Ajustamento de Observações

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1 Ajustamento de Observações Teoria dos Erros Prof. Dr. Marcos Aurélio Basso IFSULDEMINAS Campus Incondentes MG

2 Teoria dos Erros - Introdução Observações e erros de observação; Factores que caracterizam a medição de uma grandeza; Erros associados ao processo de medição; Métodos dos Mínimos Quadrados (MMQ); Modelo matemático, funcional e estocástico; Finalidade do método dos mínimos quadrados; Princípio do método dos mínimos quadrados; 2

3 Observação e Erros de Observação A medição de qualquer quantidade implica em levar a cabo um certo número de procedimentos físicos, tais como: preparação da medição (calibração, aferição); colocação do instrumento em posição de medição; e a comparação da quantidade a medir como padrão; o valor resultante deste conjunto de procedimentos, expresso em uma determinada unidade, representa a medição feita. 3

4 A execução de todas estas operações leva ao aparecimento de erros, que podem ser de três tipos. Erros Grosseiros Erros Sistemáticos Erros Acidentais ou Aleatórios 4

5 Erros Grosseiros Os erros grosseiros são normalmente originados por enganos ou descuidos e apresentam uma magnitude muito superior aos outros tipos de erros; Para que se possa fazer um ajustamento das observações, utilizando, por exemplo, o método dos mínimos quadrados, é necessário eliminar todos os erros acidentais existentes nas observações, devendo-se usar procedimentos e métodos que permitam a sua detecção e eliminação. 5

6 Erros Sistemáticos Os erros sistemáticos repetem-se do mesmo modo sempre que uma determinada ação se repete nas mesmas circunstâncias; São erros que, quando conhecidos, podem sempre ser expressos através de uma formulação matemática; Tal como acontece com os erros acidentais, para se fazer o ajustamento de um conjunto de observações também é necessário eliminar os erros sistemáticos, o que implica que se tenha que conhecer antecipadamente a fonte de erro (que pode ser por exemplo o observador, o instrumento usado, as condições físicas de medição, etc) 6

7 Erros Aleatórios Os erros aleatórios são erros de pequena amplitude cuja origem é desconhecida e que têm propriedades análogas às propriedades estatísticas de uma amostragem; Pode dizer-se que são os erros existentes num grupo de observações depois de detectados e eliminados os erros acidentais, identicadas as causas de erros sistemáticos e corrigidas as observações da sua inuência; A existência de erros aleatórios é uma característica inerente ao processo físico de medição, sendo portanto uma propriedade das observações. 7

8 Erros Aleatórios Deste modo quando estamos perante o problema de medir determinada grandeza (uma distância, um ângulo,...) podemos considerar que estatisticamente temos o seguinte problema: temos uma variável aleatória e vamos recolher uma amostra (fazer um conjunto de observações). Os parâmetros que denem a variável aleatória, valor médio e variância, vão nos dar respectivamente o valor a adoptar 1 para a grandeza que estamos a medir e uma indicação sobre a precisão com que as observações foram feitas. O problema de ajustamento consiste assim em determinar os parâmetros da variável aleatória à custa da amostra recolhida. 1 1 Admitir, concordar ou aderir, 2 Empregar, exercer ou utilizar 8

9 Erros Aleatórios Em virtude das propriedades das observações atrás descritas, em geral, quando se fazem observações de grandezas, para determinação do seu valor ou para as utilizar no cálculo de outras quantidades, fazem-se mais observações do que as estritamente necessárias. As principais razões para a existência de redundância são: - permitir a detecção de erros grosseiros através da conrmação dos valores medidos. permitir fazer uma avaliação mais precisa das quantidades desejadas, através da execução de um ajustamento. permitir estimar a ordem de grandeza da precisão obtida para os valores ajustados. 9

10 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso As observações, bem como o resultado do ajustamento são frequentemente analisados pela precisão, exatidão e acurácia. Acurácia refere-se ao grau de aproximação da estimativa em relação ao valor verdadeiro, e esta veiculado aos efeitos aleatórios e sistemáticos; A precisão expressa o grau de proximidade da observação com a sua média, vincula-se apenas os efeitos aleatórios; 10

11 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso num caso n dimensional, a precisão é representada pela matriz variância covariância (Σ). O traço (Tr) 2 desta matriz é frequentemente tomado como indicação da precisão média: Tr(ΣLb ) p media = n 2 Traço em algebra linear é a soma dos elementos da diagonal principal 11

12 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso por exemplo, as variâncias σi 2 e covariâncias σi,j 2 de um conjunto de n observações L b podem ser dispostas de maneira a formar uma matriz quadrada n n, representada por Σ Lb σ1 2 σ σ 1n σ 21 σ σ 2n Σ Lb = σ n1 σn σn 2 12

13 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso A matriz Σ Lb é uma matriz simétrica, recebe o nome de matriz MVC (matriz variância-covariância); No caso das observações serem independentes entre si, as covariâncias serão nulas e Σ Lb se degenera em uma matriz diagonal; Na prática a MVC é frequentemente substituída pela variância e covariância relativa; Deste modo, aplica-se o termo matriz de coecientes de peso ou de cofator por Q, onde q ij são os elementos desta matriz 13

14 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso Um cofator relaciona-se com uma covariância por: ou e com uma variância como: ou q ij = σ ij σ 2 0 σ ij = σ 2 0q ij q i = σ i σ 2 0 σ 2 i = σ 2 0q i 14

15 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso Nas equações apresentadas σ0 2 é uma constante arbitrária denominada de variância de peso unitária Aplicando no caso uma MVC, temos: Q = {q ij } = 1 {σ σ0 2 ij } = 1 Σ σ0 2 Lb 15

16 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso Se a matriz Q não for singular admitirá uma inversa, conhecida como matriz dos pesos P: P = Q 1 = σ 2 0Σ 1 Lb A matriz dos pesos, também é simétrica, se reduz a uma matriz diagonal quando as observações não são correlacionadas (independentes) entre si; Neste caso P (peso) e Q (inverso do peso); Os pesos das observações então recebem uma denição simples, e podem ser calculados por: p i = σ2 0 σ 2 i 16

17 Exatidão, Precisão, Matriz Cofatora e Peso Para os casos que há correlação entre as variáveis, é ainda possível estabelecer uma MVC e uma matriz cofatora. Não é possível estabelecer uma matriz de pesos; Isso ocorre porque os elementos da diagonal da matriz P não são os pesos e os da matriz Q não são os inversos do pesos; 17

18 Designado X o valor estimado de uma grandeza medida, por µ o seu valor verdadeiro, e por l i os valores observados, podemos considerar que: 1. erro verdadeiro 2. erro aparente ε = l i µ ɛ = l i X 3. resíduo v i = X l i 18