Eulerian-Lagrangian Simulation of a Turbulent Evaporating Spray

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1 Eulerian-Lagrangian Simulation of a Turbulent Evaporating Spray Rodrigo B. Piccinini rbpiccinini@gmail.com Apresentação de Tese de Mestrado Instituto Tecnológico de Aeronáutica Programa de Engenharia Aeronáutica e Mecânica Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia Novembro, 2011.

2 Conteúdo Introdução Equações A Fase Contínua A Fase Dispersa Cálculo Numérico Resultados O Jato Turbulento Velocidade das Fases Vazão Mássica das Gotas e do Vapor Conclusões 2 / 81

3 Definição: Motivação: Aplicações em geração de energia e propulsão; Escoamento multifásico e turbulento com transferências de momento, calor e massa entre as fases. Tratamento das fases: Método Euleriano-Langragiano. 3 / 81

4 Objetivos Implementar um modelo de escoamento de baixo Mach. Aplicar modelos de troca de massa, momento e energia entre as fases e um modelo de viscosidade turbulenta para descrever o jato do spray. Comparar quantidades calculadas como velocidade e diâmetro das gotas, velocidade do gás e propriedades da turbulência com experimentos relatados na literatura. 4 / 81

5 Introdução Equações A Fase Contínua A Fase Dispersa Cálculo Numérico Resultados O Jato Turbulento Velocidade das Fases Vazão Mássica das Gotas e do Vapor Conclusões 5 / 81

6 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais 6 / 81

7 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais + termos fontes do spray; Two-way coupling ou acoplamento em duas vias 7 / 81

8 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais + termos fontes do spray; 2. Aproximação para baixo Mach; 8 / 81

9 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais + termos fontes do spray; 2. Aproximação para baixo Mach; Séries de potências em ξ = γ M: p = p 0 + p 1ξ + p 2ξ 2 + O ( ξ 3) Y k = Y k,0 + O (ξ) U = U 0 + O (ξ) T = T 0 + O (ξ) 9 / 81

10 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais + termos fontes do spray; 2. Aproximação para baixo Mach; 3. Escoamento médio (Reynolds e Favre); 10 / 81

11 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais + termos fontes do spray; 2. Aproximação para baixo Mach; 3. Escoamento médio (Reynolds e Favre); 11 / 81

12 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais + termos fontes do spray; 2. Aproximação para baixo Mach; 3. Escoamento médio (Reynolds e Favre); 4. Modelo de turbulência; 12 / 81

13 A Fase Contínua Obtendo as equações da fase contínua: 1. Equações (na forma compressível) para uma mistura de gases ideais + termos fontes do spray; 2. Aproximação para baixo Mach; 3. Escoamento médio (Reynolds e Favre); 4. Modelo de turbulência; Modelo de viscosidade turbulenta (k-epsilon): 2 EDPs para k e ɛ 1 Equação Algébrica para µ t Acoplamento com o spray em uma via (one-way coupling) 13 / 81

14 A Fase Contínua Equação da Continuidade: ρ ( ) t + ρũ = S m 14 / 81

15 A Fase Contínua Equação das Espécies Químicas: Acetona e Ar. 15 / 81

16 A Fase Contínua Equação das Espécies Químicas: Acetona e Ar. Acetona - espécie escassa: ρỹac t ( ) [ ] + ρũỹac = ρ (ν + ν T ) Ỹac + S Y ac 16 / 81

17 A Fase Contínua Equação das Espécies Químicas: Acetona e Ar. Acetona - espécie escassa: ρỹac t ( ) [ ] + ρũỹac = ρ (ν + ν T ) Ỹac + S Y ac Lei de Fick para difusão, V acy ac = D Y ac. Número de Schmidt unitário, Sc = ν/d = / 81

18 A Fase Contínua Equação das Espécies Químicas: Acetona e Ar. Acetona - espécie escassa: ρỹac t ( ) [ ] + ρũỹac = ρ (ν + ν T ) Ỹac + S Y ac Ar - espécie diluente: Ỹ air = 1 Ỹac Lei de Fick para difusão, V acy ac = D Y ac. Número de Schmidt unitário, Sc = ν/d = / 81

19 A Fase Contínua Equação do Momento Em quantidades não dimensionais. 19 / 81

20 A Fase Contínua Equação do Momento Em quantidades não dimensionais. Formulação Compressível: ρu t + (ρuu) = 1 ΓM 2 p + 1 Re τ + ρ F r 2 g g + Smom 20 / 81

21 A Fase Contínua Equação do Momento Em quantidades não dimensionais. Formulação Compressível: ρu t + (ρuu) = 1 ΓM 2 p + 1 Re τ + Formulação de baixo Mach: ρ 0U 0 t ρ F r 2 g g + Smom + (ρ 0U 0U 0) = p ρ0 g τ0 + Re F r 2 g + Smom p 0 0 = p 0 = p 0(t) 21 / 81

22 A Fase Contínua Equação do Momento Em quantidades não dimensionais. p = p 0 + p 1ξ + p 2ξ 2 + O ( ξ 3) Formulação Compressível: ρu t + (ρuu) = 1 ΓM 2 p + 1 Re τ + Formulação de baixo Mach: ρ 0U 0 t ρ F r 2 g g + Smom + (ρ 0U 0U 0) = p ρ0 g τ0 + Re F r 2 g + Smom p 0 0 = p 0 = p 0(t) 22 / 81

23 A Fase Contínua Decomposição da pressão: 23 / 81

24 A Fase Contínua Decomposição da pressão: p 0 (t) é utilizada na equação de estado: p 0 W = ρr T 24 / 81

25 A Fase Contínua Decomposição da pressão: p 0 (t) é utilizada na equação de estado: p 0 W = ρr T p 2 (x, t) é utilizada na equação do momento: ρũ t ( ) + ρũũ = p 2 + τ + ρg + S mom Em quantidades dimensionais e para o escoamento médio. 25 / 81

26 A Fase Contínua Decomposição da pressão: p 0 (t) é utilizada na equação de estado: p 0 W = ρr T p 2 (x, t) é utilizada na equação do momento: ρũ t ( ) + ρũũ = p 2 + τ + ρg + S mom Em quantidades dimensionais e para o escoamento médio. τ é o tensor de tensões de cisalhamento com µ eff = µ + µ T. 26 / 81

27 A Fase Contínua Equação da Entalpia: Em quantidades não dimensionais. 27 / 81

28 A Fase Contínua Equação da Entalpia: Em quantidades não dimensionais. Formulação Compressível: ρh s t + (ρuh s ) = Γ 1 Dp Γ Dt + J s ( τ : U + M 2 (Γ 1) Re ) + S hs 28 / 81

29 A Fase Contínua Equação da Entalpia: Em quantidades não dimensionais. Formulação Compressível: ρh s t + (ρuh s ) = Γ 1 Dp Γ Dt + J s ( τ : U + M 2 (Γ 1) Re ) + S hs Formulação de baixo Mach: ρ 0 h s0 t + (ρ 0 U 0 h s0 ) = Γ 1 Dp 0 Γ Dt + J s0 + S hs 29 / 81

30 A Fase Contínua Equação da Entalpia: Em quantidades dimensionais e para o escoamento médio. ρ h s t ) + ( ρũ h s = J s + S hs J s = ρ (α + ν T ) h s 30 / 81

31 A Fase Contínua Equação da Entalpia: Em quantidades dimensionais e para o escoamento médio. ρ h s t ) + ( ρũ h s = J s + S hs J s = ρ (α + ν T ) h s Simplificações: Dp 0 /Dt 0; h s,ac h s,ar ; P r T = / 81

32 A Fase Dispersa A Fase Dispersa 32 / 81

33 A Fase Dispersa A Fase Dispersa As gotas são partículas de diâmetro D; 33 / 81

34 A Fase Dispersa A Fase Dispersa As gotas são partículas de diâmetro D; Equações em referencial Lagrangiano (3 EDOs para cada gota); 34 / 81

35 A Fase Dispersa A Fase Dispersa As gotas são partículas de diâmetro D; Equações em referencial Lagrangiano (3 EDOs para cada gota); Termodinâmica: m d, p 0, T d ; 35 / 81

36 A Fase Dispersa A Fase Dispersa As gotas são partículas de diâmetro D; Equações em referencial Lagrangiano (3 EDOs para cada gota); Termodinâmica: m d, p 0, T d ; Cinemática: posição (x d ), velocidade translacional (U d ). 36 / 81

37 A Fase Dispersa A Fase Dispersa Equação do Momento: m d du d dt = ρ πd2 8 C D U slip U slip + m d g 37 / 81

38 A Fase Dispersa A Fase Dispersa Equação do Momento: m d du d dt = ρ πd2 8 C D U slip U slip + m d g Dispersão das Gotas: U slip = U d (Ũ + U ) }{{} gás 38 / 81

39 A Fase Dispersa A Fase Dispersa Equação do Momento: m d du d dt = ρ πd2 8 C D U slip U slip + m d g Dispersão das Gotas: U slip = U d (Ũ + U ) }{{} gás U é uma variável aleatória dada por N (0, 2/3k 2 ). 39 / 81

40 A Fase Dispersa Equação da Energia: m d dh d dt = dm d dt L v (T d ) + Q d 40 / 81

41 A Fase Dispersa Equação da Energia: m d dh d dt = dm d dt L v (T d ) + Q d Transferência de Calor: Equação da energia para o vapor na vizinhança da gota: ( ) z Q d = πdκnu T Td e z 1 41 / 81

42 A Fase Dispersa Equação da Energia: m d dh d dt = dm d dt L v (T d ) + Q d Transferência de Calor: Equação da energia para o vapor na vizinhança da gota: ( ) z Q d = πdκnu T Td e z 1 Correlação de Ranz & Marshall: Nu = Re 1/2 P r 1/3. 42 / 81

43 A Fase Dispersa Transferência de Massa 43 / 81

44 A Fase Dispersa Transferência de Massa Líquido e vapor em equiĺıbrio na superfície da gota. Y ac,s = p v (T d ) W ac p 0 W 44 / 81

45 A Fase Dispersa Transferência de Massa Líquido e vapor em equiĺıbrio na superfície da gota. Y ac,s = p v (T d ) W ac p 0 W Equações da continuidade e das espécies para o vapor na vizinhança da gota: ( ) dm d 1 Yac, = 2πDD ac ρ ac ln Sh dt 1 Y ac,s 45 / 81

46 A Fase Dispersa Transferência de Massa Líquido e vapor em equiĺıbrio na superfície da gota. Y ac,s = p v (T d ) W ac p 0 W Equações da continuidade e das espécies para o vapor na vizinhança da gota: ( ) dm d 1 Yac, = 2πDD ac ρ ac ln Sh dt 1 Y ac,s Correlação de Ranz & Marshall: Sh = Re 1/2 Sc 1/3. 46 / 81

47 Introdução Equações A Fase Contínua A Fase Dispersa Cálculo Numérico Resultados O Jato Turbulento Velocidade das Fases Vazão Mássica das Gotas e do Vapor Conclusões 47 / 81

48 Cálculo Numérico 48 / 81

49 Cálculo Numérico Método de Volumes Finitos Discretização da geometria; Discretização das equações; Algoritmo de solução do sistema de equações; 49 / 81

50 Cálculo Numérico Método de Volumes Finitos Discretização da geometria; Discretização das equações; Algoritmo de solução do sistema de equações; / 81

51 Discretização do Espaço Malha ortogonal 2D (axissimétrica); Malha fina: células (74 200); Malha grossa: células (42 130); 51 / 81

52 Discretização das Equações ρφ t }{{} derivada temporal + (ρuφ) }{{} advecção (ργ φ φ) }{{} difusão = S (φ) }{{} fontes 52 / 81

53 Discretização das Equações ρφ t }{{} derivada temporal + (ρuφ) }{{} advecção (ργ φ φ) }{{} difusão = S (φ) }{{} fontes Tempo: Euler impĺıcito; 53 / 81

54 Discretização das Equações ρφ t }{{} derivada temporal + (ρuφ) }{{} advecção (ργ φ φ) }{{} difusão = S (φ) }{{} fontes Tempo: Euler impĺıcito; Advecção: teorema de Gauss + interpolação upwind; 54 / 81

55 Discretização das Equações ρφ t }{{} derivada temporal + (ρuφ) }{{} advecção (ργ φ φ) }{{} difusão = S (φ) }{{} fontes Tempo: Euler impĺıcito; Advecção: teorema de Gauss + interpolação upwind; Difusão: teorema de Gauss + interpolação linear + diferença centrada; 55 / 81

56 Discretização das Equações ρφ t }{{} derivada temporal + (ρuφ) }{{} advecção (ργ φ φ) }{{} difusão = S (φ) }{{} fontes Tempo: Euler impĺıcito; Advecção: teorema de Gauss + interpolação upwind; Difusão: teorema de Gauss + interpolação linear + diferença centrada; Fontes: tratamento expĺıcito. 56 / 81

57 O Algoritmo de Solução 57 / 81

58 O Algoritmo de Solução Sistemas lineares segregados; 58 / 81

59 O Algoritmo de Solução Sistemas lineares segregados; Acoplamento das variáveis: algoritmo PISO; 59 / 81

60 Introdução Equações A Fase Contínua A Fase Dispersa Cálculo Numérico Resultados O Jato Turbulento Velocidade das Fases Vazão Mássica das Gotas e do Vapor Conclusões 60 / 81

61 O Jato Turbulento Figura: Perfis auto-similares de velocidade adimensional (Û). 61 / 81

62 O Jato Turbulento Figura: Perfis auto-similares de energia cinética turbulenta adimensional (ˆk). 62 / 81

63 O Jato Turbulento Figura: Perfis auto-similares da viscosidade turbulenta adimensional (ˆν T ). Superestimação: ˆν T = > }{{} (POPE,2000). 63 / 81

64 O Jato Turbulento Figura: Comparação do perfis numérico e experimental (Chen et al., 2006) de Û. 64 / 81

65 O Jato Turbulento Figura: Raio médio numérico e experimental (Chen et al., 2006). (dy 1/2 /dx) num 20% maior do que (dy 1/2 /dx) exp. 65 / 81

66 Velocidade Axial Média da Fase Gasosa (Ũx) Figura: Velocidade da fase gasosa. Numérico e experimental (Chen et al., 2006).

67 Flutuação da Velocidade da Fase Gasosa (< U >) Figura: Numérico < U > e experimental < U x > e < U y > (Chen et al., 2006).

68 Velocidade das Gotas Figura: Velocidade das gotas da classe (D [10, 20]µm). Numérico e experimental (Chen et al., 2006).

69 Vazão Mássica das Gotas e do Vapor Vazão Mássica de Líquido Figura: Vazão de massa na fase ĺıquida. Numérico e experimental (Chen et al., 2006). 69 / 81

70 Fluxo Mássico de Vapor Figura: Fluxo mássico de vapor: ṁ al., 2006). ac = ρȳacũx. Numérico e experimental (Chen et

71 Diâmetro de Sauter Figura: Diâmetro de Sauter (SMD). Numérico e experimental (Chen et al., 2006).

72 Temperatura da Fase Gasosa

73 Densidade da Fase Gasosa

74 Energia Cinética Turbulenta

75 Viscosidade Turbulenta

76 Velocidade das Gotas

77 Temperatura das Gotas

78 Resumo Introdução Equações A Fase Contínua A Fase Dispersa Cálculo Numérico Resultados O Jato Turbulento Velocidade das Fases Vazão Mássica das Gotas e do Vapor Conclusões 78 / 81

79 Introdução Equações A Fase Contínua A Fase Dispersa Cálculo Numérico Resultados O Jato Turbulento Velocidade das Fases Vazão Mássica das Gotas e do Vapor Conclusões 79 / 81

80 Formulação M 0 = métodos numéricos para escoamento incompressível; O método Euleriano-Lagrangiano é uma boa descrição computacional para a fase dispersa. Numérico Experimental: Ũ, U d e ṁ d subestimados; k-epsilon = µ T superestimado. Trabalhos Futuros: ḣ d, ṁ d = turbulência; Sc, P r 1; Tratar termos fontes de forma mais impĺıcita. 80 / 81

81 Obrigado pela atenção. 81 / 81