c PAVF 2 Otimizac~ao 'Aurelio' Otimizac~ao.[De otimizar+-c~ao] S.f. 1. Estat. Processo pelo qual se determina o valor otimo de uma grandeza. Otimo.[Do

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1 c PAVF 1 Introduc~ao Otimizac~ao Modelos de otimizac~ao Aplicac~oes Descric~ao do curso

2 c PAVF 2 Otimizac~ao 'Aurelio' Otimizac~ao.[De otimizar+-c~ao] S.f. 1. Estat. Processo pelo qual se determina o valor otimo de uma grandeza. Otimo.[Do lat. optimu ] Adj. 3. Diz-se de grau, quantidade ou estado que se considera o mais favoravel em relac~ao a um determinado criterio. Contextualizando, Conceitos, metodos e aplicac~oes relacionadas a determinac~ao das melhores soluc~oes para problemas de tomada de decis~ao a partir de modelos matematicos. Otimizac~ao envolve, Estudo de condic~oes de otimalidade Sntese de metodos algoritmicos Analise da estrutura dos algoritmos Experimentac~ao computacional Aplicac~oes nas mais diversas areas

3 c PAVF 3 Otimizac~ao Pequeno historico Antes de 1940: { Aplicac~oes dos metodos do Gradiente e Newton (poucas variaveis) em areas especcas { Elevados custos de computac~ao ^enfase na obtenc~ao de uma soluc~ao factvel : { Introduc~ao da Programac~ao Linear (Dantzig, Kantorovich) e do Metodo SIMPLEX (Dantzig) { Modelagem e soluc~ao de problemas complexos de decis~ao no contexto da programac~ao linear : { Condic~oes gerais de otimalidade (Karush/Kuhn-Tucker) { Introduc~ao dos Metodos de Metrica Variavel (Davidon), dando origem a Programac~ao N~ao-Linear Atualmente, { Metodos de Pontos Interiores, Processamento Paralelo, Intelig^encia Articial, Algoritmos Evolutivos,...

4 c PAVF 4 Modelos de otimizac~ao Componentes Objetivo Direciona a escolha dos valores das variaveis de decis~ao no sentido de otimizar determinada grandeza. Exemplo: maximizar a area de um ret^angulo, dado seu permetro Variaveis de decis~ao Grandezas sobre as quais se exerce controle visando atingir o objetivo especicado. Exemplo: lados do ret^angulo, x 1 e x 2. Func~ao-objetivo: x 1 x 2 Restric~oes Relac~oes que restringem os valores que as variaveis de decis~ao podem assumir. Exemplo: 2x 1 +2x 2 = p (permetro), x 1 0 e x 2 0 (lados n~ao-negativos) Par^ametros Valores constantes que caracterizam um modelo de otimizac~ao particular. Exemplo: valor do permetro p

5 c PAVF 5 Modelos de otimizac~ao Problema de factibilizac~ao Encontrar x tal que h i (x) =0 g j (x) 0 i = 1 2 ::: m j = 1 2 ::: p x 2 x := (x 1 x 2 ::: x n ) h i (x) =0 g j (x) 0 x 2 ; variaveis de decis~ao ; restric~ao de igualdade ; restric~ao de desigualdade ; restric~ao de conjunto Problema de otimizac~ao Existindo mais do que uma soluc~ao factvel, minimizar f (x) s.a h i (x) =0 i = 1 2 ::: m g j (x) 0 j = 1 2 ::: p x 2 f { func~ao objetivo Objetivo: minimizar f

6 c PAVF 6 Modelos de otimizac~ao Modelos lineares Todas as func~oes envolvidas s~ao lineares sujeito a minimizar c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 x 2 x n 0 i = 1 2 ::: n. Forma matricial minimizar c T x sujeito a Ax b x 0 onde e x := x 1 x 2. x n A := 3 2 b := b 1 b 2. b m 3 2 c := a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn c 1 c 2. c n 3 7 5

7 c PAVF 7 Modelos de otimizac~ao Modelos n~ao-lineares Pelo menos uma das func~oes envolvidas e n~ao-linear Exemplo: Custos n~ao-lineares c i (x i )=c i (1 ; e ; ix i ) i = 1 2 ::: n c i : custo maximo i > 0: taxa de decrescimento Func~ao linear-por-partes: 8 >< c i (x i ) = >: 1i x i se x i 2 [0 q 1i ) 2i x i + 1i se x i 2 [q 1i q 2i ). ki se x i 2 [q (k;1 i) 1) c i (x i ) q 1i q 2i 0 x i

8 c PAVF 8 Aplicac~oes Localizac~ao e transporte Determinar as localizac~oes de N fabricas e os volumes de produc~ao a transportar para atender a demanda de M mercados a custo mnimo p i d j s ij w ij ; capacidade de produc~ao da fabrica i ; demanda do mercado j ; dist^ancia entre a fabrica i e o mercado j ; produc~ao da fabrica i para o mercado j N M - localizac~oes factveis das fabricas Dist^ancia entre fabrica i (coordenadas (x i y i )) e mercado j (coordenadas (a j b j )): s ij = q (x i ; a j ) 2 +(y i ; b j ) 2

9 c PAVF 9 Aplicac~oes Problema de otimizac~ao minimizar N X i=1 j=1 MX w ij s ij s.a M X w ij j=1 p i i = 1 2 ::: N NX w ij = d j j = 1 2 ::: M i=1 w ij 0 i = 1 2 ::: N j = 1 2 ::: M (x i y i ) 2 i = 1 2 ::: N Na func~ao objetivo, as dist^ancias a serem percorridas s~ao ponderadas pelos volumes a transportar Faz sentido localizar uma fabrica proxima a um determinado mercado se o volume a ser transportado for grande Se as localizac~oes das fabricas s~ao conhecidas, obtem-se um modelo linear de transportes Se as localizac~oes s~ao selecionadas de um conjunto nito de localizac~oes possveis, obtem-se um modelo com variaveis 0-1 (localizar ou n~ao uma fabrica num dado ponto)

10 c PAVF 10 Aplicac~oes Planejamento energetico Determinar os nveis de energia termica (g) e hidraulica () a serem produzidas para atender, com mnimo custo, a demanda energetica (d) em cada perodo (k) do horizonte de planejamento (N) g + + d A soma das energias produzidas em cada perodo deve ser igual a demandada: g k + k = d k k = 1 2 ::: N O custo de gerac~ao termica pode ser aproximado pela func~ao quadratica c (g k ) = g 2 k + g k + onde s~ao par^ametros conhecidos

11 c PAVF 11 Aplicac~oes A produc~ao de energia hidraulica baseia-se na transformac~ao da energia potencial da agua em energia eletrica reservatorio barragem x u turbina/gerador ; fator de convers~ao, eci^encia da usina u k x k k ; volume turbinado pela usina no perodo k ; volume do reservatorio no perodo k ; cota do reservatorio no perodo k Energia produzida pela usina no perodo k: k = (x k u k ) = u k (x k ) Din^amica do reservatorio: x k+1 = x k ; u k + y k k = ::: N onde y k eovolume auente ao reservatorio no perodo k (por hipotese, conhecido)

12 c PAVF 12 Aplicac~oes Problema de otimizac~ao minimizar NX k=1 c (g k ) s.a g k + (x k u k )=d k x k+1 = x k ; u k + y k u u k u x x k x g g k g x(n )=x N x 0 dado k = 1 2 ::: N x N dado Assume custos de gerac~ao termica muito maiores do que os de gerac~ao hidraulica imp~oe limites sobre as variaveis e um volume nal x N para o reservatorio Como g k +(x k u k )=d k, a func~ao objetivo pode ser vista como NX k=1 c (d k ; (x k u k )) Como a din^amica do reservatorio e func~ao dos volumes turbinados, o problema consiste em determinaratrajetoria factvel u k k = 0 1 ::: N;1 que minimiza o custo total de gerac~ao termica

13 c PAVF 13 Aplicac~oes Identicac~ao de par^ametros Modelos matematicos s~ao essenciais em engenharia e frequentemente surge a necessidade de estimar ou identicar par^ametros desconhecidos p : R p! R q y 2 R p z = p(y) 2 R q ; mapeamento entrada-sada ; entrada ; sada Modelo aproximado: m(x y) x 2 R n - vetor de par^ametros desconhecidos Problema de mnimos quadrados: minimizar N X i=1 m(x y i ) ; p(y i ) 2 sujeito a x 2 N ; numero de medidas (N > n) y i i = 1 2 ::: N ; entradas selecionadas R n ; restringe os valores dos par^ametros

14 c PAVF 14 Descric~ao do curso Objetivo Estudar conceitos e metodos comuns a uma ampla classe de problemas de otimizac~ao n~ao-lineares Formulac~ao geral minimizar f (x) s.a h(x) =0 g(x) 0 x 2 f : R n! R h : R n! R m h := (h 1 h 2 ::: h m ) g : R n! R p g := (g 1 g 2 ::: g p ) R n Aspectos centrais 1. Estudar condic~oes necessarias e/ou sucientes de otimalidade para determinadas classes de problemas de otimizac~ao 2. Estudar metodos numericos (algoritmos) que geram sequ^encias x 1 x 2 ::: convergentes para soluc~oes otimas

15 c PAVF 15 Descric~ao do curso Exemplo - Dentre todos os ret^angulos de lados x 1 e x 2 e permetro p, determine aquele que produz a maior area maximizar x 1 x 2 s.a 2x 1 +2x 2 = p x 1 0 x 2 0 Formulac~ao equivalente: maximizar ; y 2 +(p=2)y s.a 0 y p=2 onde y e qualquer lado do ret^angulo Condic~ao necessaria de 1a. ordem: Seja q(y) := ;y 2 +(p=2)y. Ent~ao q 0 (y) j y=y = ;2y + p 2 = 0! y = p=4 Condic~ao suciente de 2a. ordem: q 00 (y) j y=y = ;2 < 0

16 c PAVF 16 Descric~ao do curso Soluc~ao graca Utiliza o conceito de curvas de nvel: ; := f(x 1 x 2 ) : x 1 x 2 = 2 Rg x 2 p 2 p 4 0 p 4 p 2 x 1 Soluc~ao iterativa Metodo de Newton aplicado ao exemplo: y k+1 = y k ; q0 (y k ) q 00 (y k ) = y k + ;2yk + p=2 2 k = 0 1 ::: A sequ^encia gerada pelo algoritmo a partir de y 0 0 p=4 p=4 :::, e converge para o limite y = p=4 = 0 e

17 c PAVF 17 Descric~ao do curso Soluc~ao MATLAB function [f,g]=area(x) % % funcao que retorna os valores da funcao % e das restricoes do problema de % maximizacao da area do retangulo % % valor atribuido ao perimetro: p=1 % f=-x(1)*x(2) % valor da funcao (min!) % g(1)=2*x(1)+2*x(2)-1 % valor das restricoes g(2)=-x(1) g(3)=-x(2) % >> x0=[0 0.5] % solucao inicial x0 = >> x=constr('area',x0) % solucao otima x = >>

18 c PAVF 18 Descric~ao do curso Pre-requisitos Calculo e Algebra Linear Matrizes e Equac~oes Lineares MATLAB (Operac~oes basicas) Avaliac~oes Provas individuais Trabalhos computacionais 'Livro Texto' Luenberger, D., Linear and Nonlinear Programming, Addison-Wesley, 1984 Ementa 1. Introduc~ao, 2. Fundamentos I, 3. Fundamentos II, 4. Convexidade, 5. Aplicac~oes, 6. Otimizac~ao Numerica Irrestrita, 7. Condic~oes de Otimalidade e Dualidade, 8. Otimizac~ao Numerica Restrita