p.1/48 Eduardo Mendes Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil

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1 p1/48 Capítulo 4 - Métodos ão Paramétricos Eduardo Mendes Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av Antônio Carlos 27, elo Horizonte, MG, rasil

2 p2/48 Introdução Os métodos não paramétricos são aqueles que não resultam em um modelo matemático tal como uma função de transferência, mas sim numa representação gráfica que caracteriza a dinâmica do sistema em estudo Exemplos típicos de tais representações são a resposta ao impulso e a resposta em freqüência Este capítulo será útil para introduzir alguns conceitos e chamar a atenção para alguns problemas presentes também na identificação de modelos paramétricos

3 Redução do efeito de ruído (a) 2 y(t)+e(t) (b) media[y_i(t)+e_i(t)] t Figura 1: Redução do efeito de ruído aleatório ao se tirar a média de sinais de testes similares (a) uma realização do teste, (b) média resultante de cem testes semelhantes ao mostrado em (a) Esse procedimento é também conhecido como acumulação de amostras p/48

4 Esse procedimento se baseia na pressuposição de que o ruído é aleatório com média zero, ou seja, o ruído é branco e, portanto, não consistente Assume-se que o processo é ergódico p4/48

5 p4/48 Esse procedimento se baseia na pressuposição de que o ruído é aleatório com média zero, ou seja, o ruído é branco e, portanto, não consistente Assume-se que o processo é ergódico Ergodicidade: Um atributo de sistemas estocásticos; geralmente um sistema que tende, em probabilidade, à uma forma limitante que é independente das condições iniciais

6 p5/48 Justificativa A justificativa para o aumento da relação sinal/ruído acima pode ser entendida da seguinte forma Seja a -ésima amostra do sinal com ruído com desvio padrão Um conjunto de simulações dá origem a amostras na posição, com média # "!

7 p5/48 Justificativa A justificativa para o aumento da relação sinal/ruído acima pode ser entendida da seguinte forma Seja a -ésima amostra do sinal com ruído com desvio padrão Um conjunto de simulações dá origem a amostras na posição, com média # "! A média das simulações é & "! &(' sendo que indica o número total de amostras

8 , *+ ), *+ ), *+ ), *+ ), *+ ) p5/48 Justificativa A justificativa para o aumento da relação sinal/ruído acima pode ser entendida da seguinte forma Seja a -ésima amostra do sinal com ruído com desvio padrão Um conjunto de simulações dá origem a amostras na posição, com média # "! simulações é A média das & "! &(' indica o número total de amostras sendo que - / /, *+ ) - "! - / / "! # !

9 , *+ ) p/48 - Finalmente (-)

10 2 1 -, *+ ) -, *+ ) p/48 Finalmente (-) Portanto, (-) mostra que o desvio padrão da -ésima amostra do sinal resultante do procedimento de média,, é menor que o desvio padrão da respectiva amostra no sinal original

11 -,; 9 <= > 9 A? 4 p7/48 Identificação baseada em funções de correlação A função de correlação cruzada (FCC) entre dois sinais e é definida como : E 4 4? D C :9 5 8?@

12 -,; 9 <= > 9 A? <= > A D 4 p7/48 Identificação baseada em funções de correlação A função de correlação cruzada (FCC) entre dois sinais e é definida como : E 4 4? D C :9 5 8?@ o caso discreto, a definição é F F &('

13 -,; 9 <= > 9 A? <= > A D <= > A D Identificação baseada em funções de correlação 4 A função de correlação cruzada (FCC) entre dois sinais e é definida como : E 4 4? D C :9 5 8?@ o caso discreto, a definição é F F &(' pode ser 4 A função de autocorrelação (FAC) de um sinal estimada usando-se F F &(' p7/48

14 G G, G ; I 9 I G p8/48 FAC de um processo MA Seja o processo MA variável aleatória, branca, de variância I H KJ, sendo A FAC de L pode ser determinada, assumindo-se estacionariedade, usando-se uma - :9 57M M

15 I I I G G L G, G ; G I I H I,; H I,; I I I,; - I I 9 p8/48 FAC de um processo MA uma, sendo A FAC de Seja o processo MA variável aleatória, branca, de variância KJ H pode ser determinada, assumindo-se estacionariedade, usando-se - 9 :9 57M M pode ser determinada como A FAC de Q O ; J HP 5 M M - - J L - /, ; I H KJ I H 5 M M - H H L 9, ; J I H KJ I H :9 57M M S R 9

16 o desenvolvimento anterior a esperança matemática de alguns produtos cruzados era nula Como será visto mais adiante, isso é uma conseqüência de algumas propriedades de sinais aleatórios p9/48

17 -,; 9 <= > 9 A? T <= > A? T 4 [ <= > A? T p10/48 FAC de uma senóide A função de autocorrelação [ 4 Z X TVUW 4 Seja o sinal desse sinal é: E 4 4? D C?@ 4 E [ 9 4 Z X [ UW 4 X UW? D C?@ -E 9 4 U ^\ J 9 U,]\^? D C?@ 9 U ^\

18 -,; 9 <= > 9 A? T <= > A? T 4 [ <= > A? T FAC de uma senóide A função de autocorrelação [ 4 Z X TVUW 4 Seja o sinal desse sinal é: E 4 4? D C?@ 4 E [ 9 4 Z X [ UW 4 X UW? D C?@ -E 9 4 U ^\ J 9 U,]\^? D C?@ 9 U ^\ Torna-se claro que a função de autocorrelação possui o mesmo período que a função original De fato, essa propriedade não se limita apenas a sinais senoidais pois a FAC de qualquer sinal periódico é também periódica p10/48

19 Detecção de correlação em meio ao ruído 1 1 a G G I I Sejam e,, sendo que e são variáveis aleatórias não correlacionadas com média nula ` Z U T \^ `_ TVUW Z X t Figura 2: Trechos dos sinais (superior) e (inferior) do exemplo 11 Devido ao ruído, os sinais parecem descorrelacionados p11/48

20 p12/ lag Figura : FCC entre e Os sinais são correlacionados com periodicidade de aproximadamente 40 períodos de amostragem

21 A correlação é periódica com periodicidade em torno de 40 amostras A robustez com respeito ao ruído é uma das características desejáveis da FAC e da FCC p1/48

22 9f g e d c a b a p14/48 Estimação de tempo morto usando a FCC Foi simulado um sistema com ; ; e com tempo morto de segundos Foi adicionado ruído branco com desvio padrão M

23 9f g e d c a b a p14/48 Estimação de tempo morto usando a FCC Foi simulado um sistema com ; ; e com tempo morto de segundos Foi adicionado ruído branco com desvio padrão M Para a entrada com características aleatórias, a FCC tem um valor máximo em torno do atraso 58, que corresponde a um tempo de 5,8 segundos Apesar de bastante simples e muito robusto ao ruído o presente procedimento depende das características do sinal de entrada e é fortemente influenciado pela dinâmica do sistema

24 Figura 4: Estimação de tempo morto usando a FCC entre saída e entrada da função de transferência simulada para: (a) entrada em degrau, e (b) entrada pseudo-aleatória p15/48

25 A hi ' p1/48 Seja o somatório de convolução F J j F

26 A hi ' <= > A D p1/48 Seja o somatório de convolução F J j F Substituindo-se a equação acima em F F & '

27 A hi ' <= > A D A j p1/48 Seja o somatório de convolução F J j F Substituindo-se a equação acima em F F & ' resulta na equação de Wiener-Hopf F J F j 5l 5 8 i & ' são relacionadas, à semelhança de 5l8 As funções de correlação e pela resposta ao impulso do sistema, e 5

28 j j j p17/48 Usando a equação de Wiener-Hopf, um conjunto de equações pode ser escrito da seguinte forma: / J 5 / j / / j / / j

29 j j j r m r m r m j j w p17/48 Usando a equação de Wiener-Hopf, um conjunto de equações pode ser escrito da seguinte forma: / J 5 / j / / j / / j que pode ser expressa em forma matricial como se segue: j J sosososososqt nonononononqp sosososososqt nonononononqp sosososososqt nonononononqp v u 8

30 R 1 w p18/48 x e diagonal será v, 5 Se for tal que, w y 5 u 8 u 8

31 R 1 w z G z, <= > G A D z <= G > A D D M w x,, e diagonal será v 5 for tal que Se w y 5 u 8 u 8, tem-se / Se, - F / F F & ' { F F / F & ' & ' / 5 } 5 8 w y 5 u M } u 8 } u 8 p18/48 u M

32 Estimação estocástica da resposta ao impulso ƒ D g p19/48 A função de transferência é simulada para uma entrada,, pseudo-aleatória e ruído é adicionado à resposta, A variância do ruído é, ou seja, vezes maior M ~ do que a do ruído usado no exemplo do capítulo anterior, cuja função de transferência era: Z Z g J

33 p20/ amostras Figura 5: Resposta ao impulso ( ) original e (+) estimada O traço contínuo foi adicionado a fim de facilitar a visualização

34 p21/ lag Figura : FAC de, de confiança de 95 5 As faixas indicadas são os intervalos

35 G p22/ lag Figura 7: FCC entre e, intervalos de confiança de 95 5 M As faixas indicadas são os

36 R p2/48 O ruído não é desprezível como requerido por métodos determinísticos de identificação Por se tratar de um método estocástico, a exigência sobre o ruído é que que pode ser facilmente verificado a partir da Figura 7 5 M, o

37 a Š Š Š Š Š Š a p24/48 Sinais Aleatórios e Pseudo-Aleatórios Seja uma variável aleatória cuja distribuição é gaussiana com média e desvio padrão Seja uma determinada realização de, então a probabilidade de estar compreendida nas faixas & ˆ & ˆ & ˆ J ˆ & ˆ J Vˆ & Vˆ J é de de 8, 95 e 99,7, respectivamente

38 Verificação dos limites de Confiança da FCC 2 1 Figura 8: Histograma dos coeficientes de correlação entre os sinais não correlacionados e para valores específicos de atraso O gráfico sugere gaussianidade A média e o devião padrão são: e Os limites de confiança Œ J 5 ˆ8 Ž aproximam-se de confirmando a equivalência das relações acima 5 ˆ8 5 ˆ8, Ž p25/48

39 Œ Œ 2 1 Figura 9: Histograma dos coeficientes de correlação entre os sinais não correlacionados e para valores específicos de atraso O gráfico sugere gaussianidade A média e o devião padrão são: e Os limites de confiança a g J J 5 ˆ8 Ž aproximam-se de, confirmando a equivalência das relações acima 5 ˆ8 5 ˆ8 Ž p2/48

40 Œ a J 2 1 Figura 10: Histograma dos coeficientes de correlação entre os sinais não correlacionados e para valores específicos de atraso O gráfico sugere gaussianidade A média e o devião padrão são: e Os limites de confiança 5 ˆ8 Ž aproximam-se de confirmando a equivalência das relações acima 5 ˆ8 5 ˆ8, Ž p27/48

41 Œ Œ g Œ 2 1 Figura 11: Histograma dos coeficientes de correlação entre os sinais não correlacionados e para valores específicos de atraso O gráfico sugere gaussianidade A média e o devião padrão são: e Os limites de confiança 5 ˆ8 Ž aproximam-se de, confirmando a equivalência das relações acima 5 ˆ8 Ž 5 ˆ8 p28/48

42 p29/48 Sinais binários pseudo-aleatórios Figura 12: FAC típica de sinais pseudo-aleatórios A parte indicada no quadro tracejado aproxima-se à FAC de sinais aleatórios

43 p0/48 Figura 1: A temporização o circuito define um valor (+ na saída ou - )

44 Tabela 1: Conexões para gerar sinais de seqüência J bits usados pela porta OU-Exclusivo 2 1 e e 4 15 e e 5 5 e e ,,4 e e e e 11 p1/48

45 p2/48 A periodicidade do sinal PRS não pode ser menor do que o tempo de acomodação do sistema que está sendo testado Caso contrário, o sistema perceberá a periodicidade do sinal PRS, reduzindo, assim, o carácter de aleatoriedade do teste

46 p2/48 A periodicidade do sinal PRS não pode ser menor do que o tempo de acomodação do sistema que está sendo testado Caso contrário, o sistema perceberá a periodicidade do sinal PRS, reduzindo, assim, o carácter de aleatoriedade do teste Por outro lado, se o período for suficientemente longo, o sistema verá o sinal de excitação como sendo aleatório

47 p/48 O intervalo entre bits,, dever ser compatível com a menor constante de tempo de interesse C Se for muito grande, o sistema interpretará o sinal PRS como sendo um degrau (características pobres para a maioria dos métodos de identificação) C

48 p/48 O intervalo entre bits,, dever ser compatível com a menor constante de tempo de interesse C Se for muito grande, o sistema interpretará o sinal PRS como sendo um degrau (características pobres para a maioria dos métodos de identificação) C Se for muito curto, o sistema não terá tempo de responder a uma transição antes de chegar a próxima C

49 Q z e œ O9 X š ^+ z œ 9 z e œ O9 a p/48 O intervalo entre bits,, dever ser compatível com a menor constante de tempo de interesse C Se for muito grande, o sistema interpretará o sinal PRS como sendo um degrau (características pobres para a maioria dos métodos de identificação) C Se for muito curto, o sistema não terá tempo de responder a uma transição antes de chegar a próxima C Um resultado heurístico que fornece boas escolhas para o valor de é C Q X š ^+ CŸž sendo que e round[ ] fornece o inteiro mais próximo e é a menor constante de tempo de interesse

50 Œ p4/ amostras Figura 14: Sinal PRS de seqüência com Observe que são mostrados os níveis lógicos A transformação desses níveis para níveis de tensão é e J

51 Sinal tipo PRS em turbina de avião Figura 15: Sinais medidos em turbina de avião (a) sinal PRS de seqüência de vazão de combustível (cm /s) e (b) velocidade de rotação de eixo de medida () - copyright IEEE 2001 p5/48

52 F 4 & & i & i p/48 Reduzindo o Efeito do Ruído no Domínio da Freqüência De posse do sinal de saída, resposta à excitação senoidal,, as seguintes constantes podem ser calculadas: 4 & 0 Z X T WU & 4 & «ª & 4 E 4 Z X UW 4 & _ «ª & 4 E 4 Z U \^ 4 & _ o número de ciclos da saída sendo

53 F 4 & & i & i D p/48 Reduzindo o Efeito do Ruído no Domínio da Freqüência De posse do sinal de saída, resposta à excitação senoidal,, as seguintes constantes podem ser calculadas: 4 & 0 Z X T WU & 4 & «ª & 4 E 4 Z X UW 4 & _ «ª & 4 E 4 Z U \^ 4 & _ o número de ciclos da saída sendo Finalmente, pode-se mostrar que T & 1 & & & & 1 & X * [ &

54 A A h D G A h D G p7/48 Funções de potência espectral Aplicando-se a transformada de Fourier à equação de Wiener-Hopf, resulta em F J F j # i & ' ± ± 8 é a função de densidade de potência do espectro cruzado entre e, ou seja, ± ± 8 AD ² ' é a função de densidade espectral, ou Z ± : e a grandeza real o espectro, de 5l Z ± AD ² '

55 Estimação estocástica da resposta em freqüência ƒ g p8/48 Seja a função de transferência Z Z g J Um sinal pseudo-aleatório de seqüência de 11 bits foi usado para excitar o sistema Apenas 512 amostras foram usadas À resposta do sistema foi adicionado ruído branco com variância M

56 p9/48 0 (a) 20 H(jw) (d) (b) fase de H(jw) (graus) freqüência (rad/s) Figura 1: Respostas em freqüência real e estimada (a) ganho, e (b) fase das respostas em freqüência do sistema original (traço contínuo) e estimada a partir de e (tracejado)

57 p40/48 0 (a) 20 H(jw) (d) (b) fase de H(jw) (graus) freqüência (rad/s) Figura 17: Respostas em freqüência real e estimada (a) ganho, e (b) fase das respostas em freqüência do sistema original (trace- (traço contínuo) e estimada a partir de jado) e v 8 v

58 > A <= > A, F ³ p41/48 Persistência de Excitação é persistentemente excitante de Definição 01 Um sinal ordem se os limites <= ²@ ² ' J F J F 5 ²@ & ' existirem e se a matriz - F J 5 v h & for não singular

59 v R p42/48 Persistência de excitação de sinais Seja um pulso, e resulta em Ou seja, um pulso não é persistentemente excitante de nenhuma ordem x Isso

60 v v R p42/48 Persistência de excitação de sinais Seja um pulso, e resulta em Ou seja, um pulso não é persistentemente excitante de nenhuma ordem x Isso Se for um degrau de amplitude, então e sónão será singular para Ou seja, o degrau é um 5 sinal persistentemente excitante de ordem 1 Assim sendo, em regime permanente, a resposta ao degrau de um sistema só serve para estimar um parâmetro, o ganho estático

61 v I v L L v µ R p42/48 Persistência de excitação de sinais Seja um pulso, e resulta em Ou seja, um pulso não é persistentemente excitante de nenhuma ordem x Isso Se for um degrau de amplitude, então e sónão será singular para Ou seja, o degrau é um 5 sinal persistentemente excitante de ordem 1 Assim sendo, em regime permanente, a resposta ao degrau de um sistema só serve para estimar um parâmetro, o ganho estático Se 5 L L matriz for ruído branco com variância, então, sendo a função delta de Dirac Portanto, a µ y é não singular para qualquer valor de Conseqüentemente, o ruído branco é persistentemente excitante de todas as ordens

62 I I I ¼ h G»» p4/48 Se for ruído branco, e o sinal com um filtro de média móvel for obtido filtrando-se, então o sinal Z KJ I º¹ / J I também será persistentemente excitante de qualquer ordem Para ver isso, basta notar que o espectro é plano e que o filtro só pode ter valores nulos no seu espectro Conseqüentemente, o espectro de, ainda tem infinitos valores não nulos ¼ ± ± L ± L

63 Complementos - Definição de PE no domínio da freqüência ¼ ¼ ¼ h G ¼ h G D D p44/48 Um sinal de ordem com espectro é persistentemente excitante se para todos os filtros do tipo Z ± Z ½ a relação ½ ¾ ± implica que ½ ¾

64 p45/48 Complementos - O método de Levy O método a ser descrito neste complemento foi originalmente proposto por Levy (1959) O objetivo é determinar os coeficientes de um modelo ¹ À ¹ À À i Z de forma que a sua resposta em freqüência se aproxime de uma resposta em freqüência, estimada a partir de procedimentos experimentais,

65 Á Â p45/48 Complementos - O método de Levy O método a ser descrito neste complemento foi originalmente proposto por Levy (1959) O objetivo é determinar os coeficientes de um modelo ¹ À ¹ À À i Z de forma que a sua resposta em freqüência se aproxime de uma resposta em freqüência, estimada a partir de procedimentos experimentais, O erro do modelo no domínio da freqüência é J J

66 Á Ä Á Á p4/48 Uma solução alternativa é conseguida fazendo-se Z Ä / Z Ã J Â Â Ã ¼ Z Ä / Z Ã ¼ ¼ Z Â ¼ Z Ä Z Ã ¼ Â ¼

67 Á Ä Á Á Ê Ä & & p4/48 Uma solução alternativa é conseguida fazendo-se Z Ä / Z Ã J Â Â Ã ¼ Z Ä / Z Ã ¼ ¼ Z Â ¼ Z Ä Z Ã ¼ Â ¼ Tomando-se a resposta em freqüência conhecida em freqüências distintas, pode-se definir a seguinte função custo: ÉÈ Ë Z Ã ÅÇÆ & '

68 Á Ä Á Á Ê Ä & & p4/48 Uma solução alternativa é conseguida fazendo-se Z Ä / Z Ã J Â Â Ã ¼ Z Ä / Z Ã ¼ ¼ Z Â ¼ Z Ä Z Ã ¼ Â ¼ Tomando-se a resposta em freqüência conhecida em freqüências distintas, pode-se definir a seguinte função custo: ÉÈ Ë Z Ã ÅÇÆ & ' podem ser facilmente Z Os coeficientes de determinados, usando-se técnicas convencionais, minimizando-se Å Æ

69 d g a Œ g a p47/48 Exemplo - O método de Levy O objetivo é obter um modelo paramétrico,, a partir da resposta em freqüência,, estimada usando os dados Z coletados em teste realizado numa planta piloto de bombeamento de água Os modelos determinados pelo método de Levy são Z d g g Z a Ì g~

70 p48/48 12 (a) H(jw) (d) (b) fase de H(jw) (graus) w (rad/s) Figura 18: Resposta em freqüência estimada e de modelos:, e respostas em freqüência dos modelos obtidos usandose o método de Levy ( ), (- -) e (- -) (a) ganho, e (b) fase (pulso