Capítulo 1 - Modelagem Matemática

Transcrição

1 Capítulo 1 - Modelagem Matemática Prof. Samir Martins UFSJ-CEFET/MG Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEL São João del-rei, 7 de agosto de / 54

2 Modelagem Matemática Área do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais. Modelagem caixa branca modelagem baseada na física (ou natureza) do processo - modelagem fenomenológica ou conceitual. Identificação de Sistemas alternativa à modelagem caixa branca. Modelagem caixa preta, baseada em dados experimentais coletados. Objetivo da aula introduzir conceitos básicos e princípios fundamentais, úteis no estudo de técnicas de identificação de sistemas. 2 / 54

3 Modelagem Matemática Área do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais. Modelagem caixa branca modelagem baseada na física (ou natureza) do processo - modelagem fenomenológica ou conceitual. Identificação de Sistemas alternativa à modelagem caixa branca. Modelagem caixa preta, baseada em dados experimentais coletados. Objetivo da aula introduzir conceitos básicos e princípios fundamentais, úteis no estudo de técnicas de identificação de sistemas. 2 / 54

4 Modelagem Matemática Área do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais. Modelagem caixa branca modelagem baseada na física (ou natureza) do processo - modelagem fenomenológica ou conceitual. Identificação de Sistemas alternativa à modelagem caixa branca. Modelagem caixa preta, baseada em dados experimentais coletados. Objetivo da aula introduzir conceitos básicos e princípios fundamentais, úteis no estudo de técnicas de identificação de sistemas. 2 / 54

5 Modelagem Matemática Área do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais. Modelagem caixa branca modelagem baseada na física (ou natureza) do processo - modelagem fenomenológica ou conceitual. Identificação de Sistemas alternativa à modelagem caixa branca. Modelagem caixa preta, baseada em dados experimentais coletados. Objetivo da aula introduzir conceitos básicos e princípios fundamentais, úteis no estudo de técnicas de identificação de sistemas. 2 / 54

6 Conceitos básicos O que é um modelo? Para que serve um modelo? Qual tipo de modelo deve ser utilizado? 3 / 54

7 Conceitos básicos O que é um modelo? Para que serve um modelo? Qual tipo de modelo deve ser utilizado? 3 / 54

8 Conceitos básicos O que é um modelo? Para que serve um modelo? Qual tipo de modelo deve ser utilizado? 3 / 54

9 Considerações frequentemente feitas em modelagem Linearidade princípio da superposição. Invariância no tempo dinâmica que rege a evolução temporal é sempre a mesma. Concentração de parâmetros as variáveis de interesse variam apenas com o tempo, e não com o espaço. 4 / 54

10 Considerações frequentemente feitas em modelagem Linearidade princípio da superposição. Invariância no tempo dinâmica que rege a evolução temporal é sempre a mesma. Concentração de parâmetros as variáveis de interesse variam apenas com o tempo, e não com o espaço. 4 / 54

11 Considerações frequentemente feitas em modelagem Linearidade princípio da superposição. Invariância no tempo dinâmica que rege a evolução temporal é sempre a mesma. Concentração de parâmetros as variáveis de interesse variam apenas com o tempo, e não com o espaço. 4 / 54

12 Linearidade em um sistema estático Considere o sistema estático: y = 5x. (1) Se x 1 = 2 y 1 = 10; Se x 2 = 3 y 2 = 15; Então, se x 3 = 4x 1 + 5x 2 = 7 y 3 = 4y 1 + 5y 2 = 35. Ainda, y 3 = 5x 3 = 35. Portanto, o sistema é linear. Por outro lado, y = 2 + 5x não é linear (PROVE!) 5 / 54

13 Linearidade em um sistema dinâmico Considere o seguinte sistema dinâmico: 5u(t) dy + y(t) 10u(t) = 0. (2) dt O sistema apresentado pela equação 11 não é linear. Um sistema linear equivalente é τ dy dt + y(t) Ku(t) = 0. (3) 6 / 54

14 Invariância temporal Seja: Para u 1 (t) y 1 (t) = sen(u 1 (t)). Para u 2 (t) = u 1 (t t 0 ): y(t) = sen(u(t)). (4) y 2 (t) = sen(u 2 (t)) = sen(u 1 (t t 0 )) y 1 (t t 0 ) = sen(u 1 (t t 0 )) (5) Como y 2 (t) = y 1 (t t 0 ), o sistema é invariante no tempo. 7 / 54

15 Invariância temporal Seja: y(t) = tu(t). (6) Para u 1 (t) y 1 (t) = tu 1 (t). Para u 2 (t) = u 1 (t t 0 ): y 2 (t) = tu 2 (t) = tu 1 (t t 0 ) y 1 (t t 0 ) = (t t 0 )u 1 (t t 0 ). (7) Como y 2 (t) y 1 (t t 0 ), o sistema não é invariante no tempo. 8 / 54

16 Sistema a parâmetros distribuídos Considere uma viga presa ao teto com a extremidade inferior livre. A posição de qualquer parte da viga é determinada pela distância x ao teto. Na extremidade livre é aplicado um conjugado. O ângulo de torção θ dependerá da posição e do tempo, conforme: 2 θ x 2 = K 2 θ t 2 (8) 9 / 54

17 Sistema a parâmetros distribuídos Considere uma viga presa ao teto com a extremidade inferior livre. A posição de qualquer parte da viga é determinada pela distância x ao teto. Na extremidade livre é aplicado um conjugado. O ângulo de torção θ dependerá da posição e do tempo, conforme: 2 θ x 2 = K 2 θ t 2 (8) 9 / 54

18 Sistema a parâmetros distribuídos Considere uma viga presa ao teto com a extremidade inferior livre. A posição de qualquer parte da viga é determinada pela distância x ao teto. Na extremidade livre é aplicado um conjugado. O ângulo de torção θ dependerá da posição e do tempo, conforme: 2 θ x 2 = K 2 θ t 2 (8) 9 / 54

19 Tipos de modelos Modelos estáticos e dinâmicos. Modelos discretos e contínuos. Modelos autônomos e não autônomos Modelos monovariáveis e multivariáveis Modelos determinísticos e estocásticos Modelos paramétricos e não paramétricos 10 / 54

20 Tipos de modelos Modelos estáticos e dinâmicos. Modelos discretos e contínuos. Modelos autônomos e não autônomos Modelos monovariáveis e multivariáveis Modelos determinísticos e estocásticos Modelos paramétricos e não paramétricos 10 / 54

21 Tipos de modelos Modelos estáticos e dinâmicos. Modelos discretos e contínuos. Modelos autônomos e não autônomos Modelos monovariáveis e multivariáveis Modelos determinísticos e estocásticos Modelos paramétricos e não paramétricos 10 / 54

22 Tipos de modelos Modelos estáticos e dinâmicos. Modelos discretos e contínuos. Modelos autônomos e não autônomos Modelos monovariáveis e multivariáveis Modelos determinísticos e estocásticos Modelos paramétricos e não paramétricos 10 / 54

23 Tipos de modelos Modelos estáticos e dinâmicos. Modelos discretos e contínuos. Modelos autônomos e não autônomos Modelos monovariáveis e multivariáveis Modelos determinísticos e estocásticos Modelos paramétricos e não paramétricos 10 / 54

24 Tipos de modelos Modelos estáticos e dinâmicos. Modelos discretos e contínuos. Modelos autônomos e não autônomos Modelos monovariáveis e multivariáveis Modelos determinísticos e estocásticos Modelos paramétricos e não paramétricos 10 / 54

25 Modelo discreto de um sistema biológico Considere uma população de besouros, cuja dinâmica é descrita por: L(k + 1) = νb(k), C(k + 1) = L(k)[1 µ l ], B(k + 1) = C(k)[1 µ c ] + B(k)[1 µ b ]; (9) em que L é a população de larvas, C é o número de casulos, B é o número de besouros, ν a taxa de natalidade, µ l, µ c e µ b as taxas de mortalidade de larvas, casulos e besouros. 11 / 54

26 Modelo Não Autônomo de um Sistema Biológico Seja A(k) a quantidade de agrotóxico aspergido por m 2 : L(k + 1) = νb(k), C(k + 1) = L(k)[1 µ l µ a A(k)], B(k + 1) = C(k)[1 µ c ] + B(k)[1 µ b ]; (10) sendo µ a a taxa de mortalidade devida exclusivamente à ação do agrotóxico. 12 / 54

27 Modelos Monovariáveis e Multivariáveis Modelo monovariável (SISO - Single Input, Single Output): τ dy dt + y(t) Ku(t) = 0. (11) Modelo da população de besouros pode ser interpretado como um modelo multivariável. 13 / 54

28 Modelos Determinísticos e Estocásticos Modelo determinístico: L(k + 1) = νb(k), C(k + 1) = L(k)[1 µ l ], B(k + 1) = C(k)[1 µ c ] + B(k)[1 µ b ]; (12) Modelo estocástico L(k + 1) = νb(k), C(k + 1) = L(k)[1 µ l ], B(k + 1) = C(k)[1 µ c ] + B(k)[1 µ b ] + e(k + 1); (13) sendo e(k) uma variável aleatória qualquer. 14 / 54

29 Modelos Paramétricos e Não Paramétricos O modelo abaixo é paramétrico: H(s) = 1 s 2 + 0,4s + 1, (14) e sua resposta ao impulso/em frequência é dada por: 15 / 54

30 Modelos Paramétricos e Não Paramétricos Figura 1: Representações não paramétricas. Resposta ao impulso. 16 / 54

31 Modelos Paramétricos e Não Paramétricos Figura 2: Representações não paramétricas. Resposta em frequência. 17 / 54

32 Representações de modelos lineares Função de transferência: transformada de Laplace da resposta ao impulso (h(t)) do sistema. Para um sinal x(t): X(s) = L{x(t)} = x(t) = L 1 {X(s)} = 1 2πj 0 x(t)e st dt σ+j σ j X(s)e st ds, (15) sendo s = σ + jω. A transformada de Fourier de h(t) é H(jω), e define a resposta em frequência do sistema 18 / 54

33 Representações de modelos lineares No caso discreto, utiliza-se a transformada Z, definida por: X(z) = Z{x(k)} = k= k= x(k) = Z 1 {X(z)} = 1 2πj x(k)z k X(z)z k 1 dz. (16) 19 / 54

34 Representação em espaço de estados Em espaço de estados, um sistema linear contínuo pode ser representado por: Para o caso discreto: ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du. (17) x(k + 1) = A d x(k) + B d u(k) y(k) = C d x(k) + D d u(k). (18) 20 / 54

35 Modelos Discretos Modelos AR (Auto Regressivo) e ARX (Auto Regressivo com entrada exógena) y(k) = a 1 y(k 1) + a 2 y(k 2) + + a ny y(k n y ) y(k) = a 1 y(k 1) + + a ny y(k n y ) + b 1 u(k 1) + + b nu u(k n u ) (19) Modelo ARX de um conversor CC-CC buck: y(k) = 1,7649y(k 1) 0,8027y(k 2) + 0,8661u(k 3) 0,73578u(k 1) + 0,07513u(k 2) + ξ(k) (20) 21 / 54

36 Modelos Discretos Função de transferência em tempo discreto: H(z) = 0,01075z2 + 0,2151z + 0,1075 z 2 1,6129z + 0,8280 Cuja resposta ao impulso é dada por: (21) Figura 3: Resposta ao impulso de um modelo discreto. 22 / 54

37 Modelos discretos Modelo autônomo da população de besouros em espaço de estados: L(k+1) C(k+1) B(k+1) = 0 0 ν 1 µ l µ c 1 µ b L(k) C(k) B(k) (22) 23 / 54

38 Modelos discretos Modelo não autônomo da população de besouros em espaço de estados: L(k+1) C(k+1) B(k+1) = 0 0 ν 1 µ l µ c 1 µ b 0 L(k)µ a 0 L(k) C(k) B(k) A(k) (23) 24 / 54

39 Estimação de Parâmetros Potenciômetro para medição de deslocamento angular. y = θ 1 + θ 2 x é uma boa aproximação do comportamento. Figura 4: Os dados medidos (x) e a reta ( ) ajustada utilizando regressão linear. Reta parametrizada por θ 1 = 1, e θ 2 = 6, / 54

40 Estimação de Parâmetros Estimação de parâmetros é uma etapa que sucede a escolha da função a ser estimada ˆf ( ); Neste exemplo, ˆf ( ) é linear nos parâmetros θ 1 e θ 2. ˆf ( ) pode ser decomposta na forma: [ ] θ1 y = [1x] θ 2 (24) 26 / 54

41 Estimação de Parâmetros E se utilizássemos apenas dois pontos? Tomando (x 1,y 1 ) = (144,0; 0,098) e (x 2,y 2 ),(158,4; 0,109), sabendo que: tem-se y 1 = θ 1 + x 1 θ 2 ; y 2 = θ 1 + x 2 θ 2 ; (25) [ 0,098 0,109 ] = [ 1 144, ,4 ] [ θ1 θ 2 ] (26) 27 / 54

42 Estimação de Parâmetros Ou ainda: [ θ1 θ 2 ] = = [ 11,00 10,00 0,069 0,069 [ ] 1, , ] [ 0,098 0,109 ] (27) 28 / 54

43 Estimação de Parâmetros Graficamente: Figura 5: Determinação dos parâmetros de uma reta ( ) utilizando dois pontos ( ) da mesma. y = 1, , x. 29 / 54

44 Modelagem Baseada na Física do Processo Considere o seguinte processo a ser modelado: Figura 6: Esquema da planta de bombeamento. 30 / 54

45 Modelagem Baseada na Física do Processo Considerações simplificadoras: Sistema a parâmetros concentrados; Perda de carga dentro dos dutos desprezada; Área do tanque constante; Dinâmica do inversor e conjunto moto-bomba desprezada; Água incompressível e com peso específico constante; Pressão atmosférica idêntica em todos os pontos da planta. 31 / 54

46 Modelagem Baseada na Física do Processo Considerações simplificadoras: Sistema a parâmetros concentrados; Perda de carga dentro dos dutos desprezada; Área do tanque constante; Dinâmica do inversor e conjunto moto-bomba desprezada; Água incompressível e com peso específico constante; Pressão atmosférica idêntica em todos os pontos da planta. 31 / 54

47 Modelagem Baseada na Física do Processo Considerações simplificadoras: Sistema a parâmetros concentrados; Perda de carga dentro dos dutos desprezada; Área do tanque constante; Dinâmica do inversor e conjunto moto-bomba desprezada; Água incompressível e com peso específico constante; Pressão atmosférica idêntica em todos os pontos da planta. 31 / 54

48 Modelagem Baseada na Física do Processo Considerações simplificadoras: Sistema a parâmetros concentrados; Perda de carga dentro dos dutos desprezada; Área do tanque constante; Dinâmica do inversor e conjunto moto-bomba desprezada; Água incompressível e com peso específico constante; Pressão atmosférica idêntica em todos os pontos da planta. 31 / 54

49 Modelagem Baseada na Física do Processo Considerações simplificadoras: Sistema a parâmetros concentrados; Perda de carga dentro dos dutos desprezada; Área do tanque constante; Dinâmica do inversor e conjunto moto-bomba desprezada; Água incompressível e com peso específico constante; Pressão atmosférica idêntica em todos os pontos da planta. 31 / 54

50 Modelagem Baseada na Física do Processo Considerações simplificadoras: Sistema a parâmetros concentrados; Perda de carga dentro dos dutos desprezada; Área do tanque constante; Dinâmica do inversor e conjunto moto-bomba desprezada; Água incompressível e com peso específico constante; Pressão atmosférica idêntica em todos os pontos da planta. 31 / 54

51 Modelagem Baseada na Física do Processo Partindo de: dm = ω i ω o, (28) dt Como m = V ρ e a área do tanque é constante: m = Ahρ, (29) sendo ρ a massa específica, h a altura e ω i, ω o as vazões mássicas. De (28): ρa dh dt dh dt = q i ρ q o ρ sendo q i e q o : vazões volumétricas. = q i q o A, (30) 32 / 54

52 Modelagem Baseada na Física do Processo Utilizando a equação de Bernoulli: q = k P, (31) Para a tubulação de saída: q o = k o P Patm (32) Para a tubulação de entrada: q i = k i Pb P; (33) 33 / 54

53 Modelagem Baseada na Física do Processo Utilizando a equação de Bernoulli: q = k P, (31) Para a tubulação de saída: q o = k o P Patm (32) Para a tubulação de entrada: q i = k i Pb P; (33) 33 / 54

54 Modelagem Baseada na Física do Processo Utilizando a equação de Bernoulli: q = k P, (31) Para a tubulação de saída: q o = k o P Patm (32) Para a tubulação de entrada: q i = k i Pb P; (33) 33 / 54

55 Modelagem Baseada na Física do Processo Utilizando γ (peso específico da água), pode-se escrever: P = γh + P atm (34) dh dt = k i Pb γh P atm k o γh A Pela geometria do tanque, aproxima-se: A = 2,5m 2 ; P atm = kgf /m 2 ; γ = 1000kgf /m 3. k i =? k o =? (35) 34 / 54

56 Modelagem Baseada na Física do Processo Figura 7: Relação entre sinal de comando do inversor e pressão na saída da bomba. Dados (x) e reta aproximada ( ) P b = 3554, ,8u(t) (36) 35 / 54

57 Modelagem Baseada na Física do Processo A saída de água se encontra a 0,114m do fundo. Determinação de constante K que, adicionada ao modelo, resultará em dh/dt=0, quando h=0. Substituindo h=0 na equação 35: dh = k i P b Patm + K = 0 (37) dt A K = k i P b P atm (38) A P b = ,4kgf /m2 pressão medida na saída para h = 0 (nova referência); 36 / 54

58 Obtençaõ de k i Figura 8: Dados medidos ( ) e reta ajustada por regressão linear ( ). O eixo das abcissas é (P b γh P atm) 1/2, sendo a inclinação da reta uma estimativa de k i. 37 / 54

59 Obtenção de k i Para o duto de entrada: Então: q i = 1, , P b γh P atm (39) dq i k i = d P b γh P atm = 5, m 4 /s(kgf ) 1/2 (40) 38 / 54

60 Obtençaõ de k o Figura 9: Dados medidos ( ) e curva ajustada por regressão linear ( ). O eixo das abcissas é (γh) 1/2, sendo a inclinação da reta tangente à curva uma estimativa de k o. 39 / 54

61 Obtenção de k o Para o duto de saída: Então: q o = 1, , γh + 6, γh, (41) k 0 = dq i d γh = 3, , γh m 4 /s(kgf ) 1/2 (42) 40 / 54

62 O modelo pela física do processo Tem-se então um modelo do processo: dh dt = 5, , ,8u(t) 1000h A (3, , h) 1000h A 0,014 (43) 41 / 54

63 Validação do Modelo Figura 10: Resposta do nível a uma variação em degrau em u(t). Dados medidos (- -) e modelo ( ). Os picos são devidos ao ruído no processo de medição. 42 / 54

64 Sintonia do Modelo O modelo obtido precisa ser sintonizado para melhor representar o processo. Ajuste da constante de tempo ḣ = 0,4ḣ. Ajuste do ganho aumentar a amplitude do degrau de entrada de 16,34mA a 17,05mA, visto pelo modelo, para 16,34mA a 1,012 17,05mA 43 / 54

65 Sintonia do Modelo O modelo obtido precisa ser sintonizado para melhor representar o processo. Ajuste da constante de tempo ḣ = 0,4ḣ. Ajuste do ganho aumentar a amplitude do degrau de entrada de 16,34mA a 17,05mA, visto pelo modelo, para 16,34mA a 1,012 17,05mA 43 / 54

66 Sintonia do Modelo O modelo obtido precisa ser sintonizado para melhor representar o processo. Ajuste da constante de tempo ḣ = 0,4ḣ. Ajuste do ganho aumentar a amplitude do degrau de entrada de 16,34mA a 17,05mA, visto pelo modelo, para 16,34mA a 1,012 17,05mA 43 / 54

67 Validação do Modelo Sintonizado Figura 11: Resposta do nível a uma variação em degrau na entrada. Dados medidos (- -) e modelo sintonizado ( ). 44 / 54

68 Quão Gerais São Estes Ajustes? Figura 12: Resposta do nível a uma variação em degrau na entrada, diferente da utilizada para sintonizar o modelo. Dados medidos (- -) e modelo sintonizado ( ). 45 / 54

69 Identificação de Sistemas Procedimento alternativo que propõe a obtenção de um modelo matemático que relacione causa e efeito presente nos dados. Espera-se, observando dados experimentais, responder à pergunta: Que modelo há que, ao ser excitado pela entrada u(k), resulta na saída y(k)? 46 / 54

70 Identificação de Sistemas - etapas Testes dinâmicos e coleta de dados; Escolha da representação matemática a ser utilizada; Determinação da estrutura do modelo; Estimação de parâmetros; Validação do modelo. 47 / 54

71 Identificação de Sistemas - etapas Testes dinâmicos e coleta de dados; Escolha da representação matemática a ser utilizada; Determinação da estrutura do modelo; Estimação de parâmetros; Validação do modelo. 47 / 54

72 Identificação de Sistemas - etapas Testes dinâmicos e coleta de dados; Escolha da representação matemática a ser utilizada; Determinação da estrutura do modelo; Estimação de parâmetros; Validação do modelo. 47 / 54

73 Identificação de Sistemas - etapas Testes dinâmicos e coleta de dados; Escolha da representação matemática a ser utilizada; Determinação da estrutura do modelo; Estimação de parâmetros; Validação do modelo. 47 / 54

74 Identificação de Sistemas - etapas Testes dinâmicos e coleta de dados; Escolha da representação matemática a ser utilizada; Determinação da estrutura do modelo; Estimação de parâmetros; Validação do modelo. 47 / 54

75 Simulação de Modelos Avaliação do desempenho de modelos simulação. Simulação de modelos contínuos solução de equações diferenciais do tipo ẋ = f (x,t); A aproximação explícita de Euler é dada por: ẋ(t k ) = x(k + 1) x(k) T (44) A aproximação implícita de Euler é dada por: x(k) x(k 1) ẋ(t k ) = T sendo T o intervalo de integração. (45) 48 / 54

76 Simulação de Modelos As aproximações de Euler resultam em: Explícita: Implícita: x(k) = x(k 1) + Tf (x(k 1),t k 1 ), (46) x(k) = x(k 1) + Tf (x(k),t k ), (47) 49 / 54

77 Simulação de Modelos - Exemplo Para ẋ = 6x + 5e t, com T = 0,3, a aproximação explícita de Euler resulta em: x(k) = x(k 1) + 0,3( 6x(k 1) + 5e t k 1 ). (48) Escolhe-se uma condição inicial x(0); Itera-se a equação para k = 1,2, / 54

78 Validação de Modelos - Runge-Kutta Um dos algoritmos de simulação mais utilizados para simular modelos contínuos. A = f (x(k 1),t k 1 ) ( B = f x(k 1) + T 2 A,t k 1 + T ) 2 ( C = f x(k 1) + T 2 B,t k 1 + T ) 2 D = f (x(k 1) + TC,t k 1 + T ) x(k) = x(k 1) + T (A + 2B + 2C + D). (49) 6 51 / 54

79 Simulação de Modelos Discretos Não requer nenhum algoritmo especial. Simulação de um modelo ARX de um conversor CC-CC buck: O modelo y(k) = 1,7649y(k 1) 0,8027y(k 2) + 0,8661u(k 3) pode ser simulado: 0,73578u(k 1) + 0,07513u(k 2) + ξ(k) (50) 52 / 54

80 Simulação de Modelos Discretos Não requer nenhum algoritmo especial. Simulação de um modelo ARX de um conversor CC-CC buck: O modelo y(k) = 1,7649y(k 1) 0,8027y(k 2) + 0,8661u(k 3) pode ser simulado: 0,73578u(k 1) + 0,07513u(k 2) + ξ(k) (50) 52 / 54

81 Simulação de Modelos Discretos Não requer nenhum algoritmo especial. Simulação de um modelo ARX de um conversor CC-CC buck: O modelo y(k) = 1,7649y(k 1) 0,8027y(k 2) + 0,8661u(k 3) pode ser simulado: 0,73578u(k 1) + 0,07513u(k 2) + ξ(k) (50) 52 / 54

82 Simulação de Modelos Discretos Admitindo condições iniciais y(1) = y(2) = 14V ; Entrada u(0) = u(1) = 2,3V, u(2) = u(3) = 2,4V y(3) = 1,7649(14) 0,8027(14) + 0,8661(2,3) 0,73578(2,4) + 0,7513(2,3) = 13,8698; (51) y(4) = 1,7649(13,8698) 0,8027(14) + 0,8661(2,3) 0,73578(2,4) + 0,7513(2,4) = 13,6474; (52) y(5) = 1,7649(13,6474) 0,8027(13,8698) + 0,8661(2,4) 0,73578(2,3) + 0,7513(2,4) = 13,5197; (53). =. (54) 53 / 54

83 Simulação de Modelos Discretos Admitindo condições iniciais y(1) = y(2) = 14V ; Entrada u(0) = u(1) = 2,3V, u(2) = u(3) = 2,4V y(3) = 1,7649(14) 0,8027(14) + 0,8661(2,3) 0,73578(2,4) + 0,7513(2,3) = 13,8698; (51) y(4) = 1,7649(13,8698) 0,8027(14) + 0,8661(2,3) 0,73578(2,4) + 0,7513(2,4) = 13,6474; (52) y(5) = 1,7649(13,6474) 0,8027(13,8698) + 0,8661(2,4) 0,73578(2,3) + 0,7513(2,4) = 13,5197; (53). =. (54) 53 / 54

84 Simulação de Modelos Discretos Admitindo condições iniciais y(1) = y(2) = 14V ; Entrada u(0) = u(1) = 2,3V, u(2) = u(3) = 2,4V y(3) = 1,7649(14) 0,8027(14) + 0,8661(2,3) 0,73578(2,4) + 0,7513(2,3) = 13,8698; (51) y(4) = 1,7649(13,8698) 0,8027(14) + 0,8661(2,3) 0,73578(2,4) + 0,7513(2,4) = 13,6474; (52) y(5) = 1,7649(13,6474) 0,8027(13,8698) + 0,8661(2,4) 0,73578(2,3) + 0,7513(2,4) = 13,5197; (53). =. (54) 53 / 54

85 Agradecimentos MUITO OBRIGADO! Prof. Samir Martins DEPEL/UFSJ 54 / 54