Capítulo 3. O Modelo de Regressão Linear Simples: Especificação e Estimação

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1 Capítulo 3 O Modelo de Regressão Linear Simples: Especificação e Estimação

2 Introdução Teoria Econômica Microeconomia: Estudamos modelos de oferta e demanda (quantidades demandadas e oferecidas dependem do preço); Estudamos funções de produção em que explicam a quantidade de um artigo produzido em função da quantidade de um insumo (ex trabalho) utilizado; Macroeconomia: Estudamos funções investimento explica que a quantidade de investimento agregado na economia depende da taxa de juros; Estudamos funções consumo que relacionam o consumo agregado e o nível de renda disponível. As especificações envolvem relacionamento entre variáveis econômicas. Estudaremos como utilizar uma amostra de dados econômicos para obter informações sobre tais relacionamentos. Usaremos Modelos de Regressão Ex: Se o preço de um bem (variável) varia de uma certa maneira, de quanto variará a quantidade demandada ou ofertada? Ex: Se conhecemos o valor de uma variável, podemos prever o valor da outra?

3 3.1 Um Modelo Econômico Estudaremos a relação entre renda familiar e despesa com alimentação. 1) Experimento: selecionar aleatoriamente residências em uma população ) Suponha que nos interessam residências com renda familiar de $ 480 3) Chamaremos y variável aleatória despesa mensal com alimentação 4) A v.a. Y é contínua e tem uma função densidade de probabilidade f(y) 5) Se x é a renda mensal da residência, f(y/x = $480) é a função densidade de probabilidade condicional. 6) A média condicional ou valor esperado de Y é E y x ( $480) yx Ou seja, é a despesa mensal média daquela pop. com alimentação. 7) A variância condicional de y é var( y x $480)

4 3.1 Um Modelo Econômico 8) Análise econométrica: Se a renda mensal aumenta de $0, de quanto, em média, aumentarão as despesas com alimentação? É possível a despesa mensal cair quando a renda aumenta? Qual é a despesa mensal com alimentação para uma família com renda de $800? 9) Construir um modelo econômico e em seguida um modelo econométrico ou estatístico. 10) Suponha que a relação consumo e renda sejam funções lineares. FUNÇÃO DE REGRESSÃO SIMPLES E( y x) yx 1 x (3.1.1) E( y x) de( y x) x dx (3.1.) denota mudança em

5 3. Um Modelo Econométrico Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples -I O valor médio de y, para cada valor de x, é dado pela regressão linear E( y) 1 Para cada valor de x, os valores de y se distribuem em torno do seu valor médio, seguindo distribuições de probabilidade que têm todas a mesma variância, var( y) Os valores de y são todos não correlacionados e tem covariância zero. A implicação disso é que não existe qualquer associação linear entre eles. cov( y, y ) 0 i j x

6 Essa hipótese pode se tornar mais forte se assumirmos que os valores de y são todos estatisticamente independentes. A variável x não é aleatória e deve assumir pelo menos dois valores diferentes (opcional) Os valores de y são normalmente distribuídos em torno de sua média para cada valor de x, y N x ~ [( 1 ), ] 3..1 Introduzindo o Termo de Erro O termo de erro aleatório é e y E( y) y x 1 (3..1) Rearranjando, temos y x e 1 y é a variável dependente; independente (3..) x é a variável explanatória ou

7 RS1. Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples -II y x e 1 RS. Ee ( ) 0 E( y) 1x RS3. var( e) var( y) RS4. cov( e, e ) cov( y, y ) 0 i j i j RS5. A variável x não é aleatória e deve assumir pelo menos dois valores diferentes. RS6. (opcional) Os valores de e são normalmente distribuídos em torno de sua média e~ N(0, )

8 3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas

9 3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas Utilizar a informação amostral para estimar os parâmetros 1 e

10 3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas O Princípio de Mínimos Quadrados A reta ajustada da regressão é y b b x ˆt 1 t (3.3.1) O resíduo de mínimos quadrados eˆ y yˆ y b b x t t t t 1 t (3.3.) Qualquer outra reta ajustada y b b x * * * ˆt 1 t (3.3.3) A reta de mínimos quadrados tem a menor soma de resíduos ao quadrado eˆ ( y yˆ ) eˆ ( y yˆ ) * * t t t t t t

11 3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de Despesas O Princípio de Mínimos Quadrados

12 As estimativas de mínimos quadrados são obtidas pela minimização da função da soma de quadrados T S(, ) ( y xt) 1 t 1 t1 (3.3.4) Obtenha as derivadas parciais S 1 T y x 1 t t S xt xt yt xt 1 (3.3.5) Iguale as derivadas a zero ( y Tb x b ) 0 t 1 t (3.3.6) ( x y x b x b ) 0 t t t 1 t

13 Rearranjando a equação 3.3.6, temos duas equações usualmente conhecidas como equações normais, 1 t 1 Tb x b y x b x b x y t t t t Fórmulas para as estimativas de mínimos quadrados b t t T x y x y t t t t T xt x b y b x 1 (3.3.7a) (3.3.7b) (3.3.8a) (3.3.8b) Como essas fórmulas funcionam para qualquer dos valores da amostra de dados, elas são os estimadores de mínimos quadrados.

14 3.3. Estimativas para a Função de Despesa com Alimentação b t T x y x y t t t t T xt x (40)( ,497) (790)(51,50) (40)(10063,0) (790) 0,183 (3.3.9a) b y b x 1 130,313 (0,18886)(698,0) 40,7676 (3.3.9b) Um modo conveniente de mostrar os valores de b 1 e b é escrever a reta de regressão estimada ou ajustada: yˆ 40,7676 0,183x t t (3.3.10)

15 3.3.3 Interpretação das Estimativas O valor b = 0,183 é uma estimativa de, a quantidade que a despesa com alimentação cresce semanalmente quando a renda semanal aumenta em $1. Assim, nós estimamos que se a renda subir $100, as despesas semanais com alimentação aumentarão aproximadamente $1,83. Estritamente falando, a estimativa de intercepto b 1 = 40,7676 é uma estimativa do gasto semanal com alimentação para uma família com renda nula.

16 3.3.3a Elasticidades A elasticidade renda da demanda é um modo útil de caracterizar a resposta da despesa do consumidor à mudanças na renda. Dos princípios microeconômicos, a elasticidade de qualquer variável y em relação a outra variável x é variação percentual em y y / y y x variação percentual em x x / x x y (3.3.11) Em um modelo econômico linear dado pela equação 3.1.1, nós mostramos que E( y) x (3.3.1) A elasticidade da despesa média em relação à renda é E( y)/ E( y) E( y) x x x / x x E( y) E( y) (3.3.13)

17 Um modo alternativo freqüentemente utilizado é mostrar a elasticidade no ponto das médias ( x, y) (698,00,130,31) já que é um ponto representativo da reta de regressão. x 698,00 ˆ b 0,183 0,687 y 130, b Previsão (3.3.14) Suponha que nós queremos prever a despesa semanal com comida para um domicílio com uma renda semanal de $750. Essa previsão é conduzida pela substituição de x = 750 na nossa equação estimada para obter yˆ 40,7676 0,183x t 40,7676 0,183(750) $130,98 Nós prevemos que um domicílio com uma renda semanal de $750 gastará $130,98 por semana em comida. t (3.3.15)

18 3.3.3c Exame da Saída do Computador Dependent Variable: DESP.ALIM Method: Least Squares Sample: 1 40 Included observations: 40 VARIABLE Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C INCOME R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D dependent var S.E. of regrression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Figura 3.10 Saída da Regressão pelo EViews

19 3.3.4 Outro Modelo Econômico O modelo log-log ln( y) ln( x) 1 A derivada de ln(y) em relação a x é A derivada de d[ln( y)] 1 dy dx y dx ln( x) 1 em relação a x é d[ 1 ln( x)] 1 dx x Colocando esses dois pedaços em igualdade um com o outro e resolvendo para : dy x dx y (3.3.16)

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