Exemplo 1. Conjunto de dados de uma amostra de 12 meninas da escola: y i x i

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1 Exemplo 1 Y : peso (kg) de meninas de 7 a 11 anos de uma certa escola de dança X : altura (m) das meninas A partir de 3 valores prefixados de X, foram obtidas, para cada valor de X, 4 observações independentes de Y Conjunto de dados de uma amostra de 12 meninas da escola: y i x i 1,35 1,35 1,35 1,35 1,40 1,40 1,40 1,40 1,50 1,50 1,50 1,50

2 Diagrama de Dispersão - Exemplo 1 peso (kg) altura (m)

3 Exemplo 2 Um comerciante de temperos está curioso sobre a grande variação nas vendas de loja para loja Acha que as vendas estão associadas com o espaço nas prateleiras dedicados a sua linha de produto em cada ponto de venda Dez lojas foram selecionadas ao acaso pelo país e as duas seguintes variáveis foram mensuradas: X total de espaço de frente (em cm 2 ; altura x comp), dedicado a sua linha de produtos Y total das vendas dos produtos (em reais), no último mês x i y i

4 Diagrama de Dispersão - Exemplo 2 venda (reais) espaço (cm2)

5 ALGUMAS OBSERVAÇÕES SOBRE O COEFICIENTE r r= S xy S xx S yy = S xy n 1 S xx n 1 S yy n 1 Covariância amostral de X e Y Variância amostral de X Variância amostral de Y Portanto r é um estimador do coeficiente de correlação ρ: ρ xy = Cov( X,Y ) Var ( X ) Var (Y )

6 Pode ser mostrado que: a) -1 ρ 1 b) ρ mede, de certa forma, a dependência linear entre duas variáveis aleatórias: ρ 1 a medida que uma variável aumenta, a outra tende a aumentar ρ -1 a medida que uma variável aumenta, a outra tende a diminuir ρ 0 não há nenhuma tendência linear

7 Diagrama de dispersão: amostra do par de variáveis (exemplos hipotéticos) r = 0.06 r = 0.94 r = 1 y y y x1 x2 x3 r = 0.16 r = r5 = y y y x4 x5 x6

8 Exercício Queremos estudar a relação entre a quilometragem de um carro usado e o seu preço de venda Foram obtidos os dados de uma amostra de 5 carros X quilometragem (em km) Y preço de venda (em milhares de euros) x i y i 1 1,5 1,2 1,8 0,8 a) construa um diagrama de dispersão para as variáveis e comente o gráfico b) calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson e interprete o resultado

9 ## Exemplo 1 #dados altura <- c(rep(1.35,4),rep(1.4,4),rep(1.5,4)) peso <- c(34,34,29,27,40,25,40,34,46,42,47,59) #Diagrama de dispersao plot(altura, peso, xlab="altura (m)", ylab="peso (kg)", bty='l',pch=20,cex=2) title(main = "Diagrama de Dispersão - Exemplo 1") ## Exemplo 2 espaco <- c(340, 230, 405, 325, 280, 195, 265, 300, 350, 310) venda <- c(71, 65, 83, 74, 67, 56, 57, 78, 84, 65) plot(espaco, venda, xlab="espaço (cm2)", ylab="venda (reais)", bty='l', pch=20, cex=2) title(main = "Diagrama de Dispersão - Exemplo 2") #coeficiente de Pearson r <- cor(espaco,venda)

10 AJUSTE DE CURVA Com os pontos (x i, y i ) ; i = 1, 2,, n, encontrar uma equação matemática para descrever a relação entre X e Y Dois problemas para resolver: (1) decidir que tipo de curva se quer utilizar indicar o tipo de equação matemática a ser adotado (2) encontrar a melhor equação para o tipo de curva escolhida

11 Tipo de curva mais simples reta equação linear com duas incógnitas: y = a + bx representação de uma reta genérica coeficiente linear (ou intercepto) coeficiente angular (ou inclinação) * encontrar uma reta que se ajuste aos n pontos, ou seja, os valores ótimos de a e b, denotados por â e ^b

12 n = 2 pontos distintos: (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) uma única reta passa pelos dois pontos e os valores ótimos de a e b podem ser determinados: ^a= y 1 ^b x 1 ^b= y 2 y 1 x 2 x 1 Como neste caso, o ajuste é perfeito: ^y i = y i e e i =0 ; i = 1, 2

13 n > 2 pontos não colineares nenhuma reta passa por todos os pontos Como encontrar â e ^b? solução: encontrar uma reta que passa o mais perto de todos os pontos

14 Exemplo 3 Consideremos um teste de múltipla escolha dividido em duas partes. Os dados a seguir, o número de respostas certas de 4 estudantes em cada parte: Estudante X Parte I Y Parte II

15 Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I I incluindo a reta y = 5 Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I incluindo a reta y = 1 + x I incluindo a reta y = x

16 Ideias: (1) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de e i

17 Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I I incluindo a reta y = Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I incluindo a reta y = 1 + x 1-5 I incluindo a reta y = x

18 Ideias: (1) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de e i ao diminuir um resíduo, pode-se aumentar outro

19 Ideias: (1) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de e i ao diminuir um resíduo, pode-se aumentar outro (2) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de n i=1 e i

20 Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I I incluindo a reta y = Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I incluindo a reta y = 1 + x 1-5 I incluindo a reta y = x

21 Ideias: (1) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de e i ao diminuir um resíduo, pode-se aumentar outro (2) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de mais de uma reta pode apresentar soma igual a zero n i=1 e i

22 Ideias: (1) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de e i ao diminuir um resíduo, pode-se aumentar outro (2) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de mais de uma reta pode apresentar soma igual a zero n i=1 e i (3) Ajustar uma reta que minimize n i=1 e i 2

23 Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I I incluindo a reta y = Diagrama de Dispersão Diagrama de Dispersão I incluindo a reta y = 1 + x 1-5 I incluindo a reta y = x

24 Ideias: (1) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de e i ao diminuir um resíduo, pode-se aumentar outro (2) Ajustar uma reta que minimize o valor absoluto de mais de uma reta pode apresentar soma igual a zero (3) Ajustar uma reta que minimize n i=1 Método de Mínimos Quadrados (método de MQ) e i 2 n i=1 e i

25 Diagrama de Dispersão - Exemplo 3 incluindo a reta de MQ: y = x I 0,29 1,82-3,82 1,71

26 Exemplo 3 - Cálculo dos preditos e resíduos para reta de MQ i x i y i 2 x i 2 y i x i y i ŷ i e i 2 e i ,18 1,82 3, ,29 1,71 2, ,71 0,29 0, ,82-3,82 14,62 Total ,94 n i=1 e i =0 valor mínimo n i=1 n y = i i=1 ^y i