canônica de Sinais Passa Banda f c conhecida como portadora do sinal. O sinal anaĺıtico ĝ(t) pode ser definido da seguinte maneira: g + (t) = g(t)e j2πfct g(t) é chamado de envelope complexo do sinal. É um sinal passa baixa e contêm toda a informação do sinal de origem. Como g(t) é a parte real de ĝ(t), transformando o espectro em simétrico novamente. Temos: g(t) = R [ g(t)e j2πfct] E quando g(t) é complexo, podemos separar em: g(t) = g I (t) + jg Q (t) Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 53

54 Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 54

55 O sinal passa banda na forma canônica g(t) = g I (t) cos(2πf c t) g Q (t) sen(2πf c t) g I (t) é a componente em fase e g Q (t) a componente em quadratura. Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 55