1 semestre de 2014 Gabarito Lista de exercícios 3 - Estatística Descritiva III C A S A

Transcrição

1 Exercício 1. (1,0 ponto). A tabela a seguir mostra o aproveitamento conjunto em Física e Matemática para os alunos do ensino médio de uma escola. Notas Notas Notas Física/Matemática Altas Regulares Baixas Notas Altas Notas Regulares Notas Baixas Há indícios de relação entre os aproveitamentos em Física e em Matemática? Justifique. Para determinar se há indícios de relação entre o aproveitamento em Física e Matemática, vamos calcular os percentagens segundo as linhas da tabela de contingência anterior como segue: Tabela 1: Percentagens por linhas do aproveitamento conjunto em Física e em Matemática para alunos de ensino médio. Notas Notas Notas Física / Matemática Altas Regulares Baixas Total Notas Altas 45,2% 47,6% 7,2% 100% Notas Regulares 19,6% 62,3% 18,1% 100% Notas Baixas 10,7% 45,3% 44,0% 100% Total 24,4% 53,6% 22,0% 100% Segundo os resultados da Tabela 1 podemos observar que há diferenças nas porcentagens da cada uma das linhas com relação à porcentagem total. Aparentemente para os alunos do ensino médio da escola há associação entre os aproveitamentos em Física e Matemática. Note, por exemplo, que, enquanto 24,4% dos alunos tiraram notas altas em Matemática, apenas 10,7% tiraram notas altas nesta matéria entre os que tiraram notas baixas em Física. Página 1 de 12

2 Exercício 2. (3,25 pontos). Um laboratório deseja verificar a eficácia de seus anúncios na venda de vacinas. A tabela abaixo mostra o número de anúncios publicados e o número de vacinas aplicadas para 6 tipos de imunizações. Tipo de imunização X (anúncios) Y (vacinas aplicadas) A B C D E F Soma Soma de quadrados Soma de produtos (a) (0,75 pontos). Considerando os dados acima, construa à mão o gráfico de dispersão (Y na ordenada e X na abscissa). A Figura 1 apresenta o gráfico de dispersão do número de anúncios publicados contra o número de vacinas aplicadas. Diagrama de dispersão Vacinas aplicadas Anúncios Figura 1: Diagrama de dispersão: Anúncios vs. Vacinas aplicadas. Página 2 de 12

3 Segundo a Figura 1, o diagrama de dispersão sugere uma relação linear entre as variáveis anúncios e vacinas aplicadas. Note-se que ao aumentar o número de anúncios, o número de vacinas aplicadas também tende a aumentar. Observação: O aluno deve fazer o gráfico à mão. (b) (0,75 pontos). Calcule à mão o coeficiente de correlação de Pearson entre o número de vacinas aplicadas e o número de anúncios publicados e tire conclusões. O coeficiente de correlação de Pearson pode ser calculado como: r = n (x i x)(y i y) (n 1)s x s y. em que x e y são as médias amostrais de X e Y, respectivamente; e s x e s y são os desvios padrão de X e Y, respectivamente. Alternativamente, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson como: r = n x iy i nx y (n 1)s x s y. Do enunciado temos que: n x i = 251 ; n x 2 i = ; n y i = 542 n yi 2 = ; n x i y i = assim temos que: n x = x i = 251 n 6 = 41,83333; n y = y i = 542 n 6 = 90,33333; n s x = x2 i nx (41,83333) 2 = = 20,01417; n 1 5 n s y = y2 i ny (90,33333) 2 = = 31,50662; n 1 5 Página 3 de 12

4 Portanto, o coeficiente de correlação linear de Pearson entre X e Y é dado por: r = (41,83333)(90,33333) 5 (20, 01417)(31, 50662) = 0,96335 Nota-se que o valor de r é bem próximo de 1, indicando que há uma relação forte linear positiva entre as variáveis número de anúncios publicados e número de vacinas aplicadas. (c) (0,75 pontos). Obtenha à mão a equação da reta de regressão relacionando as variáveis Y (dependente) e X (independente). A equação da reta de regressão relacionando as variáveis Y e X é dada por: Ŷ = a+bx em que b = n x iy i nx y (n 1)s 2 x = (41,83333)(90,33333) 5 (20,01417) 2 = 1,51652 a = y bx = 90, , ,83333 = 26,89225 Logo temos que Ŷ = 26, ,51652X. (d) (0,5 pontos). Qual o significado prático do coeficiente angular (b) obtido? Para um aumento de uma unidade no número de anúncios de publicidade X, o número de vacinas aplicadas Y aumenta, em média, 1,5165 unidades. Em outras palavras, para um aumento de dez anúncios, espera-se um aumento de aproximadamente 15 vacinas aplicadas. (e) (0,5 pontos). Para o problema em estudo, qual o número esperado de vacinas aplicadas se forem lançados 40 anúncios? Para X = 40, temos que Ŷ = 26, , = 87,55; ou seja, se foram lançados 40 anúncios de publicidade, espera-se que sejam aplicadas 88 vacinas aproximadamente. Página 4 de 12

5 Exercício 3. (3,25 pontos). Um psicólogo está investigando a relação entre o tempo que o indivíduo leva para reagir a um certo estímulo (em segundos) e algumas de suas características tais como idade (em anos completos) e acuidade visual (medida em porcentagem). Os dados encontram-se a seguir: Indivíduo Tempo de Reação Idade Acuidade Visual (a) (0,75 pontos). Construa os diagramas de dispersão de Tempo de Reação x Idade e Tempo de Reação x Acuidade Visual (use o computador). Usaremos o R-commander no desenvolvimento deste exercício. Para isto vamos a carregar arquivo DadosExercicio3Lista3.xls que segue abaixo: Para construir os diagramas de dispersão escolhemos as opções Gráficos Diagrama de dispersão, e escolhemos as variáveis de interesse, neste caso Tempo e Idade (para o primeiro Página 5 de 12

6 Passo 1: gráfico) e Tempo e Acuidade (para o segundo gráfico). Na aba Opções podemos dar um título ao gráfico e escolher outras opções gráficas. Passo 2: Na Figura 2 são apresentados os diagramas de dispersão dos tempos de reação vs. idade, e dos tempos de reação vs. acuidade visual. Os gráficos de dispersão sugerem uma relação aproximadamente linear entre as variáveis de interesse, crescente no primeiro caso (tempo de reação versus idade) e decrescente no segundo (tempo de reação versus acuidade visual). Página 6 de 12

7 Diagrama de dispersão Diagrama de dispersão Tempo de reação Tempo de reação Idade Acuidade visual Figura 2: Diagrama de dispersão: Tempos de reação vs. Idade (esquerda), e Tempos de reação vs. Acuidade visual (direita). (b) (0,5 pontos). Calcule o coeficiente de correlação entre Tempo de Reação e Idade e entre Tempo de Reação e Acuidade Visual e interprete os valores obtidos. Para calcular os coeficientes de correlação requeridos escolhemos as opções Estatísticas Resumos Matriz de correlação e escolhemos as variáveis de interesse (Tempo, Idade e Acuidade) e clicamos em Ok. Página 7 de 12

8 Os resultados são os seguintes: cor(datos[,c("acuidade","idade","tempo")], use="complete") Acuidade Idade Tempo Acuidade Idade Tempo Pode-se observar que o coeficiente de correlação entre as variáveis Tempo de Reação e Idade é 0,80 indicando que estas variáveis apresentam uma relação linear positiva, isto é, ao aumentar a idade também há uma tendência a aumento no tempo de reação ao estímulo. O coeficiente de correlação entre as variáveis Tempo de Reação e Acuidade Visual é -0,62, indicando que estas variáveis apresentam uma relação linear negativa, isto é, ao aumentar a acuidade visual o tempo de reação tende a diminuir. Essas interpretações são confirmadas pela observação dos diagramas de dispersão dados na Figura 2. (c) (0,75 pontos). Como seria possível prever o tempo de reação de um indivíduo através de sua idade? O aumento de uma unidade na idade aumenta em quanto o tempo médio de reação dos indivíduos? Faça uma previsão do tempo de reação de um indivíduo com 24 anos. É possível prever o tempo de reação de um indivíduo através de sua idade ajustando uma reta regressão. Para ajustar uma reta de regressão usando R-commander escolhemos as opções Estatísticas Ajuste de modelos regressão linear, e escolhemos o Tempo como variável resposta e a Idade como variável explicativa. Página 8 de 12

9 Os resultados obtidos apresentados na janela Saída são os seguintes: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-06 *** Idade ** Temos então que a reta de regressão ajustada é dada por: Ŷ = 77,90 + 0,92X. Note que o coeficiente angular da reta é b = 0,92, indicando que um aumento de uma unidade na idade produz um aumento no tempo médio de reação dos indivíduos de 0,92 segundos. Finalmente, para X = 24, temos que Ŷ = 77,90 + 0,92 24 = 99,98 100, indicando que para um indivíduo com 24 anos se espera obter um tempo de reação de 100 segundos aproximadamente. (d) (0,75 pontos). Obtenha a reta de regressão do tempo de reação em função da acuidade visual. Qual é o significado prático do coeficiente b encontrado? Seguindo os mesmos passos do item anterior obtemos os seguintes resultados: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-05 *** Acuidade Neste caso a reta ajustada é dada por: Ŷ = 149,0 0,50X. O significado prático do coeficiente angular b = 0,50 é o seguinte: para cada aumento em uma unidade na acuidade visual, o tempo de reação diminui, em média, 0,50 segundos. (e) (0,5 pontos). Como seria mais razoável prever o tempo de reação de uma pessoa: pela idade ou pela acuidade visual? Por quê? É mais razoável prever o tempo de reação de uma pessoa pela idade, pois o coeficiente de correlação entre estas duas variáveis é maior (em valor absoluto) do que o coeficiente de correlação entre o tempo de reação e a acuidade visual. Página 9 de 12

10 Exercício 4. (2,5 pontos). Considere o arquivo Dados CEA06P16.xls, relativo a Fluência de Fala. (a) (0,5 pontos). Construa três gráficos de dispersão relacionando as variáveis Fluxo de sílabas por minuto (FSM) e Fluxo de palavras por minuto (FPM); Fluxo de sílabas por minuto (FSM) e Interrupção do fluxo da fala pelo rompimento temporal da seqüência (Pausa); Fluxo de sílabas por minuto (FSM) e Interjeição: palavra ou frase sem sentido (INTERJ). Os diagramas de dispersão são obtidos seguindo os mesmos passos que no item (a) do Exercício 3, e na Figura 3 são apresentados os respectivos diagramas de dispersão. Diagrama de dispersão Diagrama de dispersão Fluxo de sílabas por minuto (FSM) Fluxo de sílabas por minuto (FSM) Fluxo de palavras por minuto (FPM) Interrupção do fluxo da fala (Pausa) Diagrama de dispersão Fluxo de sílabas por minuto (FSM) Interjeição Figura 3: Diagramas de dispersão: FSM vs. FPM (acima à esquerda), FSM vs. Pausa (acima à direita) e FSM vs. Interjeição (abaixo). Página 10 de 12

11 (b) (0,5 pontos). Calcule os coeficientes de correlação para as situações consideradas no item (a). Comente. Para calcular os coeficientes de correlação requeridos os mesmos passos que no item (b) do Exercício 3, mas neste caso escolhemos as variáveis FPM, FSM, PAUSA e INTERJ. Os coeficientes de correlação são apresentados a seguir: cor(datos5[,c("fpm","fsm","interj","pausa")], use="complete") FPM FSM INTERJ PAUSA FPM FSM INTERJ PAUSA Notequeomaiorcoeficientedecorrelação éde0,96eapareceentreasvariáveis FSMeFPM, indicando que estas variáveis apresentam uma forte relação linear positiva. As variáveis FSM e PAUSA têm coeficiente de correlação -0,57, sugerindo uma relação linear negativa não muito forte. As variáveis FSM e INTERJ têm coeficiente de correlação próximo de zero, sugerindo que não há relação linear entre as variáveis. Essas interpretações são confirmadas pela observação dos diagramas de dispersão. (c) (0,5 pontos). Para um indivíduo com idade entre 2 e 99 anos, como seria melhor prever o Fluxo de sílabas por minuto (FSM): pela FPM, Pausa ou INTERJ? Justifique. Para um indivíduo com idade entre 2 e 99 anos, a melhor forma para prever o fluxo de sílabas por minuto FSM é através da variável FPM, pois estas duas variáveis apresentam o maior coeficiente de correlação (em valor absoluto). (d) (0,5 pontos). Ajuste a reta de regressão linear que associa o FSM (Y) com a variável escolhida no item (c) Para ajustar a reta de regressão requerida seguimos os mesmos pasos do item(c) do exercício 3, mas neste caso a variável resposta é FSM e a variável explicativa é FPM. Os resultados são apresentados a seguir: Página 11 de 12

12 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * FPM <2e-16 *** Logo, a reta de regressão ajustada é dada por Ŷ = 5,311+1,762X. (e) (0,5 pontos). Com base na reta ajustada no item (d), obtenha uma previsão do Fluxo de sílabas por minuto de um indivíduo que apresenta um fluxo de 130 palavras por minuto, 2 pausas e 2 interjeições. Para X = 130, temos que Ŷ = 5,311+1, = 234,371. Ou seja, para um indivíduo que apresenta um fluxo de 130 palavras por minuto, prevê-se um fluxo de 234 sílabas por minuto em média, aproximadamente. Página 12 de 12