Transferência de Calor

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1 Transferência de Calor Condução em Paredes Planas e Cilíndricas Prof. Universidade Federal do Pampa BA Campus Bagé 15 de maio de 2017 Transferência de Calor: Condução 1 / 28

2 Condução: Lei de Fourier A condução é o transporte de energia em um meio devido a um T e o mecanismo físico é a atividade atômica/molecular aleatória; A equação da taxa de condução é a lei de Fourier; Esta lei é fenomenológica, isto é, é desenvolvida a partir de fenômenos observados ao invés de princípios fundamentais; Da observação chegou-se a: q x A T x (1) Transferência de Calor: Condução 2 / 28

3 Condução: Lei de Fourier Figura 1: Experimento de condução térmica em regime permanente. Transferência de Calor: Condução 3 / 28

4 Condução: Lei de Fourier A lei de Fourier, para uma direção x, é dada por: q x = q x A = k dt dx O fluxo térmico, q x, é uma grandeza vetorial que é normal à área da seção transversal A; Sua direção será sempre normal a uma superfície isotérmica; Uma forma geral da equação da taxa da condução (lei de Fourier) é: ( q = k T = k i T x + j T y + k T ) (3) z (2) Transferência de Calor: Condução 4 / 28

5 Condução: Lei de Fourier Figura 2: Faixas de condutividades térmicas de vários estados da matéria a temperaturas e pressões normais. Transferência de Calor: Condução 5 / 28

6 Condução: Lei de Fourier (a) Figura 3: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) sólidos e (b) líquidos não metálicos saturados. (b) Transferência de Calor: Condução 6 / 28

7 Condução: Lei de Fourier (a) Figura 4: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) líquidos não-metálicos saturados e (b) gases a pressões normais. (b) Transferência de Calor: Condução 7 / 28

8 Condução: Lei de Fourier Propriedades Termofísicas São de 2 categorias: Propriedades de transporte: viscosidade cinemática, µ, (transporte de momento) e condutividade térmica, k, (transporte de calor); e Propriedades termodinâmicas: massa específica, ρ, e calor específico, c p. Outras propriedades relevantes: Capacidade térmica volumétrica, ρc p (J/(m 3.K)), mede a capacidade de um material armazenar energia térmica; Difusividade térmica, α (m 2 /s): α = k ρc p (4) que mede a capacidade de um material de conduzir energia térmica em relação à sua capacidade de armazená-la. Transferência de Calor: Condução 8 / 28

9 Condução: Equação do Calor Ao se aplicar a lei de conservação de energia em um volume de controle diferencial chega-se a equação da difusão térmica ou equação do calor; A equação do calor permite determinar a distribuição de temperaturas em um meio a das condições impostas em suas fronteiras; Sua forma geral, em coordenadas cartesianas, é: ( k T ) + ( k T ) + ( k T ) T + q = ρc p x x y y z z t (5) onde q é a taxa de geração de energia por volume (W/m 3 ). Transferência de Calor: Condução 9 / 28

10 Condução: Equação do Calor Figura 5: Volume de controle diferencial, dx dy dz, para a análise da condução em coordenadas cartesianas (x, y, z). Transferência de Calor: Condução 10 / 28

11 Condução: Equação do Calor Sua forma geral, em coordenadas cilíndricas, é: ( 1 kr T ) + 1 ( r r r r 2 k T ) + ( k T ) T + q = ρc p φ φ z z t (6) Figura 6: Volume de controle diferencial, dr rdφ dz, para a análise da condução em coordenadas cilíndricas (r, φ, z). Transferência de Calor: Condução 11 / 28

12 Condução: Equação do Calor Simplificações: Coordenadas Cartesianas Condutividade térmica, k, constante: 2 T x + 2 T 2 y + 2 T 2 z + q 2 k = 1 T α t (7) Regime permanente: ( k T ) + x x y ( k T y ) + ( k T ) + q = 0 (8) z z Regime permanente, unidimensional e sem geração de energia: ) d dx ( k dt dx = 0 (9) Transferência de Calor: Condução 12 / 28

13 Condução: Equação do Calor Condições de Contorno e Inicial Determinar a distribuição de temperaturas em um meio depende de resolver a equação do calor a partir de condições existentes nas fronteiras e em um algum instante inicial; A equação do calor é de 2 a ordem em relação ao espaço e de 1 a ordem em relação ao tempo; Assim, necessita de 2 condições de contorno (C.C.) e 1 condição inicial (C.I.); Transferência de Calor: Condução 13 / 28

14 Condução: Equação do Calor Tabela 1: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0). Transferência de Calor: Condução 14 / 28

15 Condução: Equação do Calor Tabela 2: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0) (continuação). Transferência de Calor: Condução 15 / 28

16 Condução: Resistências Térmicas Para o caso particular da transferência de calor unidimensional sem geração interna de energia e propriedades constantes é aplicável o conceito de resistência térmica, R t : Resistência térmica para a condução: R t,cond Resistência térmica para a convecção: R t,conv Resistência térmica para a radiação: R t,rad Transferência de Calor: Condução 16 / 28

17 Condução: Resistências Térmicas Assim, a equação da taxa de calor pode ser escrita como: q = T R tot (10) onde R tot é a resistência térmica total. A resistência térmica total é calculada para: Resistências térmicas em série: R tot = R t Resistências térmicas em paralelo: R tot = 1 (1/Rt ) (11) (12) Transferência de Calor: Condução 17 / 28

18 Condução: Paredes Planas Distribuição de Temperaturas Para condução unidimensional em regime permanente em uma parede plana sem geração de calor: ) d dx ( k dt dx = 0 (13) Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é: T(x) = C 1 x + C 2 (14) Para C.C.: T(0) = T s,1 e T(L) = T s,2, tem-se finalmente: T(x) = T s,2 T s,1 x + T s,1 (15) L Disto tem-se que T varia linearmente com x. Transferência de Calor: Condução 18 / 28

19 Condução: Paredes Planas Para paredes planas, as resistências térmicas, R t, são definidas como: Resistência térmica para a condução: R t,cond = L ka Resistência térmica para a convecção: R t,conv = 1 ha Resistência térmica para a radiação: R t,rad = 1 h r A (16) (17) (18) Transferência de Calor: Condução 19 / 28

20 Condução: Paredes Planas Figura 7: Transferência de calor através de uma parede plana. (a) Distribuição de temperaturas. (b) Circuito térmico equivalente. Transferência de Calor: Condução 20 / 28

21 Condução: Paredes Planas Figura 8: Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série. Transferência de Calor: Condução 21 / 28

22 Condução: Paredes Planas Figura 9: Parede composta em série-paralelo. Transferência de Calor: Condução 22 / 28

23 Condução: Paredes Planas Figura 10: Circuitos térmicos equivalentes para a parede composta em série-paralelo da figura anterior. Transferência de Calor: Condução 23 / 28

24 Condução: Paredes Cilíndricas Distribuição de Temperaturas Para condução unidimensional em regime permanente em uma parede cilíndrica sem geração de calor: ) 1 r d dr ( kr dt dr = 0 (19) Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é: T(r) = C 1 ln r + C 2 (20) Para C.C.: T(r 1 ) = T s,1 e T(r 2 ) = T s,2, tem-se finalmente: T(r) = T ( ) s,1 T s,2 r ln (r 1 /r 2 ) ln + T s,2 (21) r 2 Disto tem-se que T varia logaritmicamente com r. Transferência de Calor: Condução 24 / 28

25 Condução: Paredes Cilíndricas Para paredes cilíndricas, as resistências térmicas, R t, são definidas como: Resistência térmica para a condução: R t,cond = ln(r 2/r 1 ) 2πLk Resistência térmica para a convecção: R t,conv = 1 2πrLh Resistência térmica para a radiação: (22) (23) R t,rad = 1 2πrLh r (24) Transferência de Calor: Condução 25 / 28

26 Condução: Paredes Cilíndricas Figura 11: Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies e circuito térmico equivalente. Transferência de Calor: Condução 26 / 28

27 Condução: Paredes Cilíndricas Figura 12: Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta e circuito térmico equivalente. Transferência de Calor: Condução 27 / 28

28 Condução: Resumo dos Resultados Tabela 3: Soluções unidimensionais, em regime permanente, da equação do calor sem geração. Equação do calor Parede Plana Parede Cilíndrica d 2 ( T dx = d r dt ) = 0 r dr dr Distribuição de temperaturas Fluxo térmico (q ) Taxa de calor (q) Resistência térmica (R t,cond ) T s,1 T x L k T L ka T L L ka T s,2 + T ln(r/r 2) ln(r 1 /r 2 ) k T r ln(r 2 /r 1 ) 2πLk T ln(r 2 /r 1 ) ln(r 2 /r 1 ) 2πLk Transferência de Calor: Condução 28 / 28