Introdução ao modelo de Regressão Linear

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1 Introdução ao modelo de Regressão Linear Prof. Gilberto Rodrigues Liska 8 de Novembro de 2017 Material de Apoio gilbertoliska@unipampa.edu.br Local: Sala dos professores (junto ao administrativo) Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

2 Introdução Sumário 1 Introdução 2 Correlação 3 Análise de Regressão Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

3 Introdução Introdução Exemplo 1 Em uma dada região do RS, acredita-se que o gado alimentado em um determinado pasto tem um ganho de peso maior que o usual. Estudos de laboratório detectaram uma substância no pasto e deseja-se verificar se ela pode ser utilizada para melhorar o ganho de peso dos bovinos. Foram amostrados 15 bois de mesma raça e idade, e cada animal recebeu uma determinada concentração da substância X (em mg/l). O ganho de peso após 30 dias, denotado por Y, foi anotado e os dados foram os seguintes (em kg). X Y X Y Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

4 Introdução Introdução Exemplo 1 Fazendo o gráfico de dispersão dos pontos. Problema Como quantificar a relação existente entre as duas variáveis? Como estabelecer matematicamente uma relação entre duas ou mais variáveis? Figura 1: Gráfico de dispersão do ganho de peso com relação a concentração da substância X. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

5 Introdução Introdução Se deseja-se relacionar duas (ou mais) variáveis quantitativas (discreta e/ou contínua) e quantificar a dependência entre elas, é necessário calcular o coeficiente de correlação. Se deseja-se estabelecer uma relação de causalidade, isto é, quantificar qual é a mudança observada em uma das variáveis quando variamos os valores da outra, é necessário ajustar um modelo de regressão. OBS: O termo regressão do ponto de vista estatístico refere-se ao fato de utilizar uma amostra para se conhecer valores que não foram amostrados, por meio de um modelo. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

6 Correlação Sumário 1 Introdução 2 Correlação 3 Análise de Regressão Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

7 Correlação Correlação Correlação O coeficiente de correlação amostral para n pares de valores das variáveis X e Y, representado por (X i, Y i ), i = 1, 2,..., n, é calculado da seguinte maneira: r = ( n ni=1 X i Y i n X Ȳ i=1 X 2 i n X 2 ) ( ni=1 Y 2 i n Ȳ 2 ) (1) A medida em 1 varia entre 1 e 1 e quanto mais próximo de 1 ou 1, indica forte relação linear entre as variáveis. Valores próximos de zero indicam fraca dependência linear entre as variáveis. Um gráfico de dispersão pode ajudar na investigação visual entre as variáveis X e Y. Existem três formas a considerar. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

8 Correlação Correlação Figura 2: Comportamento das variáveis X e Y segundo sua correlação. É desejável que a correlação seja superior a 0,5 (ou inferior a -0,5). Deve existir uma relação de causalidade entre as variáveis. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

9 Correlação Correlação - Exemplo Exemplo 1 Em uma dada região do RS, acredita-se que o gado alimentado em um determinado pasto tem um ganho de peso maior que o usual. Estudos de laboratório detectaram uma substância no pasto e deseja-se verificar se ela pode ser utilizada para melhorar o ganho de peso dos bovinos. Foram amostrados 15 bois de mesma raça e idade, e cada animal recebeu uma determinada concentração da substância X (em mg/l). O ganho de peso após 30 dias, denotado por Y, foi anotado e os dados foram os seguintes (em kg). Calcule o coeficiente de correlação e interptete-o. X Y X Y Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

10 Correlação Exemplo 1 SOLUÇÃO: Uma tabela auxiliar pode ajudar no cálculo de r, Id X Y X Y X 2 Y SOMA Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

11 Correlação Exemplo 1 SOLUÇÃO: Com a tabela anterior, temos que: n = 15 X = 1 n Ȳ = 1 n n X i = 1 (0, 2 + 0, , 5 + 6) = 2, i=1 n Y i = 1 (9, , , , 1) = 16, i=1 n X i Y i = (0, 2 9, 4) + (0, 5 11, 4) (5, 5 24, 7) + (6 23, 1) = 785, 55 i=1 n i=1 n i=1 X 2 i = 0, , , = 163, 39 Y 2 i = 9, , , , 1 2 = 4239, 43 Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

12 Correlação Exemplo 1 SOLUÇÃO: Portanto, o coeficiente de correlação fica dado por: n i=1 r = Xi Yi n X Ȳ ( n n X 2) ( n Y 2 i=1 i n Ȳ 2) = X 2 i=1 i 785, , 7 16, 14 = 0, 9847 (163, , 702 ) (4239, , 14 2 ) Interpretação Como o coeficiente de correlação é positivo, conforme aumenta-se a concentração da substância X, espera-se que o ganho de peso dos bovinos aumente. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

13 Correlação Exemplo 1 SOLUÇÃO: Coeficiente de Correlação (r) na calculadora: 1 Limpar memória (shift) (mode) (3) = 2 Colocar no modo Regressão (REG) (mode) (3) (1) 3 Armazenar a amostra 0.2 (, ) 9.4 M+ 0.5 (, ) 11.4 M+ 0.6 (, ) 12.3 M+ 5.5 (, ) 24.7 M+ 6.0 (, ) 23.1 M+ 4 Coeficiente de correlação r (shift) (2) seta direita replay 2x (3) = Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

14 Sumário 1 Introdução 2 Correlação 3 Análise de Regressão Estimação Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

15 Análise de Regressão Análise de Regressão É uma ferramenta estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis tal que uma variável possa ser explicada (variável dependente) pela outra, ou outras, (variáveis explicativas, independentes, covariáveis). Y = f (X; β) + ε em que ε é um erro aleatório. Exemplos Explicar a relação de adubo na produtividade de um cultivar. Incidência de câncer com consumo de cigarro. Número de filhos em função da renda. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

16 Modelos de Regressão Um modelo de regressão contendo somente uma variável independente é denominado modelo de regressão simples. Um modelo com mais de uma variável independente é denominado modelo de regressão múltiplo. O modelo de regressão linear simples é definido por: onde: Y i = β 0 + β 1 X i + ε i (2) Y i é o valor da variável dependente na i-ésima observação; β 0 e β 1 são parâmetros; X i é um valor conhecido da variável independente na i-ésima observação; ε i é o termo associado ao erro. Assume-se que é uma v.a. com média zero e variância constante σ 2 (E [ε i ] = 0 e Var [ε i ] = σ 2 ). Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

17 Regressão Linear Simples Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

18 Regressão Linear Simples Significado de β 0 e β 1 Os parâmetros β 0 e β 1 são denominados coeficientes de regressão. β 1 é a inclinação da reta de regressão. Ela indica a mudança na média de Y quando X é acrescido de uma unidade. β 0 é o intercepto em Y da equação de regressão (é o valor de Y quando X = 0). β 0 só tem significado se o modelo incluir X = 0. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

19 Estimação Estimação dos parâmetros Na prática, não se conhecem os valores de β 0 e β 1. Eles podem ser estimados a partir de uma amostra. O método utilizado na estimação dos parâmetros é o método dos mínimos quadrados ordinários (MQO), o qual considera os desvios dos Y i em relação ao seu valor esperado: e i = Y i (β 0 + β 1 X) O método dos MQO consiste em obter β 0 e β 1 que minimizam a soma de quadrados dos desvios (Q) de Y com seu valor esperado: n Q = [Y i (β 0 + β 1 X)] 2 i=1 Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

20 Estimação Estimação dos parâmetros Para tal, a equação Q deve ser derivada em relação a β 0 e β 1 e igualadas a zero. A solução do sistema de equações resultam nos estimadores de β 0 e β 1 : ( ni=1 X i ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 X e ˆβ X 1 = ) ( ni=1 ( X i X A expressão para ˆβ 1 pode ser simplificada de tal modo que ) Y i Ȳ ni=1 X i Y i n X Ȳ ˆβ 1 = ni=1 Xi 2 n X 2 Portanto, para se obter as estimativas de ˆβ 0 e ˆβ 1, basta calcular X, Ȳ, ni=1 X i Y i e n i=1 Xi 2. ) 2 Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

21 Estimação Exemplo 1 (cont.) Exemplo 1 (cont.) Retornando ao exemplo 1, deseja-se verificar se a concentração de uma substância X pode ser utilizada para melhorar o ganho de peso dos bovinos. Foram amostrados 15 bois de mesma raça e idade, e cada animal recebeu uma determinada concentração da substância X (em mg/l). O ganho de peso após 30 dias, denotado por Y, foi anotado e os dados foram os seguintes (em kg). (a) Ajuste um modelo de regressão para explicar a relação entre o ganho de peso e a concentração da substância X. (b) Se a concentração da substância X for 5,25 mg/l, qual será o valor esperado para o ganho de peso? X Y X Y Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

22 Estimação Exemplo 1 (cont.) SOLUÇÃO (a): Uma tabela auxiliar pode ajudar no cálculo de ˆβ 0 e ˆβ 1, Id X Y X Y X SOMA Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

23 Estimação Exemplo 1 (cont.) SOLUÇÃO (a): Como a dispersão dos pontos sugere uma reta com alguma inclinação, vamos ajustar o modelo de regressão linear de 1 o grau. Logo, n = 15 X = 1 n Ȳ = 1 n n X i = 1 (0, 2 + 0, , 5 + 6) = 2, i=1 n Y i = 1 (9, , , , 1) = 16, i=1 n X i Y i = (0, 2 9, 4) + (0, 5 11, 4) (5, 5 24, 7) + (6 23, 1) = 785, 55 i=1 n i=1 X 2 i = 0, , , = 163, 39 Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

24 Estimação Exemplo 1 (cont.) SOLUÇÃO (a): Portanto, as estimativas dos parâmetros do modelo de regressão linear de 1 o grau são: ˆβ 1 = n i=1 Xi Yi n X Ȳ n X 2 i=1 i n X = 2 ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 X = 16, 14 2, 44 2, 70 = 9, , , 70 16, , , 70 2 = 2, 44 O modelo ajustado fica dado por: Interpretação Ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 X = 9, , 44X O ganho de peso esperado em bovinos que não recebem a substância X é de 9,55 kg. Por outro lado, um aumento de 1mg/l na concentração de X implica em um ganho médio esperado de 2,44 kg. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

25 Estimação Exemplo 1 (cont.) SOLUÇÃO (a): Tabela 1: Valores preditos (Ŷ ) do ganho de peso para as concentrações aplicadas. X Y Ŷ Figura 3: Gráfico do modelo ajustado para o conjunto de dados do exemplo Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

26 Estimação Exemplo 1 (cont.) SOLUÇÃO (a): Estimativas dos parãmetros na calculadora: 1 Limpar memória (caso seja necessário) (shift) (mode) (3) = 2 Colocar no modo Regressão (REG) (mode) (3) (1) 3 Armazenar a amostra 0.2 (, ) 9.4 M+ 0.5 (, ) 11.4 M+ 0.6 (, ) 12.3 M+ 5.5 (, ) 24.7 M+ 6.0 (, ) 23.1 M+ 4 Estimativa β 0 (shift) (2) seta direita replay 2x (1) = 5 Estimativa β 1 (shift) (2) seta direita replay 2x (2) = Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

27 Estimação Exemplo 1 (cont.) SOLUÇÃO (b): Se a concentração da substância X for 5,25 mg/l, o valor esperado para o ganho de peso pode ser obtido pela equação ajustada em (a), logo, Ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 X = 9, , 44X Ŷ = 9, , 44 5, 25 = 22, 36 kg Portanto, se for aplicada a concentração da substância X de 5,25 mg/l, espera-se que o ganho de peso do boi seja de 22,36 kg. Usando a função pronta da calculadora 5.25 (shift) (2) seta direita replay 3x (2) = Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28

28 Estimação Observações 1 Vimos o modelo de regressão mais simples! 2 Muitos fenômenos requerem modelos mais complexos. 3 Cuidados no ajuste de um modelo de regressão. 4 Será visto mais sobre modelos de regressão em Experimentação Agronômica. Gilberto R. Liska Notas de Aula 8 de Novembro de / 28