Estimação de Estados em Sistemas de Potência

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1 Estimação de Estados em Sistemas de Potência Antonio Simões Costa LABSPOT A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 1 / 16

2 Estimação de Estados em Sistemas de Potência (I) Objetivo: A partir de telemedidas redundantes e contaminadas por ruído disponibilizadas pelo sistema SCADA, obter a melhor estimativa (em um sentido a ser definido) para as variáveis de estado do sistema (módulo e ângulo das tensões nas barras). Características do problema: Número de medidas > número de variáveis a estimar (redundância); Admite-se que as medidas são contaminadas por ruído; Mínimos Quadrados Ponderados: método mais utilizado para definir a melhor estimativa. A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 2 / 16

3 Estimação de Estados em Sistemas de Potência (II) Vantagens da Estimação de Estados Pode processar diversos tipos de medidas; Fornece estimativas para quantidades que não são medidas; Pode fornecer resultados mesmo quando algumas medidas são perdidas; Fornece meios de se avaliar a confiança nos resultados; Redundância = capacidade de detecção e identificação de erros grosseiros. A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 3 / 16

4 Modelo de Medição (I) Variáveis: z : Vetor m 1 de medidas; z 0 : Vetor m 1 contendo os valores verdadeiros das quantidades medidas; η : Vetor m 1 dos erros de medição. x : Vetor n 1 dos estados: n: Número de estados (n = 2N barras 1). Vetor z é composto por medidas de: magnitude de tensão (v); fluxo de potência ativa e reativa(t e u); injeção de pot. ativa e reativa (p e q). A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 4 / 16

5 Modelo de Medição (II) Modelo de medição preliminar: z = z 0 + η Hipótese: η é Gaussiano, tem média zero e seus elementos são não-correlacionados: E (η) = 0; E (ηη T ) = R ( diagonal) Qualquer grandeza medida é uma função não-linear do vetor de estados x. Logo: z 0 = h(x) Modelo de medição em termos das variáveis de estado: z = h(x) + η A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 5 / 16

6 Método dos Mínimos Quadrados Ponderados Deseja-se minimizar a seguinte função-objetivo: J(ˆx) = [z h(ˆx)] T R 1 [z h(ˆx)] A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 6 / 16

7 Método dos Mínimos Quadrados Ponderados Deseja-se minimizar a seguinte função-objetivo: Condição de otimalidade: J(ˆx) = [z h(ˆx)] T R 1 [z h(ˆx)] J ˆx = 0 HT (ˆx)R 1 [z h(ˆx)] = 0 ( ) onde H(ˆx) = h(x)/ ˆx A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 6 / 16

8 Método dos Mínimos Quadrados Ponderados Deseja-se minimizar a seguinte função-objetivo: Condição de otimalidade: onde J(ˆx) = [z h(ˆx)] T R 1 [z h(ˆx)] J ˆx = 0 HT (ˆx)R 1 [z h(ˆx)] = 0 ( ) H(ˆx) = h(x)/ ˆx Sistema de equações ( ) é fortemente não linear e de dificil solução; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 6 / 16

9 Método dos Mínimos Quadrados Ponderados Deseja-se minimizar a seguinte função-objetivo: Condição de otimalidade: J(ˆx) = [z h(ˆx)] T R 1 [z h(ˆx)] J ˆx = 0 HT (ˆx)R 1 [z h(ˆx)] = 0 ( ) onde H(ˆx) = h(x)/ ˆx Sistema de equações ( ) é fortemente não linear e de dificil solução; Alternativa: linearização do sistema ( ) e emprego de métodos iterativos. A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 6 / 16

10 Modelo de Medição Linearizado Linearização de h(x) em torno de x k : h(x) h(x k ) + H(x k ) (x x k ) A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 7 / 16

11 Modelo de Medição Linearizado Linearização de h(x) em torno de x k : h(x) h(x k ) + H(x k ) (x x k ) Substituindo-se h(x) no modelo de medição z = h(x) + η: z h(x k ) }{{} z = H(x k ) (x x k ) }{{} x +η A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 7 / 16

12 Modelo de Medição Linearizado Linearização de h(x) em torno de x k : h(x) h(x k ) + H(x k ) (x x k ) Substituindo-se h(x) no modelo de medição z = h(x) + η: z h(x k ) }{{} z = H(x k ) (x x k ) }{{} x +η Logo, o modelo de medição linearizado é: z = H(x k ) x + η E (η) = 0; E (ηη T ) = R A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 7 / 16

13 Mín. Quad. Ponderados Aplicados ao Problema Linearizado (I) Modelo de medição linearizado: z = H(x k ) x + η E (η) = 0; E (ηη T ) = R A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 8 / 16

14 Mín. Quad. Ponderados Aplicados ao Problema Linearizado (I) Modelo de medição linearizado: z = H(x k ) x + η E (η) = 0; E (ηη T ) = R Função-Objetivo: J(ˆx) = [ z H(x k ) ˆx] T R 1 [ z H(x k ) ˆx] A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 8 / 16

15 Mín. Quad. Ponderados Aplicados ao Problema Linearizado (I) Modelo de medição linearizado: z = H(x k ) x + η E (η) = 0; E (ηη T ) = R Função-Objetivo: J(ˆx) = [ z H(x k ) ˆx] T R 1 [ z H(x k ) ˆx] Condição de Otimalidade: J ˆx = 0 HT (x k )R 1 [ z H(x k ) ˆx] = 0 A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 8 / 16

16 Mín. Quad. Ponderados Aplicados ao Problema Linearizado (II) Condição de Otimalidade: J ˆx = 0 HT (x k )R 1 [ z H(x k ) ˆx] = 0 ( ) A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 9 / 16

17 Mín. Quad. Ponderados Aplicados ao Problema Linearizado (II) Condição de Otimalidade: J ˆx = 0 HT (x k )R 1 [ z H(x k ) ˆx] = 0 ( ) Equação ( ) pode ser escrita na forma da Equação Normal de Gauss: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 9 / 16

18 Mín. Quad. Ponderados Aplicados ao Problema Linearizado (II) Condição de Otimalidade: J ˆx = 0 HT (x k )R 1 [ z H(x k ) ˆx] = 0 ( ) Equação ( ) pode ser escrita na forma da Equação Normal de Gauss: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z A solução final para os estados estimados é obtida via procedimento iterativo: ˆx k+1 = ˆx k + ˆx A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 9 / 16

19 Equação Normal de Gauss Matriz Ganho: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

20 Equação Normal de Gauss [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z Matriz Ganho: Definida como: G = H T (x k ) R 1 H(x k ) A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

21 Equação Normal de Gauss [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z Matriz Ganho: Definida como: Propriedades: G = H T (x k ) R 1 H(x k ) A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

22 Equação Normal de Gauss Matriz Ganho: Definida como: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z Propriedades: É simétrica (G T = G); G = H T (x k ) R 1 H(x k ) A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

23 Equação Normal de Gauss Matriz Ganho: Definida como: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z Propriedades: É simétrica (G T = G); Dimensão: n n; G = H T (x k ) R 1 H(x k ) A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

24 Equação Normal de Gauss Matriz Ganho: Definida como: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z Propriedades: G = H T (x k ) R 1 H(x k ) É simétrica (G T = G); Dimensão: n n; É não-singular se sistema for observável com respeito ao plano de medição. A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

25 Equação Normal de Gauss Matriz Ganho: Definida como: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z Propriedades: Lado direito: G = H T (x k ) R 1 H(x k ) É simétrica (G T = G); Dimensão: n n; É não-singular se sistema for observável com respeito ao plano de medição. b = H T (x k ) R 1 z A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

26 Equação Normal de Gauss Matriz Ganho: Definida como: [ ] H T (x k ) R 1 H(x k ) ˆx = H T (x k ) R 1 z Propriedades: Lado direito: G = H T (x k ) R 1 H(x k ) É simétrica (G T = G); Dimensão: n n; É não-singular se sistema for observável com respeito ao plano de medição. b = H T (x k ) R 1 z Equação normal pode ser re-escrita como: G ˆx = b A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 10 / 16

27 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

28 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

29 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; 3 k = 0; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

30 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; 3 k = 0; 4 Formar matriz Jacobiana, H(x k ); A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

31 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; 3 k = 0; 4 Formar matriz Jacobiana, H(x k ); 5 Formar vetor z = z h(x k ) e vetor b = H T (x k ) R 1 z; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

32 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; 3 k = 0; 4 Formar matriz Jacobiana, H(x k ); 5 Formar vetor z = z h(x k ) e vetor b = H T (x k ) R 1 z; 6 Resolver Equação Normal para ˆx; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

33 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; 3 k = 0; 4 Formar matriz Jacobiana, H(x k ); 5 Formar vetor z = z h(x k ) e vetor b = H T (x k ) R 1 z; 6 Resolver Equação Normal para ˆx; 7 Se ˆx ɛ, fim das iterações, ir para 9. Se não, ir para 8; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

34 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; 3 k = 0; 4 Formar matriz Jacobiana, H(x k ); 5 Formar vetor z = z h(x k ) e vetor b = H T (x k ) R 1 z; 6 Resolver Equação Normal para ˆx; 7 Se ˆx ɛ, fim das iterações, ir para 9. Se não, ir para 8; 8 Atualizar vetor de estimativas: ˆx k+1 = ˆx k + ˆx, fazer k k + 1 e retornar para passo 4; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

35 Algoritmo da Estimação de Estados Dados: vetor de medidas, z, variâncias dos medidores, σ 2 i, i = 1,..., m. 1 Fornecer valores iniciais para os estados, x 0 (por ex., x j = 1, 0 0, i = 1,..., n; 2 Formar matriz de covariância dos erros de medição, R; 3 k = 0; 4 Formar matriz Jacobiana, H(x k ); 5 Formar vetor z = z h(x k ) e vetor b = H T (x k ) R 1 z; 6 Resolver Equação Normal para ˆx; 7 Se ˆx ɛ, fim das iterações, ir para 9. Se não, ir para 8; 8 Atualizar vetor de estimativas: ˆx k+1 = ˆx k + ˆx, fazer k k + 1 e retornar para passo 4; 9 Calcular fluxos de potência nos ramos e injeções nodais. FIM. A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 11 / 16

36 Funções da Estimação de Estados Telemedidas, z Status de Disj. Parâmetros da rede, p (Banco de Dados Estático) Medidas Rejeitadas PRÉ FILTRAGEM Medidas Filtradas, z CONFIGURADOR DE REDES Estrutura da Rede Elétrica, s TESTE DE OBSERVABILIDADE O Sistema é Observável? NÃO SIM ESTABELECER MODELO DE MEDIÇÃO A PARTIR DE z, p e s ADICIONAR PSEUDOMEDS. OU ESTIMAR SUBSISTS. ESTIMAÇÃO Cálculo das estimativas para os estados DETECÇÃO Alguma medida processada contém erro grosseiro? SIM IDENTIFICAÇÃO Identificar medida portadora de erro grosseiro NÃO FIM REJEIÇÃO Rejeitar med. espúria Opção do Software RECUPERAÇÃO Recuperar med. espúria A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 12 / 16

37 Estimador de Estados Linearizado ( DC ) Baseia-se nas mesmas hipóteses do fluxo de potência DC : A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 13 / 16

38 Estimador de Estados Linearizado ( DC ) Baseia-se nas mesmas hipóteses do fluxo de potência DC : Magnitudes de tensão nas barras consideradas iguais a 1, 0 pu; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 13 / 16

39 Estimador de Estados Linearizado ( DC ) Baseia-se nas mesmas hipóteses do fluxo de potência DC : Magnitudes de tensão nas barras consideradas iguais a 1, 0 pu; Resistências e admitâncias transversais desprezadas; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 13 / 16

40 Estimador de Estados Linearizado ( DC ) Baseia-se nas mesmas hipóteses do fluxo de potência DC : Magnitudes de tensão nas barras consideradas iguais a 1, 0 pu; Resistências e admitâncias transversais desprezadas; Aberturas angulares suficientemente pequenas, tal que: sen(δ i δ j ) (δ i δ j ) rads A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 13 / 16

41 Estimador de Estados Linearizado ( DC ) Baseia-se nas mesmas hipóteses do fluxo de potência DC : Magnitudes de tensão nas barras consideradas iguais a 1, 0 pu; Resistências e admitâncias transversais desprezadas; Aberturas angulares suficientemente pequenas, tal que: sen(δ i δ j ) (δ i δ j ) rads Considerando-se estas hipóteses, têm-se t ij =γ ij (δ i δ j ) e p i = k Ω i t ik onde γ ij = 1/x ij e Ω i é o conjunto de barras adjacentes à barra i. A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 13 / 16

42 Modelo de Medição Linear Vetor de estados a ser estimado reduz-se ao vetor δ. Se a barra 1 é a barra de referência: δ=[δ 2,δ 3,...,δ N ] T A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 14 / 16

43 Modelo de Medição Linear Vetor de estados a ser estimado reduz-se ao vetor δ. Se a barra 1 é a barra de referência: δ=[δ 2,δ 3,...,δ N ] T Vetor de medidas z envolve apenas medidas de fluxo e de injeção de potência ativa: [ ] zt z = onde z P A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 14 / 16

44 Modelo de Medição Linear Vetor de estados a ser estimado reduz-se ao vetor δ. Se a barra 1 é a barra de referência: δ=[δ 2,δ 3,...,δ N ] T Vetor de medidas z envolve apenas medidas de fluxo e de injeção de potência ativa: [ ] zt z = onde z P z t : vetor de medidas de fluxo de potência ativa; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 14 / 16

45 Modelo de Medição Linear Vetor de estados a ser estimado reduz-se ao vetor δ. Se a barra 1 é a barra de referência: δ=[δ 2,δ 3,...,δ N ] T Vetor de medidas z envolve apenas medidas de fluxo e de injeção de potência ativa: [ ] zt z = onde z t : vetor de medidas de fluxo de potência ativa; z p : vetor de medidas de injeção de potência ativa. z P A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 14 / 16

46 Modelo de Medição Linear Vetor de estados a ser estimado reduz-se ao vetor δ. Se a barra 1 é a barra de referência: δ=[δ 2,δ 3,...,δ N ] T Vetor de medidas z envolve apenas medidas de fluxo e de injeção de potência ativa: [ ] zt z = onde z t : vetor de medidas de fluxo de potência ativa; z p : vetor de medidas de injeção de potência ativa. O modelo de medição linear fica: z P z = Hδ + η E {η} = 0; E {ηη T } = R A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 14 / 16

47 Solução via Equação Normal As relações entre as quantidades medidas e os estados são lineares; A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 15 / 16

48 Solução via Equação Normal As relações entre as quantidades medidas e os estados são lineares; A matriz de observação H do modelo de medição é constante. A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 15 / 16

49 Solução via Equação Normal As relações entre as quantidades medidas e os estados são lineares; A matriz de observação H do modelo de medição é constante. As estimativas ˆδ para os estados são obtidas de forma não-iterativa através do método da equação normal como: (H T R 1 H) ˆδ = H T R 1 z A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 15 / 16

50 Exemplo - Sistema de 4 barras e 7 medidas 1 p 1 p 2 t 12 t 21 2 z t12 z t21 z t31 z t43 z p1 z p2 z p4 t 31 3 t 43 4 p 4 γ γ γ 31 0 = 0 γ 34 γ 34 δ + γ 12 γ 13 0 γ 12 + γ 23 + γ 24 γ 23 γ 24 γ 24 γ 34 γ 34 + γ 24 η t12 η t21 η t31 η t43 η p1 η p2 η p4 A. Simões Costa (LABSPOT) EESP 16 / 16