MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS. Professor: Rodrigo A. Scarpel

Transcrição

1 MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br

2 Programa do curso: Semana Conteúdo 1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral. Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores. 3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos. 4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações. 5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança. 6 Prova 7 Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla. Multicolinearidade e seus efeitos. 8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas. 9 Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas. Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância. 10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores. 11 Experimentos fatoriais k. Pontos centrais. 1 Experimentos em blocos casualizados. Blocagem em experimentos k. 13 Prova 14 Experimentos fatoriais fracionados. 15 Experimentos com fatores quantitativos. Metodologia de superfície de resposta. 16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.

3 MÉTODOLOGIA DE SUPERFÍCIE DE RESPOSTA (MSR) Professor: Rodrigo A. Scarpel

4 Introdução: A métodologia de superfície de resposta (MSR) é uma coleção de técnicas matemática e estatísticas úteis para modelagem e análise nas aplicações em que a resposta de interesse é influenciada por muitas variáveis (fatores) e o objetivo é otimizar essa resposta. Exemplo: Fatores Controláveis: 1 Processo Saída 1 Químico x : tempo de reação (min) x : temperatura ( o C) ída y : rendimento do processo (%) OBJETIVO: Maximizar o rendimento (taxa de conversão) de um processo químico CONDIÇÕES ATUAIS DE OPERAÇÃO: x 1 (tempo de reação) : 35 minutos x (temperatura de reação): 155 o C

5 Processo de experimentação: A experimentação é feita de forma seqüencial: 1. O primeiro experimento é um piloto (screening experiment) utilizado na identificação das variáveis mais importantes. Piloto: Experimento fatorial com pontos centrais Alta: Baixa:150 B: Temperatura ( o C) b= 40,0 ab= 41,5 40,3 40,5 40,7 40, 40,6 (1)=39,3 a= 40,9 A: Tempo de reação (min) Y f x 1, x Superfície de resposta Baixa:30 35 Alta: Experimentos subseqüentes são feitos para refinar a informação e determinar os ajustes nas variáveis críticas necessários para melhoraria. 3. Otimização: é o objetivo final da experimentação. Consiste em determinar os níveis ótimos das variáveis críticas (resultarão no sistema com a melhor performance possível).

6 Representação de superfícies de resposta: Graficamente, as superfícies de resposta são representadas por meio de gráficos de superfície e de contornos (curvas de nível): Na maioria dos problemas de MSR, a forma da relação entre a resposta e as variáveis independentes é desconhecida. Assim, a primeira etapa na MSR é encontrar uma aproximação adequada para a relação entre elas. Opções comumente empregadas (procedimento seqüencial): Modelo de primeira ordem: Modelo de segunda ordem: y y 0 1x1 x k 0 j1 x j j i j x x ij i j k j1 x jj j

7 Seleção da forma funcional da superfícies de resposta: Modelo de primeira ordem: empregado se a resposta for bem modelada por uma função linear das variáveis independentes e se os efeitos de interação e curvatura não forem singificativos. Se alguma das condições não for satisfeita emprega-se um modelo de segunda ordem. Exemplo: Estatística de regressão R múltiplo 0,97093 R-Quadrado 0,9471 R-quadrado ajustado 0,8854 Erro padrão 0,0736 Observações 9 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Interseção 40,46 0, ,9140 0,00000 A: Tempo reação 0,775 0, , ,00171 B: Temperatura 0,35 0, , ,03503 AB -0,05 0, ,411 0,813 Curvatura = A = B -0,035 0, ,5161 0,81374 Desta forma, os dois fatores são significativos, porém, a interação dos fatores e a curvatura não são. Assim, yˆ 40,46 0,775x1 0, 35x y^ x x 1

8 B: Temperatura ( o C) Alta: Baixa: Procedimento seqüêncial em MSR: Freqüentemente, quando estamos em um ponto, na superfície de resposta, longe do ótimo, há pouca curvatura no sistema e o modelo de primeira ordem é apropriado. Uma vez que a região do ponto ótimo tenha sido encontrada, um modelo mais elaborado, como o de segunda ordem, pode ser empregado e uma análise pode ser feita para localizar o máximo (mínimo). Para se mover rapidamente para a região do ponto ótimo utiliza-se o método do gradiente ascendente (descendente). b= 40,0 ab= 41,5 40,3 40,5 40,7 40, 40,6 y^ (1)=39,3 a= 40,9 A: Tempo de reação (min) Baixa:30 35 Alta:40 x x

9 Método do gradiente ascendente (descendente): É um procedimento experimental simples e eficiente utilizado para se mover seqüencialmente ao longo do caminho ascendente (descendente) de maior inclinação, ou seja, em que ŷ cresce mais rapidamente. Geralmente, os experimentos são conduzidos ao longo da linha que passa através do centro da região de interesse e que é normal aos contornos da superfície ajustada, ou seja, proporcionais aos coeficientes da regressão, até que mais nenhum aumento seja observado na resposta. Exemplo: yˆ 40,46 0,775x yˆ ˆ / ˆ 1 1 0,35x 0,35/ 0,775 0, 4 Desta forma, se aumentarmos o tempo de reação em 5 minutos, devemos aumentar a temperatura em aproximadamente o F.

10 Superfície de resposta de segunda ordem: Quando estivermos relativamente próximos do ponto ótimo, um modelo de segunda ordem é requerido para aproximar a resposta, por causa da curvatura na verdadeira superfície de resposta. Neste caso: yˆ ˆ 0 k i1 ˆ x i i k i1 ˆ x Para ajustar superfícies de resposta de segunda ordem, recomenda-se a realização de um experimento composto central (experimento k com pontos centrais e corridas axiais). Exemplos: ii i i j ˆ x ij i x j a = k 1/

11 Superfície de resposta de segunda ordem: Exemplo: ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 5 45,89 9,178 14,93 0,0019 Resíduo 7 4,303 0,615 Total 1 50,19 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p Interseção 69,10 0, ,08,9E-14 A: Tempo reação 1,633 0,77 5,891 0,0006 B: Temperatura 1,083 0,77 3,907 0,0058 A -0,969 0,973-3,59 0,0139 B -1,19 0,973-4,100 0,0046 AB 0,5 0,390 0,574 0,5839 yˆ 69,1 1,633x 0,969x A A 1,083x 1,19x B B

12 Superfície de resposta de segunda ordem: Exemplo: yˆ 69,1 1,633x A 1,083x B 0,969x A 1,19x B ^ y Temperatura Tempo de reação Solução ótima: T empode reação Temperatura Rendimento 0,441* 0,81* 70,08% ,105min ,05F

13 Síntese do procedimento (MSR): 1. Projeto piloto: Fatorial k-p para identificar fatores singnificativos Fatorial k para identificar se está próximo do ótimo Identificar caminho para melhoria (método do gradiente). Experimentos ao longo do caminho de maior inclinação para identificar a região do ótimo. 3. Experimento composto central: Criação da superfície de resposta (polinômio ordem ) 4. Determinar a solução ótima

14 Para casa: Laboratório 11 (site: Leitura: Montgomery e Runger cap.14 (14.10): Desing of experiments...