X 1 X 2 Y

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1 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO Ficha de exercícios 3 Regressão Múltipla 2015/ Considere os seguintes dados: X 1 X 2 Y a) Ajuste um modelo de regressão linear múltipla aos dados observados. b) Construa a matriz de variâncias-covariâncias. c) Teste a hipótese de β 1 exceder 0.3. Considere α = 0.05 d) Construa um intervalo de confiança de 95% para β Considere os valores observados de quatro variáveis: X 1 X 2 X 3 Y a) Ajuste um modelo de regressão linear múltipla aos dados observados. b) Teste a significância do modelo ajustado na alínea anterior, considerando α = 1%. c) Calcule os coeficientes de determinação ajustado e não ajustado). Interprete. d) Construa a matriz de variâncias-covariâncias. e) Construa um teste de hipóteses para β 1 = 0 α = 5%). f) Teste a hipótese de β 2 ser inferior a 1 α = 2.5%). 3. Considere as receitas Y, em milhares de euros) obtidas por uma empresa. Seja X 1 a percentagem das receitas investida na empresa e seja X 2 a percentagem das receitas utilizada na aquisição de novos equipamentos. Na tabela seguinte estão registados os valores de 16 observações:

2 X 1 X 2 Y Sabe-se que: 20. y i = , x 1i = x 2i = 56, x 1i x 1 ) 2 = x 2i x 2 ) 2 = a) Ajuste um modelo de regressão linear múltipla aos dados observados, tendo em conta que: X T X ) = X T Y = b) Quanto se espera obter de receita, em média, para um investimento de 3% e aquisição de novos equipamentos de 5%. c) Tendo em conta que SSE = e que S yy = , calcule os coeficientes de determinação ajustado e não ajustado). Interprete. d) Teste a significância do modelo de regressão linear múltipla, considerando α = 10%. e) Teste se as variáveis X 1 e/ou X 2 contribuem significativamente para o modelo ajustado, considerando α = 1%. f) Teste a hipótese de β 2 ser inferior a 3, considerando α = 5%. 4. Para 20 casas de habitação que se encontravam à venda numa determinada cidade, foram registados dados relativos às seguintes grandezas: área total X 1, em centenas de m 2 ), valor patrimonial X 2, em milhares de euros) e preço de venda Y, em milhares de euros). Para relacionar o preço de venda com a área total e com o valor patrimonial, considerou-se o seguinte modelo de regressão: y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + ɛ i, i = 1,..., 20. Os dados recolhidos permitiram determinar:

3 X T X ) = X T X ) 1 X T Y = Sabe-se ainda que: SSE = e S yy = a) Recorrendo a um indicador adequado, indique se é razoável aplicar o modelo de regressão linear para relacionar Y com X 1 e X 2. b) Qual a percentagem de variação no preço de venda que não se consegue explicar linearmente através da área total e do valor patrimonial? c) Um especialista em compra e venda de imóveis afirma que o valor patrimonial não influencia significativamente o preço de venda da casa. Comente esta afirmação. Use um nível de significância de 5%. d) O mesmo especialista quer prever o preço de uma casa com área total 15.31m 2 e avaliada em 37.3 milhares de euros. Que valor lhe indicaria e qual é o seu significado. e) Uma casa com as mesmas características da alínea anterior foi vendida por 55 milhares de euros. Este preço é diferente do que encontrou na alínea anterior? Se sim, a que se deve a diferença? 5. Ajuste um modelo da forma Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ɛ aos dados referentes à procura de um determinado bem ao longo de 5 anos: Ano X) Procura Y ) Considere a seguinte tabela que contém os dados referentes à evolução dos índice de desemprego e de preços no consumidor ao longo de 5 anos. Ajuste o modelo ln ln aos dados observados. Ano Índice de desemprego IPC

4 7. Considere as seguintes variáveis: X 1, que representa o número de trabalhadores; X 2, que representa x 1i x 2i y i a) Ajuste um modelo de regressão linear múltipla aos valores observados, sabendo que: X T X ) = e X T Y = b) Interprete os valores de ˆβ 1 e ˆβ 2. c) Teste a significância do modelo encontrado em a), considerando α = 1%. d) Teste se a variável X 2 contribui significativamente para o modelo ajustado, considerando α = 5%. 8. Considere as seguintes variáveis: X 1, que representa o número de trabalhadores; X 2, que representa x 1i x 2i y i a) Ajuste um modelo de regressão linear múltipla aos valores observados, sabendo que: b) Interprete os valores de ˆβ 1 e ˆβ 2. X T X ) = c) Teste a significância do modelo encontrado em a), considerando α = 5%. d) Alguma das variáveis regressoras pode ser eliminada do modelo considerado em a)? Justifique considerando α = 1%. 9. Considere as seguintes variáveis: X 1, que representa o número de trabalhadores; X 2, que representa

5 x 1i x 2i y i a) Ajuste um modelo de Regressão Linear Múltipla aos valores observados, sabendo que: X T X ) = b) Interprete os valores dos coeficientes de regressão. c) Teste a significância do modelo encontrado em a), considerando α = 1%. d) Determine a qualidade do ajuste do modelo encontrado em a). e) Qual das variáveis regressoras contribui mais para o modelo considerado em a)? Justifique considerando α = 5%.