Modelagem do comportamento da variação do índice IBOVESPA através da metodologia de séries temporais

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1 Modelagem do comportamento da variação do índice IBOVESPA através da metodologia de séries temporais João Eduardo da Silva Pereira (UFSM) Tânia Maria Frighetto (UFSM) Janete Pereira Amador (UFSM) Angela Pellegrin Ansuj (UFSM) Resumo: O presente trabalho tem como objetivo modelar as variações do índice IBOVESPA no período de julho de 1998 a julho de 2002 através da metodologia de Box e Jenkins (1994). Foi realizada a análise exploratória dos dados que indicou um bom grau de normalidade, porém um alto grau de variabilidade e curtose. Para diminuir essa variabilidade foi utilizada a transformação média móveis considerando a variação de 5 e 5 dias. Sobre os dados transformados foi aplicada a análise auto-regressiva em esquema Stepwise, que forneceu o seguinte modelo: Y t =1,11723* Y t-1-0,387473* Y t-2 + 0,20046*Y t-3-0, *y t-4 +0, *Y t-5. O modelo ajustado apresentou significância P=0,0008 e um coeficiente de determinação de R 2 =0,7414. O modelo quando empregado com a finalidade de previsão apresentou-se satisfatório para previsões um passo a frente com P < 0,0001 e R 2 = 0,7272; para dois passos P< 0,001 e R 2 = 0,17; para três passos a frente o modelo não foi confiável com P = 0,2173 e R 2 = 0,055. A metodologia utilizada se apresentou eficiente para a modelagem dos dados no período estudado. Palavras-chave: modelagem estocástica, Box e Jenkins, modelos autoregressivos. 1 Introdução A aplicação de métodos estatísticos para modelagem de fenômenos plausíveis de quantificação possibilita a descrição do comportamento destes fenômenos, bem como, das relações entre as variáveis que os caracterizam. O conhecimento do comportamento de uma dada realidade possibilita a sua simulação e a previsão de comportamentos futuros. Dentre os métodos quantitativos desenvolvidos para esta finalidade, destaca-se a metodologia de Box & Jenkins (1976), para variáveis que se desenvolvem no tempo. Conforme Fava (2000), a análise de séries de tempo, segundo o enfoque de Box-Jenkins, tem como objetivo principal a realização de previsão. Essa metodologia permite que valores futuros de uma série sejam estimados tomando por base apenas seus valores presentes e passados. Isso é feito explorando a correlação temporal que existe, geralmente, entre os valores exibidos pela série. A relação temporal considerada pelo enfoque de Box-Jenkins é representada formalmente por um conjunto de processos estocásticos genericamente denominados de Modelos Auto-regressivos Média Móveis (ARIMA). Esses modelos envolvem apenas uma série de tempo e são classificados como modelos univariados. Os modelos ARIMA resultam da combinação de três componentes também denominados filtros : o componente auto-regressivo (AR), o filtro de Integração (I) e o componente de médias móveis (MA). Uma série de tempo pode conter os três filtros ou apenas um subconjunto deles, resultando daí várias alternativas de modelos passíveis de análise pela metodologia de Box-Jenkins. Um exemplo de série de tempo de grande interesse econômico é a série diária das variações do índice IBOVESPA. A compreensão do comportamento desta série através de um modelo probabilístico que permita a simulação e previsão de variações futuras com alguma 1

2 confiabilidade prescrita é, sem duvida, uma ferramenta importante para quem trabalha com este tipo de investimento. Sob esta ótica, o presente trabalho possui como objetivo buscar um modelo para as variações diárias do índice IBOVESPA, no período de julho de 1998 a julho de 2002 através da metodologia de Box-Jenkins e, com base no modelo estimado, realizar previsões, com o intuito de simular investimentos para os últimos seis meses de Metodologia Foram coletados 1016 dados referentes à variação diária do índice IBOVESPA durante o período de julho de 1998 a julho de Inicialmente, os dados foram submetidos a uma análise descritiva. Para reduzir o desvio padrão, os dados foram transformados por meio da técnica de médias móveis. Após aplicou-se a função de auto-correlação para verificar a ordem de significância das auto-correlações. O modelo matemático utilizado foi: Y = β i = 1...r t Y t i onde: Y t =valor da variável no tempo t; β = vetor de parâmetros do modelo; r = número de parâmetros; A partir do modelo estimado foram feitas previsões para horizontes de 1, 2 e 3 passos à frente. Para testar o ajuste do modelo foi feita a análise de variância. 3. Resultados 3.1 Análise descritiva A média, o desvio padrão, a curtose, a moda e a assimetria dos 1016 dados referentes à variação diária do índice IBOVESPA durante o período de julho de 1998 a julho de 2002, podem ser visualizadas na tabela 1. A variação diária dos 1016 dados encontra-se na figura 1. TABELA 1 Estatística descritiva dos dados originais. Parâmetros Valores Média 0, Desvio 2,3976 Curtose 6, Moda -0,015 Assimetria 0, FIGURA 1 Série temporal original. Os dados da tabela 1 e da figura 1 permitem concluir que as variações não apresentam componentes aparentemente de tendência. Pois o nível da série esta em torno de zero, com distribuição simétrica em relação a média, com alto grau de dispersão e de curtose. Assim, 2

3 verificou-se que o comportamento dos dados não apresenta um afastamento acentuado da normalidade, porém o componente de variabilidade deve ser minorado. 3.2 Transformação dos dados Para reduzir o desvio padrão, os dados foram transformados por meio da técnica de médias móveis. Cada nova observação de análise passou a ser constituída da média de cinco dias. Os resultados obtidos encontram-se na tabela 2 e nas figuras 2 e 3. TABELA 2 Estatística descritiva dos dados transformados. Parâmetros Valores Média 0, Desvio 1, Curtose 4,88174 Moda 1,216 Assimetria -0, variação média tempo FIGURA 2 Série transformada FIGURA 3 Distribuição de freqüência dos dados transformados. Os dados transformados melhoraram o desvio padrão a curtose e pelo teorema central do limite, ver Meyer (1969), a distribuição se aproximou da normalidade e como a média de 5 dias, em termos práticos se aproximou mais da realidade das aplicações e resgates de fundos. Essa transformação é preferível usá-la para as variações diárias. 3

4 4.3 Função de auto-correlação A autocorrelação dos dados transformados, bem como a relação dos valores atuais de variação média em função dos próprios valores defasados podem ser visualizados na figura 4. FIGURA 4 Auto-correlações da média de 5 dias das variações do IBOVESPA. 4.4 Construção do modelo Com os valores das auto-correlações, os dados foram submetidos a um procedimento Stepwise conforme, Neter (2002), que identificou como significativos os parâmetros autoregressivos até a quinta ordem. Os parâmetros foram estimados pelo método de mínimos quadrados que apresentou os resultados constantes na tabela 3. TABELA 3 - Estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros autoregressivos. Ordem parâmetros nível de significância (P) coeficiente de determinação (R 2 ) 1 a. Ordem 1, ,0001 0, a. Ordem -0, ,0001 0, a. Ordem 0, ,0008 0, a. Ordem -0, ,0001 0, a. Ordem 0, ,0001 0, O modelo estimado apresenta a seguinte forma: Y t =1,11723* Y t-1-0,387473* Y t-2 + 0,20046*Y t-3-0, *y t-4 +0, *Y t Análise de variância O modelo foi empregado para fazer previsões para a média de 5 dias da variação do IBOVESPA para horizontes de um, dois e três passos à frente a partir do dia primeiro de agosto até 31 de dezembro de Os resultados obtidos encontram-se na tabela 4 e nas figuras 5, 6 e 7 que apresentam as comparações das previsões com os valores reais obtidos no período. 4

5 TABELA 4 Análise de variância do modelo de previsão quando empregado para horizontes de um, dois e três passos à frente causas de variação GL SQ QM F P R 2 modelo horizonte 1P 4 70, , ,3069 1,22E-27 0, modelo horizonte 2P 4 16, , , , ,16961 modelo horizonte 3P 4 5, , , , , erro , , erro , ,79602 erro , , Total 96,8196 FIGURA 5 Comportamento das médias de variações de 5 dias do IBOVESPA e das previsões com horizonte de um dia baseadas no modelo proposto FIGURA 6 Comportamento das médias de variações de 5 dias do IBOVESPA e das previsões com horizonte de dois dias baseadas no modelo proposto 5

6 FIGURA 7 Comportamento das médias de variações de 5 dias do IBOVESPA e das previsões com horizonte de três dias baseadas no modelo proposto 4. Conclusão Os dados de variação do IBOVESPA no período estudado apresentaram-se como variável aleatória com comportamento aproximadamente normal, porém com variabilidade bastante acentuada. A transformação dos dados através da aplicação da técnica de médias móveis diminui a variabilidade dos dados e melhorou a normalidade dos mesmos. Os dados transformados, quando submetidos à análise de auto-regressão em um esquema de Stepwise, permitiram a modelagem através de uma equação auto-regressiva de ordem cinco com um coeficiente de determinação de R 2 = 0,7414 e um nível de significância de P=0,0008. O modelo estimado, quando empregado com a finalidade de previsão, foi eficiente para um horizonte de até dois dias à frente. Com isso, a metodologia de Box e Jenkins se apresentou satisfatória. 6 Bibliografia BOVESPA. A Bolsa do Brasil. Índices Índice Bovespa Ibovespa. < Acesso em : 7 maio BOX, G. E. P. JENKINS, M. & REINSEL, G.C. Time Series Analysis Forecasting and Control, New Jersey, 3 ed., p MEYER, P. L. Introductory probability and statistical applications, Washington State University, p. NETER, J. & WASSERMAN, W. Applied Linear Statistical Models, Illinois, p. FAVA, V. L. Metodologia de Box Jenkins para modelos univariados. In: Manual de Econometria. Editora Atlas. São Paulo, p. 6