Métodos Não Paramétricos

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1 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 1 Métodos Não Paramétricos Estimação da resposta impulsiva e da resposta em frequência Análise espectral e métodos de correlação J. Miranda Lemos

2 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 2 O que são métodos não paramétricos? A resposta de um sistema linear é completamente caracterizada pela resposta impulsiva, ou pelas suas curvas de resposta em frequência. Os métodos não paramétricos visam determinar estas respostas, não na forma de uma expressão matemática, mas como uma tabela (ou gráfico) em função do tempo (resposta impulsiva) ou da frequência (resposta em frequência).

3 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 3 Porquê métodos não paramétricos? Os métodos não paramétricos são úteis numa fase inicial do processo de identificação. Permitem ter uma primeira ideia das principais características dinâmicas do processo, como a presença de atraso puro, as constantes de tempo dominantes (que influenciam a escolha do intervalo de amostragem) e os ganhos estáticos.

4 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 4 Limitações dos Métodos Não Paramétricos A informação que fornecem é limitada e nem sempre adequada aos objectivos visados (listas de números ou gráficos). Os limites práticos impostos na amplitude da entrada, as perturbações e o facto de o processo a identificar ter de trabalhar em cadeia fechada dificultam a obtenção de modelos precisos. Estudaremos apenas métodos para sistemas lineares (discretos), embora sejam possíveis generalizações para classes de sistemas não lineares.

5 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 5 Resposta impulsiva de um sistema linear discreto ν u Sistema a identificar y yt () = Gqut ( ) () + vt () G( q) u( t) = g( k ) u( t k ) k = 1

6 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 6 Estimação da resposta impulsiva por métodos convencionais 1. Aplicar um impulso δ ( k), à entrada do sistema. A saída do sistema yk, ( ) é a sua resposta impulsiva Dificuldade: energia fornecida pode ser insuficiente. 2. Aplicar um escalão à entrada do sistema. Uma vez que o impulso pode ser obtido do escalão a partir de δ ( k) = uk ( ) uk ( 1), então a resposta impulsiva pode ser obtida por gk ( ) = yk ( ) yk ( 1) - Dificuldade: diferenciar um sinal amplifica o ruído. 3. Aplicar um sinal arbitrario x(k) e observar a saída y(k). O operador de transferência do sistema H(q) pode ser calculado por divisão polinomial de Y(q) por X(q) Dificuldade : fraca robustez numérica de métodos de divisão polinomial.

7 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 7 Estimação da resposta impulsiva por correlação Os métodos indicados anteriormente funcionam mal no caso de exitirem perturbações. A resposta impulsiva vem afectada dos valores da perturbação naquela experiência. Uma forma de atenuar isto seria fazer várias experiência e calcular o valor esperado da resposta impulsiva. No entanto, há métodos em que basta efectuar uma experiência. Um desses método consiste na análise de correlação descrita a seguir. O resultado do método é uma lista de números que constituem as primeiras N amostras da resposta impulsiva do sistema a determinar.

8 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 8 Considere-se o sistema discreto com resposta impulsiva { g k }. A resposta deste sistema a um sinal { u( t) } é descrita pelo somatório de convolução: y( t) = g u( t k) + ν( t) k = 0 k Seja { u( t) } um signal que é a realização de um processo estacionário com média nula e função de covariância: e tal que { u( t) } e { ()} malha aberta). [ τ ] R ( τ ) = u E u ( t ) u ( t ) vt são incorrelacionados (exigindo experiências em

9 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 9 A covariância cruzada entre u e y é então dada por [ ] k [ ] [ ] R ( τ ) = E y( t) u( t τ ) = g E u( t k ) u( t τ ) + E ν ( t) u( t τ ) yu k= 0 = u( t k ( τ k)) R ( τ ) = g R ( τ k) yu k u k= 0

10 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 10 Se a entrada fôr ruído branco R u ( τ ) σ 2, τ = 0 = 0, τ 0 obtém-se R ( ) yu τ = σ 2 g τ A função de covariância cruzada R yu ( τ ) é pois proporcional à resposta impulsiva.

11 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 11 A função de covariância cruzada entre a entrada e a saída é desconhecida, mas pode ser estimada por N N 1 Ryu = y( t) u( t τ ) N t = 1 Analogamente se pode estimar a covariância na origem do sinal de entrada: 1 N 2 2 ˆ = N u () t N t= 1 A resposta impulsiva vem então estimada por σ N 1 ˆ ˆ N gτ = Ryu ( τ ) σˆ 2 N

12 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 12 Filtro branqueador No caso em que o sinal de teste u não é branco, podemos seguir o seguinte procedimento: Determinamos um filtro L(q) tal que o sinal uf ( t) = L( q) u( t) seja branco. Com este filtro determinamos o sinal yf ( t) = L( q) y( t) u(t) G(q) y(t) L u (t) F L y (t) F

13 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 13 Trabalhar com os sinais u F e y F corresponde à situação u (t) F L -1 u(t) G(q) y(t) L y (t) F Como o filtro L( q) surge em série com o seu inverso, é válida a equação y ( t) = g u ( t k) + ν ( t) F k F F k = 0 que pode ser empregue para estimar a resposta impulsiva. O filtro L(q) denomina-se filtro branqueador (whitening filter). A sua determinação pode fazer-se recorrendo a modelos paramétricos e ao método dos mínimos quadrados.

14 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 14 Algoritmo CRA (Análise de Correlação) 1. Recolher os dados y(k), u(k), k=1,, N 2. Subtrair as médias da amostra a cada sinal: N 1 y( k ) = y( k ) y( t) N t = 1 N 1 u( k) = u( k) u( t) N t= 1 3.Obter os sinais (L(q) é o filtro branqueador): yf ( t) = L( q) y( t) uf ( t) = L( q) u ( t) (cont.)

15 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 15 4.Calcular as estimativas Algoritmo CRA (cont.) N N 1 Ry u ( τ ) = yf ( t) uf ( t τ ) F F N t = 1 = u F ( t) N λ N 1 N 2 t= 1 5.Estimar a resposta impulsiva por g N τ = N Ry u ( τ ) F F λ N

16 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 16 Implementação no MATLAB 5.3 (Control Syst. Toolbox) O algoritmo CRA está implementado através da função cra Formar uma colecção de pares entrada/saída (y é um vector coluna com as amostras da saída, u da entrada): z=[y u]; Calcular as primeiras 20 amostras da resposta impulsiva e pô-las no vector ir (inclui branqueamento e gráfico); ir=cra(z);

17 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 17 Exemplo Estimar a resposta impulsiva de G(s) amostrado com h = 0.1s. Gs () = s s+ 1 O sistema real está sujeito a uma perturbação aditiva à saída do tipo ruído branco com desvio padrão 0.01.

18 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 18 Método 1 Introduzir um impulso à entrada do sistema

19 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 19 Método 2 Introduzir um escalão à entrada do sistema e diferenciar a saída

20 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 20 Método 3 Introduzir ruído branco à entrada e usar a Análise de Correlação Com 900 pontos Com 9900 pontos

21 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 21 Conselhos Práticos Na análise de correlação devem-se utilizar apenas pontos da experiência que correspondam ao regime estacionário. Nas experiências anteriores anularam-se os primeiros 100 pontos porque correspondem ao regime transitório do sistema. A dimensão da resposta impulsiva a usar na função cra não deverá ser superior a cerca de 1/10 do número total de pontos para que os valores da função de covariancia sejam calculados com um número suficiente de pontos. Quanto maior amplitude tiver a perturbação à saída, maior número de pontos deverão ser utilizados.

22 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 22 Sistemas Instáveis Em sistemas instáveis, os regimes transitórios não se extinguem, e portanto não podemos considerar o processo estacionário. Não pode ser feita uma aplicação directa dos métodos de correlação. No entanto, se forem conhecidos os modos instáveis do sistema, podemos factorizálos e formular um problema de estimação apenas da parte estável do sistema. Na prática isto só é factível para polos em z = 1. A solução final obtém-se por combinação da parte estável estimada com a parte instável conhecida.

23 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 23 Sistemas com polos em z = 1 Seja um sistema G(q) com p polos em z=1 e os restantes polos estáveis: 1 Gq ( ) = Gstable( q) p ( q 1) Uma experiência de identificação permitiu obter as sequências de entrada y(k) e u(k). Estes sinais estão relacionados da seguinte forma: p ( q 1) 1 yk ( ) = Gstable( quk ) ( ) p q q p

24 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 24 Calculam-se os sinais y (k) e u (k) por filtragem linear p ( q 1) 1 y'( k) = yk ( ), u'( k) = uk ( ) p p q q Podemos agora estimar a parte estável do sistema utilizando os sinais y (k) e u (k): y'( k) = G ( qu ) '( k) stable Obtendo-se a resposta impulsiva de G stable (q) g (k)

25 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 25 Esquematicamente: Gq ( ) uk ( ) u'( k) y'( k) 1 G ( ) p stable q q p q g'( k) ( q 1) p yk ( ) Obtém-se o g(k) total combinando os blocos: 1 gk ( ) = g'( k) ( q 1) p

26 Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 26 Exercícios É sabido que um sistema G(s) tem a seguinte estrutura: Gs () = 1 ( ) 2 2 s as + bs+ c e está inserido num sistema de controlo digital com período de amostragem h = 0.5. Pretende-se estimar a resposta impulsiva do sistema por análise de correlação. Efectue uma simulação matlab/simulink com os parâmetros a=1, b = 0.25 e c=1, para obter os sinais a usar na função de estimação. Compare a resposta impulsiva estimada com a resposta impulsiva verdadeira do sistema discretizado.