Resumo. Filtragem Adaptativa. Filtros adaptativos. Tarefas desempenhadas pelos filtros

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1 Resumo Filtragem Adaptativa Luís Caldas de Oliveira Instituto Superior Técnico Sistemas de filtragem adaptativa Conceitos de filtragem adaptativa Filtro de Wiener Algoritmo steepest descent Algoritmo adaptativo de mínimos quadrados (LMS) Exemplos de aplicação Filtragem Adaptativa p1/45 Filtragem Adaptativa p2/45 Tarefas desempenhadas pelos filtros Filtros adaptativos Filtragem: extracção de informação no instante usando dados medidos até esse instante Alisamento: poderá utilizar informação passada ou futura para calcular a saída presente Predição: utiliza a informação passada para predizer o valor que tomará no futuro São filtros com coeficientes que variam no tempo Adaptam-se automaticamente a alterações nos sinais de entrada Baseiam-se num algoritmo de minimização do erro Filtragem Adaptativa p3/45 Filtragem Adaptativa p4/45

2 Diagrama de um filtro adaptativo Caracterização do algoritmo adaptativo y(n) = s(n) + r(n) sinal + ruído + e(n) s(n) ^ estimativa do sinal Taxa de convergência: velocidade com que atinge uma aproximação da solução óptima Desajustamento: diferença entre o erro cometido e o erro da solução óptima x(n) ruído Filtro digital r(n) ^ estimativa do ruído Seguimento: capacidade de seguir as variações estatísticas em ambientes não-estacionários Robustez: pequenas perturbações produzem pequenos erros de estimação Algoritmo adaptativo Requisitos computacionais: número de operações Estrutura: o fluxo de informação do algoritmo pode permitir realizações paralelas (por exemplo) Características numéricas: sensibilidade a erros de quantificação e à precisão finita nos cálculos Filtragem Adaptativa p5/45 Filtragem Adaptativa p6/45 Algumas aplicações da filtragem adaptativa Filtragem adaptativa para redução de ruído Na electro-encefalografia (EEG) onde os movimentos dos olhos ou das palpebras pode contaminar a medida da actividade eléctrica do cérebro Fonte de sinal y(n) = s(n) + r(n) + e(n) s(n) ^ Na comunicação em spread spectrum em que o ruído interfere em variadas gamas de frequência em função do tempo Fonte de ruído x(n) Filtro adaptativo r(n) ^ Nos modems onde as características do canal variam com o tempo sendo necessária uma equalização adaptativa Nos sistemas de mãos-livres dos telemóveis, tanto para reduzir o ruído como para cancelar ecos Filtragem Adaptativa p7/45 Filtragem Adaptativa p8/45

3 Exemplo 1 Filtragem adaptativa para identificação de sistemas Sabendo que a saída do cancelador de ruído vale; entrada do sistema Sistema desconhecido + saída do sistema mostre que a minimização de sinal-ruído da saída maximiza a relação Filtro adaptativo e(n) Filtragem Adaptativa p9/45 Filtragem Adaptativa p10/45 Realização do filtro adaptativo Filtragem linear óptima Apesar de poderem ser utilizadas outras formas, a filtragem FIR é a mais comum devido à sua simplicidade e garantia de estabilidade: y(n) + e(n) x(n) Filtro de Wiener y(n) ^ em que são os coeficientes do filtro adaptativo (pesos) Esta estrutura é também referida como filtro transversal O objectivo é o de determinar os coeficientes do filtro, que produzem a saída que pretende ser uma estimativa da saída desejada,, conhecendo-se um conjunto das amostras de entrada,,, Filtragem Adaptativa p11/45 Filtragem Adaptativa p12/45

4 Erro de estimação na forma matricial onde Filtragem Adaptativa p14/45 Operador gradiente No caso geral, os coeficientes do filtro adaptativo são complexos: O operador gradiente é definido em termos das derivadas parciais em relação à parte real e imaginária do -ésimo coeficiente do filtro: Filtragem Adaptativa p16/45 Erro de estimação Chama-se erro de estimação à diferença entre o valor desejado e o realmente produzido pelo filtro: Filtragem Adaptativa p13/45 Erro quadrático médio é o operador estatístico de valor esperado em que Filtragem Adaptativa p15/45

5 Optimização Filtragem Adaptativa p17/45 Resultado da optimização Calculando as derivadas parciais: substituindo: Filtragem Adaptativa p18/45 Princípio da Ortogonalidade A condição necessária e suficiente para a função de custo atingir um valor mínimo é que o correspondente valor do erro de estimação seja ortogonal a cada amostra de entrada utilizada na estimação da resposta desejada no instante Filtragem Adaptativa p19/45 Corolário ao Princípio da Ortogonalidade Quando o filtro opera em situação óptima, a estimativa da resposta desejada,, e a correspondente estimativa do erro,, são ortogonais entre si Filtragem Adaptativa p20/45

6 Notação Transposição Hermitiana de um vector: Produto interno de dois vectores: Filtragem Adaptativa p22/45 Vector de correlação cruzada na forma expandida: Filtragem Adaptativa p24/45 Equações de Wiener-Hopf expandindo: Filtragem Adaptativa p21/45 Matriz de autocorrelação da entrada na forma expandida: Filtragem Adaptativa p23/45

7 Outra forma de obter as equações de Wiener-Hopf Filtragem Adaptativa p26/45 Utilidade do filtro de Wiener O filtro de Wiener tem pouca utilidade prática: requer a matriz de autocorrelação,, e o vector de correlação cruzada,, que não são conhecidos a priori; necessita de uma inversão matricial que é computacionalmente dispendiosa; se os sinais não forem estacionários, e variam no tempo e tem de ser repetidamente calculado Filtragem Adaptativa p28/45 Equações de Wiener-Hopf na forma matricial são os coeficientes óptimos do filtro: em que resolvendo: Filtragem Adaptativa p25/45 Valor mínimo do erro quadrático médio Aplicando o corolário do princípio da ortogonalidade Filtragem Adaptativa p27/45

8 A tijela Minimização do erro quadrático por steepest descent A função de custo (erro quadrático médio) é uma função de 2 a ordem dos coeficientes do filtro O erro quadrático médio pode ser visto como um parabolóide multidimensional (uma tijela) com um único valor mínimo As coordenadas correspondentes ao valor mínimo correspondem aos coeficientes do filtro de Wiener 1 Começar com um valor inicial coeficientes do filtro para o vector dos 2 Calcular o vector gradiente com as derivadas parciais do erro quadrático médio em ordem aos diversos coeficientes do filtro 3 Calcular uma nova estimativa para o vector dos coeficientes do filtro na direcção oposta à do vector gradiente: 4 Voltar ao passo 2 e repetir o processo Filtragem Adaptativa p29/45 Filtragem Adaptativa p30/45 Vector gradiente Estabilidade do algoritmo steepest descent A condição necessária e suficiente de estabilidade é: em que correlação é o maior valor próprio da matriz de Na prática: Filtragem Adaptativa p31/45 em que o denominador é a potência do sinal à entrada do filtro: Filtragem Adaptativa p32/45

9 Abordagem do gradiente estocástico Estimação do gradiente Adaptação dos coeficientes do filtro: Modificamos o sistema de equações de Wiener-Hopf usando o método de steepest descent O vector gradiente depende da matriz de correlação e do vector de correlação cruzada Em seguida usamos os valores instantâneos das correlações para estimar o vector gradiente O vector gradiente assume um carácter estocástico Este algoritmo é geralmente conhecido como algoritmo de mínimos quadrados (LMS) Estimativas instantâneas de e de : Estimativa instantânea do vector gradiente: Filtragem Adaptativa p33/45 Filtragem Adaptativa p34/45 Substituição das estimativas no algoritmo steepest descent Algoritmo LMS por outro lado: finalmente: Para cada nova amostra: Começar por inicializar os coeficientes, com um valor arbitrário (, por exemplo) Calcular a saída do filtro adaptativo: Calcular uma estimativa do erro: Actualizar os coeficientes do filtro: Filtragem Adaptativa p35/45 Filtragem Adaptativa p36/45

10 Algoritmo LMS Limitações práticas do algoritmo LMS Não exige o conhecimento prévio das características do sinal de entrada Utiliza estimativas instantâneas das estatísticas do sinal de entrada As estimativas dos coeficientes do filtro vão sendo melhoradas à medida que este aprende as características da entrada Os coeficientes nunca atingem o valor óptimo (solução de Wiener) mas vão oscilando à volta dela Se o sinal de entrada não é estacionário, o algoritmo perde desempenho porque tem de acompanhar a variação das características da entrada Se não contiver apenas ruído, o filtro pode também eliminar componentes significativas de Ao utilizar aritmética de precisão finita, os erros de arredondamento acumulam-se, podendo impedir a convergência do algoritmo ou adicionar ruído à saída Filtragem Adaptativa p37/45 Filtragem Adaptativa p38/45 Realização do algoritmo LMS Exemplo 1 function [w, erro] = lms(entrada, desejado, ordem_lms, miu, w0) Considere o processo autoregressivo (AR) definido por N = max(size(entrada)); w(1:ordem_lms,1) = w0(1:ordem_lms,1); i = 1; for k = ordem_lms:n, u(1:ordem_lms,1)=entrada(k:-1:k-ordem_lms+1); erro(k) = desejado(k) - w(:,i) *u; w(:,i+1) = w(:,i) + miu*conj(erro(k))*u; i = i+1; end; Filtragem Adaptativa p39/45 em que é ruído branco gaussiano de média nula Utilize o algoritmo LMS para estimar o parâmetro utilizando o seguinte erro de predição: Analize o comportamento do algoritmo para diversos valores de e do passo adaptativo Repita o procedimento um número significativo de vezes e observe a curva de convergência média Filtragem Adaptativa p40/45

11 Exemplo 2 Algoritmo LMS rápido Considere um microfone que capta um sinal contaminado com ruído: Sabendo que, apesar de não conhecer, dispõem de outro microfone onde recebe esse sinal filtrado por um sistema linear: Indique um procedimento para obter No caso da ordem do filtro adaptativo ( ) ser elevada, a determinação do erro pode ter um peso computacional significativo pela necessidade do cálculo da convolução: Neste caso pode ser vantajoso realizar o algoritmo em blocos de ordem amostras, realizando a convolução com FFTs de Filtragem Adaptativa p41/45 Filtragem Adaptativa p42/45 Eco telefónico Cancelamento do eco telefónico Canal Canal eco de B eco de B A Circuito Híbrido Circuito Híbrido B A Circuito Híbrido FA FA Circuito Híbrido B eco de A eco de A Canal Canal Filtragem Adaptativa p43/45 Filtragem Adaptativa p44/45

12 Sistema de mãos-livres eco acústico FA FA Circuito Híbrido eco híbrido Filtragem Adaptativa p45/45