Análise Multivariada Aplicada à Contabilidade

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1 Mestrado e Doutorado em Controladoria e Contabilidade Análise Multivariada Aplicada à Contabilidade Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br Turma: 2º /

2 Agenda Aula 6/15 Regressão Linear Simples Regressão Linear Múltipla Modelo de Regressão Múltipla Método dos Mínimos Quadrados Coeficiente de Determinação Múltiplo Suposições do Modelo Teste de Significância 2

3 Regressão Linear Principal técnica econométrica Relação entre uma variável de interesse e outra ou demais variáveis Regressão versus Correlação 3

4 Diagrama de Dispersão Uma relação positiva y x 4

5 Diagrama de Dispersão Uma relação negativa y x 5

6 Diagrama de Dispersão Sem relação aparente y x 6

7 Regressão Linear Simples 7

8 Modelo de Regressão Linear Simples A equação que descreve como y está relacionado com x e com um termo de erro é chamado de modelo de regressão O modelo de regressão linear simples é y = α + β 1 x + ε Em que: α e β 1 são chamados de parâmetros do modelo, ε é uma variável aleatória que se denomina termo de erro 8

9 Modelo de Regressão Linear Simples A equação da regressão linear simples é E y = α + β 1 x O gráfico da equação linear simples é uma linha reta α é o intercepto da reta de regressão β 1 é a inclinação da reta de regressão E y é o valor esperado de y para determinado valor de x 9

10 Modelo de Regressão Linear Simples Relação Linear Positiva E(y) Reta da Regressão Intercepto α O ângulo β 1 é positivo x 10

11 Modelo de Regressão Linear Simples Relação Linear Negativa E(y) Intercepto α Reta da Regressão O ângulo β 1 é negativo x 11

12 Modelo de Regressão Linear Simples Sem Relação Intercepto α E(y) Reta da Regressão O ângulo β 1 é zero x 12

13 Método dos Mínimos Quadrados Critério dos Mínimos Quadrados Em que min (y i y i ) 2 y i = valor observado da variável dependente para a i-ésima observação y i = valor estimado da variável dependente para a i- ésima observação 13

14 Método dos Mínimos Quadrados Inclinação para a Equação da Regressão Estimada b 1 = (x 1 i x)(y i y) (x i x) 2 = n (x i x)(y i y) 1 n (x i x) 2 cov x, y = var x, y 14

15 Método dos Mínimos Quadrados Interseção com o Eixo y para a Equação da Regressão Estimada α = y b 1 x Em que x i = valor da variável independente para a i-ésima observação y i = valor da variável dependente para a i-ésima observação x = valor médio da variável independente y = valor médio da variável dependente n = número total de observações 15

16 Equação de Regressão Estimada HP 12C Colocar Valores na HP (y Enter x):

17 Equação de Regressão Estimada HP 12C Calcular o valor de y em x = Calcular a inclinação: 1 5 Equação da Reta: y = x 17

18 Linearidade Modelo exponencial de regressão Y i = AX i β e ε i Pode ser linearizado ln Y i = ln A + β ln X i + ε i Resultando em y i = α + βx i + ε i 18

19 Estimador ou Estimativa Estimadores são as fórmulas utilizadas para o cálculo dos coeficientes Estimativas são os valores numéricos para os coeficientes reais que são obtidos a partir da amostra 19

20 Suposições sobre o modelo de Regressão Linear Notação E ε i = 0 var ε i = σ 2 < cov ε i, ε j = 0 cov ε i, x i = 0 ε i ~N(0, σ 2 ) Interpretação O erro é uma variável aleatória com média zero A variância do erro é constante e finita todos os valores da variável independente Os erros são linearmente independentes uns dos outros Os erros são linearmente independentes da variável x O erro é uma variável aleatória com distribuição normal 20

21 Propriedades do Estimador MQO Estimadores: α e β são estimadores dos valores reais de α e β Linear: α e β são estimadores lineares, ou seja, são uma combinação linear da variável aleatória (y) Sem Viés: na média os valores de α e β serão iguais aos seus valores reais Ótimo: significa que o estimador MQO β possui a mínima variância dentre os estimadores lineares clássicos não viesados (Teorema de Gauss-Markov) 21

22 Consistência Os estimadores α e β são consistentes lim N Pr β β > δ = 0 δ > 0 A probabilidade (Pr) de que β seja maior do que uma distância arbitrária fixada (δ) do seu valor real tende a zero, conforme o tamanho da amostra tenda a infinito, para todos os valores positivos de δ 22

23 Sem viés Os estimadores α e β são sem viés e E α = α E β = β 23

24 Eficiência Um estimador β do parâmetro β é eficiente se nenhum outro estimador possuir variância menor Existe uma distribuição de probabilidades do valor do estimador em torno do parâmetro, onde, na média são iguais 24

25 Coeficiente de Determinação Relação entre SST, SSR e SSE SST = SSR + SSE Onde (y i y) 2 = ( y i y) 2 + (y i y i ) 2 SST = Soma Total dos Quadrados SSR = Soma dos Quadrados da Regressão SSE = Soma dos Quadrados dos Erros 25

26 Coeficiente de Determinação O coeficiente de determinação é: r 2 = SSR/SST Onde SSR = Soma dos Quadrados da Regressão SST = Soma Total dos Quadrados 26

27 Coeficiente de Correlação da Amostra r xy = (sinal de b 1 ) Coeficiente de Determinação r xy = (sinal de b 1 ) r 2 Em que b 1 = o declive da equação de regressão estimada y = α + b 1 x 27

28 Suposições sobre o Termo de Erro ε O erro ε é uma variável aleatória com média zero A variância de ε, denotada por σ 2, é a mesma para todos os valores da variável independente Os valores de ε são independentes O erro ε é uma variável aleatória com distribuição normal 28

29 Teste de Significância Para testar para uma relação de regressão significativa, temos de realizar um teste de hipóteses para determinar se o valor de β 1 é igual a zero Dois testes são comumente usados Teste t e Teste F Tanto o teste t quanto o teste F requerem uma estimativa de σ 2, a variância de ε no modelo de regressão 29

30 Teste de Significância Estimativa de σ 2 O erro médio quadrático (MSE) fornece a estimativa de σ 2, e a notação s 2 também é usada s 2 = MSE = SSE/(n 2) Em que SSE = (y i y i ) 2 = (y i α b 1 x 1 ) 2 30

31 Teste de Significância Estimativa de σ 2 Para estimar σ tomamos a raiz quadrada de σ2 O s resultante é chamado erro padrão da estimativa Em que s = MSE = SSE n 2 SSE = (y i y i ) 2 = (y i α b 1 x 1 ) 2 31

32 Teste de Significância: Teste t Hipóteses H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Teste Estatístico t = b 1 s b1 32

33 Teste de Significância: Teste t Desvio padrão de b 1 s b1 = s (x i x) 2 33

34 Teste de Significância: Teste t Regra de Rejeição Onde: Rejeitar H 0 se o valor p α ou t -t α/2 ou t t α/2 t α/2 é baseado em uma distribuição t com n 2 graus de liberdade 34

35 Teste de Significância: Teste F Hipóteses Teste Estatístico H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 F = MSR MSE 35

36 Teste de Significância: Teste F Regra de Rejeição Rejeitar H 0 se o valor p α ou F F α Onde: F α é baseado em uma distribuição F com 1 grau de liberdade no numerador e n 2 graus de liberdade no denominador 36

37 Análise dos Resíduos Se as suposições sobre o termo de erro parecem ser questionáveis, os testes de hipóteses sobre o significado da relação de regressão e os resultados da estimação do intervalo podem não ser válidos Os resíduos fornecem a melhor informação sobre o ε Resíduo para Observação i y i y i Grande parte da análise de resíduos é baseado em um exame gráfico 37

38 Gráfico de Resíduos de x Se a hipótese de que a variância de ε é a mesma para todos os valores de x é válida, e o modelo de regressão assume uma representação adequada da relação entre as variáveis, então O gráfico dos resíduos deve dar uma impressão geral de uma faixa horizontal de pontos 38

39 Resíduos Gráfico de Resíduos de x y y Padrão Bom 0 x 39

40 Resíduos Gráfico de Resíduos de x y y Variância Inconstante 0 x 40

41 Resíduos Gráfico de Resíduos de x y y Modelo Não Adequado 0 x 41

42 Regressão Linear Múltipla 42

43 Modelo de Regressão Múltipla A equação que descreve como a variável dependente y está relacionada com variáveis independentes x 1, x 2,..., x p, e com um termo de erro é chamado de modelo de regressão múltipla O modelo de regressão linear simples é y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β p x p + ε Em que: β 0, β 1, β 2,..., β p são chamados de parâmetros do modelo, ε é uma variável aleatória que se denomina termo de erro 43

44 Equação de Regressão Múltipla A equação que descreve como o valor médio de y é com x 1, x 2,..., x p é chamado de equação de regressão múltipla E y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β p x p 44

45 Equação de Regressão Múltipla Estimada Uma simples amostra aleatória é utilizada para calcular as estatísticas amostrais b 0, b 1, b 2,..., b p que são usados como estimadores por ponto dos parâmetros β 0, β 1, β 2,..., β p A equação da regressão múltipla estimada y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b p x p 45

46 Método dos Mínimos Quadrados Critério dos Mínimos Quadrados Cálculo dos Coeficientes min (y i y i ) 2 As fórmulas para os coeficientes de regressão b 0, b 1, b 2,..., b p envolvem o uso de álgebra matricial. Vamos utilizar pacotes estatísticos para fazer estes cálculos. 46

47 Modelo de Regressão Múltipla Exemplo: Pesquisa Salarial de Programadores Uma empresa de software coletou dados para uma amostra de 20 programadores de computador. Foi feita a sugestão que a análise de regressão pode ser usada para determinar se o salário foi relacionado com os anos de experiência e da pontuação no teste de aptidão de programador da empresa. Os anos de experiência, a pontuação na prova de aptidão e salário anual correspondente ($1.000) para uma amostra de 20 programadores é mostrado no slide seguinte. 47

48 Modelo de Regressão Múltipla Exemplo: Pesquisa Salarial de Programadores Uma empresa de software coletou dados para uma amostra de 20 programadores de computador. Foi feita a sugestão que a análise de regressão pode ser usada para determinar se o salário foi relacionado com os anos de experiência e da pontuação no teste de aptidão de programador da empresa. Os anos de experiência, a pontuação na prova de aptidão e salário anual correspondente ($1.000) para uma amostra de 20 programadores é mostrado no slide seguinte. 48

49 Modelo de Regressão Múltipla ,7 34,3 35, ,2 23, ,6 36,2 31, ,1 33,9 28,2 30 Exper. Nota Nota Exper. Salário Salário 49

50 Modelo de Regressão Múltipla Suponha que acreditamos que o salário (y) está relacionada com os anos de experiência (x 1 ) e a pontuação no teste de aptidão de programador (x 2 ) pelo seguinte modelo de regressão: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε Em que y = salário anual ($1.000) x 1 = anos de experiência x 2 = pontuação no teste de programador 50

51 Calculando as Estimativas de β 0, β 1, β 2 Dados de Entrada x 1 x 2 y Programa Estatístico para Resolver Problemas de Regressão Múltipla Saída dos Mínimos Quadrados b 0 = b 1 = b 2 = R 2 = etc. 51

52 Calculando as Estimativas de β 0, β 1, β 2 Planilha do Excel (somente alguns dados) 52

53 Calculando as Estimativas de β 0, β 1, β 2 Regressão no Excel (Dados Análise de Dados) 53

54 Calculando as Estimativas de β 0, β 1, β 2 Resultado da Regressão no Excel 54

55 Equação da Regressão Estimada SALÁRIO = 3, ,404(EXPERIÊNCIA) + 0,25(TESTE_APTIDÃO) Obs.: O salário previsto será em milhares de $ 55

56 Interpretando os Coeficientes Na análise de regressão múltipla, interpretar cada coeficiente de regressão da seguinte forma: b i representa uma estimativa da mudança em y correspondente a um aumento de 1 unidade em x i, quando todas as outras variáveis independentes são mantidas constantes 56

57 Interpretando os Coeficientes b 1 = 1,404 O salário esperado aumenta $1.404 para cada ano de experiência adicional (quando a variável nota no teste de aptidão é mantida constante). 57

58 Interpretando os Coeficientes b 2 = 0,251 O salário esperado aumenta $251 para cada ponto adicional na nota do teste de aptidão (quando a variável anos de experiência é mantida constante). 58

59 Coeficiente de Determinação Múltiplo Relação entre SST, SSR e SSE SST = SSR + SSE Onde (y i y) 2 = ( y i y) 2 + (y i y i ) 2 SST = Soma Total dos Quadrados SSR = Soma dos Quadrados da Regressão SSE = Soma dos Quadrados dos Erros 59

60 Coeficiente de Determinação Múltiplo Saída da ANOVA no Excel SST SSR 60

61 Coeficiente de Determinação Múltiplo O coeficiente de determinação é: R 2 = SSR/SST Onde SSR = Soma dos Quadrados da Regressão SST = Soma Total dos Quadrados R 2 = 500,3285/599,7855 = 0,

62 Coeficiente de Determinação Múltiplo Ajustado O coeficiente de determinação múltiplo ajustado é: R 2 a = 1 (1 R 2 n 1 ) n p 1 R a 2 = 1 1 0, = 0,

63 Coeficiente de Determinação Múltiplo Ajustado Saída da Estatística no Excel 63

64 Suposições sobre o Termo de Erro ε 1. O erro ε é uma variável aleatória com média zero 2. A variância de ε, denotada por σ 2, é a mesma para todos os valores das variáveis independentes 3. Os valores de ε são independentes 4. O erro ε é uma variável aleatória com distribuição normal refletindo o desvio entre o valor de y e os valores esperados de y dados por β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β p x p 64

65 Teste de Significância Em uma regressão linear simples, os testes t e F proporcionam a mesma conclusão Numa regressão múltipla, os testes F e t possuem objetivos diferentes 65

66 Teste de Significância: Teste F O teste F é usado para determinar se existe uma relação significativa entre a variável dependente e o conjunto de todas as variáveis independentes O teste F é referido como teste de significância global 66

67 Teste de Significância: Teste t Se o teste F mostra uma significância global, o teste t é usado para determinar se cada uma das variáveis independentes individuais é significativa Um teste t separado é realizado para cada uma das variáveis independentes do modelo Nos referimos a cada um destes testes t como teste de significância individual 67

68 Teste de Significância: Teste F Hipóteses H 0 : β 1 = β 2 = = β p = 0 H 1 : Um ou mais parâmetros não são iguais a zero Teste estatístico F = MSR MSE Regra de Rejeição Rejeitar H 0 se o valor p α ou F F α, onde o F α é baseado em uma distribuição F com p gl no numerador e n p 1 gl no denominador 68

69 Teste de Significância: Teste F Hipóteses H 0 : β 1 = β 2 = 0 H 1 : Um ou ambos os parâmetros não são iguais a zero Regra de Rejeição Para α = 0,05 e gl = 2 e 17; F α = 3,59 Rejeitar H 0 se o valor p 0,05 ou F 3,59 69

70 Teste de Significância: Teste F Saída da ANOVA no Excel O valor p usado para o teste de significância global 70

71 Teste de Significância: Teste F Teste estatístico Conclusão F = MSR MSE = 250,16/5,85 = 42,76 Valor p 0,05, então devemos rejeitar H 0 (também, F = 42,76 3,59) 71

72 Teste de Significância: Teste t Hipóteses Teste Estatístico H 0 : β i = 0 H 1 : β i 0 t = b i s bi Regra de Rejeição Rejeitar H 0 se o valor p α ou t -t α/2 ou t t α/2, onde t α/2 é baseado em uma distribuição t com n p 1 graus de liberdade 72

73 Teste de Significância: Teste t para Parâmetros Individuais Hipóteses Regra de Rejeição H 0 : β i = 0 H 1 : β i 0 Para α = 0,05 e gl = 17; t 0,025 = 2,11 Rejeitar H 0 se o valor p 0,05 ou t 2,11 73

74 Teste de Significância: Teste t para Parâmetros Individuais Saída da Regressão no Excel A estatística t e o valor p usados para testar a significância individual da Experiência 74

75 Teste de Significância: Teste t para Parâmetros Individuais Saída da Regressão no Excel A estatística t e o valor p usados para testar a significância individual do Teste de Aptidão 75

76 Teste de Significância: Teste t para Parâmetros Individuais Teste Estatístico b1 s b1 = 1,4039 0,1986 = 7,07 b 2 s b2 = 0, ,07735 = 3,24 Conclusão Rejeitar ambos H 0 : β 1 = 0 e H 0 : β 2 = 0. As duas variáveis independentes são significativas 76

77 Teste de Significância: Multicolinearidade O termo multicolinearidade se refere a correlação entre as variáveis independentes Quando a variável é altamente correlacionada (digamos, r > 0,7), não é possível determinar o efeito separado de uma variável dependente em particular sobre a variável dependente Fator de Inflacionamento de Variância VIF (Variance Inflation Factor) > 10 indica potenciais problemas de multicolinearidade 77

78 Teste de Significância: Multicolinearidade Se a equação de regressão é estimada para ser usada apenas para fins preditivos, a multicolinearidade geralmente não é um problema sério Todo esforço deve ser feito para evitar a inclusão de variáveis independentes que estão altamente correlacionadas 78

79 Regressão Múltipla Estimada y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 Em que y = salário anual ($1.000) x 1 = anos de experiência x 2 = pontuação no teste de programador x 3 = 0 se o indivíduo não tiver uma pós graduação 1 se o indivíduo tiver uma pós graduação x 3 = variável dummy 79

80 Variáveis Qualitativas Independentes Saída da Regressão no Excel 80

81 Variáveis Qualitativas Independentes Saída da ANOVA no Excel 81

82 Variáveis Qualitativas Independentes Saída da Equação da Regressão no Excel Não significativa 82

83 Variáveis Qualitativas Independentes Saída da Equação da Regressão no Excel 83

84 Variáveis Qualitativas Mais Complexas Se uma variável qualitativa tem k níveis, k 1 variáveis binárias serão necessárias, com cada variável dummy sendo codificada como 0 ou 1 Por exemplo, uma variável com níveis A, B e C pode ser representada por x 1 e x 2 sendo os valores (0, 0) para A; (1, 0) para B e (1, 1) para C Deve-se tomar muito cuidado em utilizar e interpretar as variáveis dummies 84

85 Variáveis Qualitativas Mais Complexas Por exemplo, uma variável indicando o nível educacional pode ser representada x 1 e x 2 sendo os valores: Maior Grau x 1 x 2 Bacharelado 0 0 Mestrado 1 0 Doutorado

86 Obrigado pela Atenção!!! Até a próxima aula mbotelho@usp.br 86