Amostragem de Sinais
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- Juliana Sabala das Neves
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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Amostragem de Sinais Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva 1
2 Amostragem (Sampling) Para um sinal em tempo continuo x(t) Considera-se um trem de impulsos p(t), com período T 2
3 Amostragem (Sampling) O sinal amostrado se obtém da multiplicação do sinal x(t) com o trem de impulsos p(t) x(t) sinal em tempo continuo p(t) função de amostragem (trem de impulsos) xp(t) sinal amostrado no tempo discreto 3
4 Amostragem (Sampling) Sinal no tempo continuo Função de amostragem s 2 T fs 1 T Sinal amostrado no tempo discreto 4
5 Amostragem (Sampling) O sinal amostrado pode ser representado como um trem de impulsos ponderados com período T x p (t ) x nt t nt n 5
6 Análise da Amostragem na Frequência Considerando que o espectro de Fourier do sinal x(t) é: Com frequência máxima de M 6
7 Análise da Amostragem na Frequência Para analisar o que acontece com o produto no tempo e na frequência, se deve utilizar as propriedades de convolução da Transformada de Fourier F x(t )* p(t ) X ( ) P( ) F x(t ). p(t ) 1 X ( )* P( ) 2 7
8 Análise da Amostragem na Frequência A transformada de Fourier de uma sequência de impulsos é: 2 p(t ) P( ) k s T k F 8
9 Análise da Amostragem na Frequência Domínio do Tempo x p (t ) x(t ) p(t ) p(t ) t nt n x p (t ) n x nt t nt Domínio da Frequência 1 X * P 2 2 P( ) k s T k X p ( ) 1 2 X p ( ) X k * s T k 2 1 X p ( ) X k s T k Sequência periódica 9
10 Análise da Amostragem na Frequência Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado na frequência é equivalente a replicar o espectro original em múltiplos da frequência de amostragem s 1 X ( ) T 1 X ( s ) T 1 X ( 2 s ) T 10
11 Análise da Amostragem na Frequência O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado por Xp( ) Sequência Amostrada no Tempo Sequência Amostrada na Frequência 1 X ( ) T x p (t ) 1 X ( s ) T 1 X ( 2 s ) T x nt t nt n 1 X p ( ) T X k k s 11
12 Teorema da Amostragem Amostragem no dominio da frequência M=Freq. Máxima s=freq. Amostragem Condição para que não haja superposição de espectros M s M 2 M s 12
13 Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência. H ( ) H ( ) e j ( ) 13
14 Filtro Passa-Baixa 1 c RC H( ): Função de transferência do sistema c : Frequência de corte 14
15 Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos A recuperação do espectro original X( ) pode ser realizada utilizando um filtro passa-baixa com frequência de corte: S c 2 Transf. Inversa de Fourier 15
16 Efeito Aliasing (Superposição de Espectros) Se: s M M s 2 M Efeito Aliasing Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X( ) 16
17 Teorema da Amostragem Define-se o Teorema da Amostragem: Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X( )=0 para > M. Então x(t) é únicamente determinada por suas amostras no dominio discreto x(nt), se: s 2 M fs 2 fm com : 2 s T com : 1 fs T 17
18 Exemplo 1 Para o sinal Com frequência de amostragem fs=8000 Hz 18
19 Exemplo 1 Sinal amostrado a fs=8000 Hz 19
20 Teorema da Amostragem Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas. 20
21 Teorema da Amostragem Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas. 21
22 Reconstrução de Sinais A reconstrução de sinais, é o procedimento de recuperação do sinal analogico a partir das amostras do sinal. Este procedimento pode fazer uso de um filtro passa-baixo. 22
23 Reconstrução de Sinais Primeiramente, o sinal discreto processado x(n) se converte em um trem de impulsos xs(t) cuja amplitude é proporcional à saída discreta x(n). Dois impulsos consecutivos são separados com um período de amostragem T Finalmente, aplica-se um filtro analógico de reconstrução para a recuperação das amostras do sinal xs(t), obtendo-se o sinal recuperado. 23
24 Reconstrução de Sinais 24
25 Reconstrução de Sinais Para um sinal x(t) com espectro A recuperação do sinal depende da frequência de amostragem escogida. 25
26 Reconstrução de Sinais Caso 1: fs=2fmax 26
27 Reconstrução de Sinais Caso 2: fs 2fmax A frequência de corte do filtro passa-baixo é definida por fs B fc 2 27
28 Reconstrução de Sinais Caso 3: fs<2fmax 28
29 Conversor ADC Tipo FLASH Está composto por uma tensão de comparadores lógicos e uma unidade lógica. Por exemplo para um ADC de 2 bits referência, 29
30 Conversor ADC Tipo FLASH Este conversor tem uma alta velocidade de conversão, devido a que todos os bits são aquiridos ao mesmo tempo 30
31 Quantização A quantização é o processo de converter um nível de tensão analógico com precisão infinita a uma precisão finita. Por exemplo, se o processador digital tem 3-bits, as amplitudes podem ser convertidas em oito diferentes níveis. Um Quantizador Unipolar, trabalha com sinais de 0 volt a uma tensão de referência positivo. Um Quantizador Bipolar, tem uma faixa de tensão desde uma referência negativa a uma positiva. 31
32 Quantización xmax = valor máximo de tensão do sinal analógico x xmin = valor mínimo de tensão do sinal analógico x L = número de níveis de quantização #Bits = número de bits do conversor ADC = passo de quantização ou resolução do conversor ADC xq = níveis de quantização i = indica o índice correspondente do código binário xmax xmin L x xmin i round xq xmin i L 2 Bits i 0,1,..., ( L 1) 32
33 Erro de Quantização Quando o sinal de entrada x, se quantiza a xq, tem-se um erro de quantização definido como o erro de quantização: eq xq x Limites do erro de quantização eq
34 Erro de Quantização O erro de quantização tem uma distribuição uniforme quando o é muito menor que a faixa dinâmica do sinal amostrado e com um número suficiente de amostras. Baseado na teoria de probabilidades e variáveis aleatórias, a potencia do ruído de quantização é dado por: 2 E eq2 12 Em que: E(.) é o operador de média 34
35 Erro de Quantização A relação de potência sinal a ruído de quantização (SNR) E x SNR E e 2 2 q 1 N 1 2 x ( n) N SNR nn 01 1 eq2 (n) N n 0 N 1 x 2 ( n) n 0 N 1 e ( n) n 0 2 q Em decibelios SNRdB 10 Log10 SNR E x2 xrms 10 Log10 SNRdB 10 Log10 2 E eq /12 xrms SNRdB Log10 35
36 Quantizador Unipolar xmax 8 xmin 0 Bits 3 L 2 Bits 8 Erro de Quantização xq xmin i i 0,1,...,7 36
37 Quantizador Unipolar 37
38 Quantizador Bipolar xmax 4 xmin 4 Bits 3 L 2 Bits 8 Erro de Quantización xq xmin i i 0,1,...,7 38
39 Quantizador Bipolar 39
40 Exemplo 2 Para um ADC de 3-bit com intervalo de entrada de 0 a 5 volt xmax 5 xmin 0 Bits 3 L 2 Bits , 625 volt 8 Para o nível de tensão do sinal de entrada x=3,2 volt 3, 2 0 i round round (5,12) 5 0, 625 xq xmin i xq 0 5 0, 625 3,125 volt 40
41 Exemplo 2 Para a tensão x=3,2 volt o valor da tensão quantizado é xq 3,125 v eq xq x eq 3,125 3, 2 eq 0, 075 v Limite do eq eq 0, 075 0,3125v 2 41
42 Exemplo 3 Para um sinal analógico x(t ) A.sin t Utilizando um quantizador Bipolar xrms 0, 707 A 2A 2 Bits x SNRdB 10, Log10 rms 0, 707 A SNRdB 10, Log10 2 A Bits 2 0, 707 SNRdB 10, Log10 20 Bits Log SNRdB 1, 76 6, 02 Bits (db) 42
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