Propriedades das Funções de Base Radiais aplicadas à identificação de sistemas dinâmicos não-lineares

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1 Universidade Federal de Minas Gerais From the SelectedWorks of Gladstone B. Alves 24 Propriedades das Funções de Base Radiais aplicadas à identificação de sistemas dinâmicos não-lineares Gladstone B. Alves, Universidade Federal de Minas Gerais Available at:

2 Propriedades das RBFs Aplicadas à Identificação de Não-Lineares Gladstone Barbosa Alves Orientador: Luis A. Aguirre Co-Orientador: Marcelo V. Corrêa Página 1 de 43 Belo Horizonte, 5 de Fevereiro de 24

3 INTRODUÇÃO Página 2 de 43

4 Sistema: entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, produzindo assim novos sinais Modelo matemático: conjunto de hipóteses sobre a estrutura ou o comportamento de um sistema. É uma abstração de um sistema através de equações Identificação de Sistemas: estuda maneiras de modelar e analisar sistemas físicos a partir de observações Página 3 de 43 Sinal de Entrada SISTEMA Sinal de Saída

5 Classificação da identificação Modelagem caixa-branca: estrutura do sistema é totalmente conhecida Significação física Complexidade Equações contínuas, aplicações discretas Modelagem caixa-preta: ausência de conhecimento prévio Aplicações em controle Difícil determinação de estrutura Página 4 de 43 Modelagem caixa-cinza: incorpora informação auxiliar

6 Informação Auxiliar sobre a Estrutura do Sistema Entrada 1 Saída Caixa Preta EQUIVALENTE Entrada Saída Página 5 de 43 Caixa Cinza

7 Motivação Cenário: Dados escassos, ruidosos e locais Conhecimento especialista e testes estáticos disponíveis Incorporação de informação auxiliar: Extensão da faixa de validade dos modelos Parcimônia Simplificação na seleção de estruturas e estimação de parâmetros Interpretabilidade física Página 6 de 43

8 Motivação Funções de base radiais: Separação entre os parâmetros lineares e não-lineares Viabilidade de manipulação analítica Inspiração em resultados anteriores: semelhanças com polinômios NARX Página 7 de 43

9 Objetivo Aplicar informação auxiliar no processo de identificação de sistemas por meio de RBFs. Abordagem: estudo das propriedades relevantes da representação, especialmente características de estado estacionário. Página 8 de 43

10 Estrutura da Apresentação Sistemas dinâmicos e modelagem Funções de base radiais Propriedades das RBFs Conclusões Página 9 de 43

13 Estrutura da Apresentação Sistemas dinâmicos e modelagem Funções de base radiais Propriedades das RBFs Influência do polinômio linear Estados estacionários Incorporação de informação auxiliar Conclusões Página 9 de 43

14 Estrutura da Apresentação Sistemas dinâmicos e modelagem Funções de base radiais Propriedades das RBFs Regulador buck Mapa senoidal Aquecedor elétrico Hammerstein Conclusões Página 9 de 43

16 SISTEMAS DINÂMICOS E MODELAGEM Página 1 de 43

17 e Modelagem Elementos Página 11 de 43

18 Caos em sistemas dinâmicos Página 12 de

19 Reconstrução de dinâmica Imersão y(k) = [y(k), y(k τ),..., y(k (d e 1)τ)] T Teorema de Takens: d e 2D + 1 (condição suficiente para transformação de coordenadas) Página 13 de 43 y(k + T) = f T ( y(k))

20 Reconstrução de dinâmica Caso não-autônomo y(k) = [y(k τ), y(k 2τ),..., y(k lτ) u(k), u(k τ),..., u(k (m 1)τ)] T Teorema de Takens não estabelece critérios para estimação do mapeamento f T Propostas: aproximadores locais e globais Expansão em uma base φ de funções de interesse (T = 1) f( y(k)) = N c w i φ i ( y(k)) i=1 Estimação de w: critério de ajuste aos dados Página 13 de 43

21 FUNÇÕES DE BASE RADIAIS Página 14 de 43

22 Funções de Base Radiais - Uma introdução Formulação geral das RBFs ˆf( y(k 1)) = ŵ + + N c ŵ i φ( y(k 1) c i ) + i=1 n yl â i y(k i) + i=1 N c < N n ul ˆb i u(k i) + e(k), i=1 Página 15 de 43 y(k 1) = [y(k 1)... y(k n y ) u(k 1)... u(k n u )] T

23 : tipos φ φ I II 8 1 u u2 JJ J 4 1 u1 u 2 Página 16 de φ φ u2 1 u1 8 1 u2 1 u1

24 Caracterização das funções de base Página 16 de 43

25 PROPRIEDADES DAS RBFs Página 17 de 43

26 Propriedades das RBFs Influência do polinômio linear Forno elétrico Modelos são validados em regiões de operação diferentes da correspondente aos dados de identificação Modelos RBF Sem polinômio linear: 6 funções Com polinômio linear: uma função Validação estática: simulação para patamares fixos da entrada Página 18 de 43

27 Validação dinâmica e estática Página 19 de 43

28 Discussão Uso dos termos polinomiais lineares permitiu Extensão da faixa de validade Bom desempenho, mesmo com massa de dados pequena Modelo mais parcimonioso Conjectura-se que a ausência desses termos resulta em polarização induzida por dinâmica linear presente nos dados Página 2 de 43

29 y Estados estacionários de RBFs u Pontos fixos: definição y(k) = y(k + i) = ȳ, i Z + Página 21 de 43 (Generalização) Curva estática: escreve a relação entre a saída em estado estacionário ȳ e a respectiva entrada

30 Estados estacionários de RBFs Mapeamento em RBFs ȳ = w + Σ u ū + N c i=1 w iφ( ȳ c i ) (1 Σ y ) = F(ū, ȳ) Sendo ȳ = [ȳ... ȳ ū... ū] T Solução analítica e unicidade: caso ȳ = [ū... ū] T Simulação Página 22 de 43

31 Estabilidade de estados estacionários Formulação λ n y 1 (ū, ȳ)λ ny 1 ny 1(ū, ȳ)λ ny (ū, ȳ) = F d (ū, ȳ) = y(k d) Página 23 de 43

32 Incorporação de informação auxiliar Autovalores invariantes com o estado estacionário (ponto de operação) λ n y a 1 λ n y 1 a ny 1λ a ny = Página 24 de 43

33 Incorporação de informação auxiliar Estado estacionário (ū k, ȳ k ) Com ȳ k ( 1 Σy ) Σu ū k w Φ = Σ w Φ = φ( ȳ k c i ), i = 1, 2,..., N c ȳ k = [ȳ k... ȳ k ū k... ū k ] T Caso mais simples: centros eqüidistantes de (ū k, ȳ k ) Página 24 de 43

34 yb y(k 1) u(k 2) ub u(k 1).2 Página 25 de 43

35 Incorporação de informação auxiliar Estimação dos parâmetros (dados dinâmicos) ˆ θ = arg min ξ T ξ c = Sˆ θ Restrições (geradas em estado estacionário) ŵ ŵ 1 w 1 ŵ 2 Σ w Σ y = ŵ 3 (1) 1 1 ŵ 4 Σ u 1 â 1 â 2 ˆb 1 Página 25 de 43

36 RESULTADOS Página 26 de 43

37 Uso da informação dos pontos fixos Mapas unidimensionais Regulador chaveado buck Mapa senoidal Sistema piloto Aquecedor elétrico Comportamento dos autovalores Sistema de Hammerstein Página 27 de 43

38 Regulador chaveado buck y(k) = αy(k 1) + h(d(k 1))2 βe[e y(k 1)] y(k 1) y(k+1) Página 28 de y(k)

39 Regulador chaveado buck Estrutura dos modelos 2 y(k) = w + w i φ( y(k 1) c i ) + i=1 +a 1 y(k 1) (a) Modelo apenas com centros simétricos (b) Modelo com centros simétricos e parâmetros restringidos (c) Modelo obtido sem uso de informação auxiliar Página 28 de 43

40 Regulador chaveado buck Caso sem ruído (esquerda) com ruído (direita) y(k+1) y(k+1) (a) (b) (c) y(k+1) y(k+1) (d) (e) (f) Página 28 de 43 y(k+1) y(k) y(k+1) y(k)

41 Mapa senoidal x(k) = 1, 2πsen(x(k 1)) y(k+1) Página 29 de y(k)

42 Mapa senoidal Caso 1: imposição do ponto fixo trivial y(k) = 2 w i φ( y(k 1) c i ) + a 1 y(k 1) i=1 Caso 2: aproximação dos pontos fixos nãotriviais (e simétricos) 4 y(k) = w i φ( y(k 1) c i ) + a 1 y(k 1) i=1 (a) Modelo apenas com centros simétricos (b) Modelo com centros simétricos e parâmetros restringidos (c) Modelo obtido sem uso de informação auxiliar Página 29 de 43

43 4 (a) 4 (d) y(k+1) (b) y(k+1) (e) y(k+1) 2 y(k+1) (c) (f) 4 2 Página 3 de 43 y(k+1) y(k+1) y(k) y(k)

44 Mapa senoidal Caso 2: variação da dispersão das funções radiais y(k+1) (a) y(k+1) (b) (c) (d) 4 2 y(k+1) y(k+1) Página 3 de y(k+1) (e) y(k) y(k+1) (f) y(k)

45 4 3 y(k) Dispersão das gaussianas Página 31 de 43 Máximo expoente de Lyapunov Dispersão das gaussianas

46 Aquecedor elétrico VENTILADOR FERRO SOLDA/ TERMOPAR FONTE 12V AMPLIFICADOR VARIVOLT PLACA DE AQUISICAO Página 32 de 43 TRAFO RETIFICADOR/ DIVISOR TENSAO

47 1 (a).8 u t (min).5.4 (b) y t (min).5 Página 33 de y u

48 Aquecedor elétrico Modelo 1: sem uso de informação auxiliar y(k) = 1 w i φ( y(k 1) c i ) + i=1 +a 1 y(k 1) Modelo 2: aproximação de dois pontos conhecidos da curva estática 9 y(k) = w + w i φ( y(k 1) c i ) + i=1 +a 1 y(k 1) Página 33 de 43

49 .9.8 u(k 1) u(k 2) 1.2 Página 34 de u(k 1) u(k 2)

50 .4.35 y t(min.).4 Página 35 de y t(min.)

51 .45.4 y u.45 Página 36 de y u

52 Sistema de Hammerstein Bloco dinâmico linear: G(s) = 1/(τs + 1) Bloco estático não-linear: [ ( ) 1 q(ū) = 1 + R 1 2(ū 1) p].5 (2) Dados de identificação gerados com u, 4 Dados de validação: dinâmica ( u, 7), estática ( u 1) Modelos comparados: com autovalores variantes e invariantes com o ponto de operação Página 37 de 43

53 Página 38 de

54 CONCLUSÕES Página 39 de 43

55 Conclusões e Sugestões Conclusões e contribuições Abordagem das RBFs no contexto de identificação de sistemas, apresentadas como uma representação NARX com possibilidade de ser manipulada analiticamente alcançados quando os centros foram selecionados pelo critério de taxa de redução de erro (ERR) foram superiores aos obtidos com o k-média. Página 4 de 43

56 Conclusões e contribuições É possível aproveitar informação auxiliar nas etapas de seleção de estrutura e estimação de parâmetros de funções de base radiais. Neste estudo foram empregadas informações de estado estacionário: localização de pontos fixos e estados estacionários, e não-variação dos autovalores com o ponto de operação É possível utilizar informação sobre localização de pontos fixos para auxiliar na distribuição de centros candidatos no espaço de reconstrução. Página 41 de 43

57 Pesquisas Futuras Uma vez disponíveis alguns pontos estáticos de um sistema, como selecionar os estados a aproximar pelo método proposto? Uma vez selecionados os pontos a aproximar, como distribuir os centros candidatos que atendam as restrições necessárias? A que distância do ponto fixo, e com qual dispersão? Como expandir os modelos em bases mais complexas, com funções com diferentes dispersões e distâncias dos pontos a impor, elevando as possibilidades de aproximação simultânea de vários pontos estacionários? Página 42 de 43

58 Agradecimentos A Deus! Aos orientadores Aguirre e Marcelo Ao CNPq Aos demais membros da banca: Prof. Roselito Teixeira, Prof. Gustavo Parma e Prof. Leonardo Tôrres Aos amigos do CPDEE e CPH À minha família Página 43 de 43