Condução multidirecional: a equação de difusão de calor

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1 Condução multidirecional: a equação de difusão de calor Problema motivador 01: Para a alteração de propriedades de ligas metálicas, metais nobres podem ser adicionados na forma de pellets (pequenas esferas) à massa fundida da liga metálica imersa em um grande recipiente. Ocorre então um aquecimento da esfera até que esta se funda e se difunda na liga. Um problema que pode ocorrer neste processo é a solidificação da liga em torno do pellet, quando não ocorrerá a difusão dos constituintes da esfera na massa fundida levando a um produto fora de especificação. Assim, é necessário estudar-se o processo de transferência de calor da esfera com a massa fundida. Efetue a seguir um esquema do problema de transferência de calor a ser estudado: Problema motivador 0: Durante o processamento de materiais é importante efetuar-se um levantamento da distribuição de temperaturas ao longo do material, o mesmo ocorre com o estudo da resistência de materiais que durante a operação serão submetidos a variações acentuadas de temperatura. Por eemplo, considere o seguinte problema, para o qual um esquema deverá ser realizado. Tem-se uma chaminé, no interior da qual escoa uma corrente gasosa advinda de uma fornalha e que está eposta ao ar ambiente. (Fornalhas operam com temperaturas elevadas, por eemplo, temperaturas da ordem de 400 o C não são incomuns). Deseja-se obter a distribuição de temperaturas na parede da chaminé e a taa de calor trocada dissipada através da parede. UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 163

2 DEDUÇÃO DO BE-MICROSCÓPICO NA ABORDAGEM ANALÍTICA PARA PROBLEMAS ENVOLVENDO TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO MULTIDIRECIONAL sistema de coordenadas cartesianas: Observação: iremos aplicar a metodologia descrita à página 131 deste portfolio: figura o volume de controle diferencial no interior de um corpo sólido (Incropera & De Witt, p. 9) Do BE-macroscópico temos que (ausência de correntes materiais entrando e saindo para/do VC): du = q + q + q ( q + + q + + q + ) + E! dt y z d y dy z dz g sendo que: termo de acúmulo: cpρ y z t termo de geração de calor: q! y z os fluos de entrada por condução: UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 164

3 q = k y z qy = k z y qz = k y z os fluos de saída de calor por condução (usando Taylor) : q = + qy qy+ dy= qy+ y y qz qz+ dz= qz+ z z q+ d q Substituindo os temos na equação do BE temos: ρ q q q t y z y z cp y z = q q + qy qy y + qz qz z + q y z! logo, ρ q q q = +! t y z y z cp y z y z q y z e portanto: ρcp y z = k y z k z y k y z+ t y y z z + q! y z Dividindo todos os termos por y z e aplicando lim, y, z 0, temos finalmente: UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 165

4 ρcp = k + k + k + q! t y y z z (EQ-D1) equação da difusão de calor em coordenadas cartesianas Observação: a caracterização do termo difusivo corresponde aos termos diferenciais de a ordem! Simplificações possíveis: condutividade térmica constante ρ k t y z cp T T T T = q! 1 T T T T q = α t y z k! (EQ-D) regime permanente k + k + k + q! = 0 y y z z (EQ-D3) regime permanente; sem geração de calor; condutividade térmica constante, condução bidimensional T T y + = 0 a equação de Laplace (EQ-D4) regime permanente; sem geração de calor; condução unidimensional d dt k = 0 d d (EQ-D5) UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 166

5 sistema de coordenadas cilíndricas: figura o volume de controle diferencial (Incropera & De Witt, p. 31) 1 1 ρcp = kr + k k q + +! t r r r r φ φ z z UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 167

6 sistema de coordenadas esféricas: figura o volume de controle diferencial (Incropera & De Witt, p. 31) ρcp = kr k ksenθ q + + +! t r r r r sen θ φ φ r sen θ θ θ UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 168

7 Para o estabelecimento do modelo do processo: É necessário fornecer: uma condição inicial para os problemas dinâmicos, i.e., uma informação como e.g.: t=0 : T=T o uma condição de contorno para cada termo das diferenciais parciais As condições de contorno são classificadas como: 1. Condição de contorno de Dirichlet ou de 1 a espécie temperatura da superfície constante: T(0,) t = T; T( L,) t = T 1. Condição de contorno de Neumann ou de a espécie fluo térmico na superfície constante, sendo o caso de superfície adiabática ou isolada um caso particular k = q " (sendo, q"=0 para o caso de superfície isolada) = 0ou L 3. Condição de contorno de Robin ou de 3 a espécie condição de convecção na superfície k = h( T T(0 ou L, t) ) = 0 ou L Observação: na presença de radiação à condição 3, acrescenta-se o termo do fluo de transmissão de calor por radiação. Em problemas radiais simétricos, faz-se uso da condição de simetria = 0. r r = 0 leituras recomendadas: eemplos. e.3 do Incropera & De Witt UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 169

8 eemplo 01: Condução bidimensional em regime permanente em uma parede muito comprida de condutividade térmica constante na ausência de geração de calor que tem uma de suas faces mantidas a T e as demais a T 1, conforme a figura a seguir: Escrevendo as condições de contorno: Modelagem: Passo 1: Passo : Passo 3: Passo 4: escolher o sistema de coordenadas conveniente e escrever a equação de difusão genérica simplificar a equação de difusão escrever as condições de contorno e inicial buscar por solução analítica ou aplicar um procedimento numérico de discretização Aplicando para o eemplo: ρcp = k + k + k + q! t y y z z Logo temos: UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 170

9 T T + = y 0 (equação de Laplace bidimensional) Note que para a resolução da equação de Laplace acima precisamos de quatro condições de contorno, a saber: = 0; y: T(0, y) = T = L; y: T(0, y) = T y = 0; : T(,0) = T y = w; : T(, w) = T Logo teremos o seguinte modelo: T T + = 0 y c.c : T(0, y) = T1 T(0, y) = T1 T(,0) = T1 T(, w) = T O modelo acima tem solução analítica conhecida. Para a determinação da solução analítica é conveniente efetuar a seguinte transformação de variáveis: T(, y) T T θ θ θ T 1 ( y, ) = = = T T1 T T1 T T1 Desta forma, o modelo passa a ser escrito como: θ θ + = y 0 c.c : θ (0, y) = 0 θ (0, y) = 0 θ (,0) = 0 θ ( w, ) = 1 A solução deste modelo é dada por: UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 171

10 jπ y j senh ( 1) + 1 jπ L θ ( y, ) = sen π j= 1 j L jπ w senh L Graficamente, a função acima (note que é uma somatória de infinitos termos) pode ser representada como na figura a seguir, etraída de Incropera & De Witt (p.9), a qual mostra curvas de nível correspondentes às isotermas. L w Qual a temperatura na posição = ; y =? Eercício: efetue a modelagem dos problemas motivadores 1 e à página 107 deste portfolio. Problema motivador 01: UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 17

11 Problema motivador 0: UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 173

12 PROCEDIMENTO NUMÉRICO DE RESOLUÇÃO USO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS em regime permanente 1. Discretize o problema, estabelecendo uma malha de discretização com seus pontos nodais.. Para o problema estudado, verificar se eiste simetria e se for o caso estabelecer a menor unidade simétrica (para tanto determine os planos de simetria). 3. Discrimine os pontos nodais distintos quanto aos mecanismos de transferência de calor e efetue um volume de controle em torno do ponto nodal. Para a delimitação do volume de controle caminhe na direção do sistema de coordenadas. A superfície de controle está situada na metade da distância entre dois pontos nodais consecutivos. A temperatura no volume de controle em torno do ponto nodal é constante. Há assim descontinuidade nas temperaturas ao longo da superfície sólida (inerente ao procedimento de discretização). 4. Para cada ponto nodal distinto efetue um balanço de energia, escrevendo as taas de condução na forma discretizada usando o método de diferenças finitas e eplicitando o termo de geração como uma taa volumétrica. Usa-se a fórmula de diferenças finitas para a frente. Simplifique a equação. 5. Monte os balanços de energia para todos os pontos nodais da malha discretizada. 6. Resolva o sistema de equações para o cálculo das temperaturas. (Observação: o passo de discretização deve ser suficientemente pequeno.) 7. Para o cálculo da taa de calor escolha uma superfície de controle adequada e calcule a taa de calor por esta superfície. 8. Para a verificação da adequação do passo de discretização, compare os resultados das taas de calor obtidas em duas superfícies de controle distintas e adequadas. Se houver discrepância significativa, o passo deve ser reduzido e o novo sistema de equações novamente resolvido. Observação: como já apresentado, ressaltamos que o método de diferenças finitas pode ser aplicado ao modelo analítico estabelecido a partir da equação do BE microscópico. Nesta situação, pode-se usar outras fórmulas de diferenças finitas, algumas das quais apresentam precisão maior que a UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 174

13 fórmula de diferenças para a frente. Eistem fórmulas de diferenças finitas para as derivadas de 1 a e a ordem, por eemplo: Cálculo da derivada primeira: Diferenças finitas para a frente: Diferenças finitas para a trás: Diferenças finitas centrais: dt T ( + ) T ( ) d dt T( ) T( ) d dt T ( + ) T ( ) (*) d Cálculo da segunda derivada: ( + ) ( ) + ( ) (*) dt T T T d = As fórmulas ressaltadas (*) apresentam precisão numérica maior. Além da discretização por diferenças finitas, pode-se efetuar uma discretização por colocação ortogonal e a malha de discretização pode ser feita em elementos finitos. O livro RICE, R.G, DO, D.D, DUONG, D.D, Applied Mathematics and modeling for chemical engineering. John Wiley & Sons, New York, 1994 é uma ótima referência para quem quer ir atrás de mais pormenores sobre a modelagem de processos que envolvem a aplicação das leis de conservação para VC-microscópicos. UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 175

14 Eemplificando o método: Caso 01: regime permanente, sem geração de calor e sem radiação, comprimento da superfície é b. para o ponto m,n: Assumindo a seguinte orientação para as taas (a escolha é arbitrária, i.e., qualquer escolha pode ser feita!): taas de condução entrando: T q = K b q 1 T = K yb T mn, m 1, n y T mn, mn, 1 UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 176

15 taas de condução saindo: q q 3 4 T = K b T = K yb T m+ 1, n m, n y T mn, + 1 mn, (sem geração de calor e em estado estacionário note que na condução a distância do BE em torno do nodo m,n percorrida é entre os pontos nodais conhecidos de temperatura) : q1+ q q3 q4 = 0 Assumindo = y: T + T + T + T + 4T = 0 m 1, n m+ 1, n mn, 1 mn, + 1 mn, para o ponto m-1,n-1: y h b T T T K b y T K b taas de convecção entrando: h b( T Tm 1, n 1 ) taas de condução saindo: ( m 1, n 1 ) T mn, 1 m 1, n 1 y T m 1, n m 1, n 1 (sem geração de calor e em estado estacionário note que na condução a do BE em torno do nodo m-1,n-1 distância percorrida é entre os pontos nodais conhecidos de temperatura) : y Tm, n 1 Tm 1, n 1 y Tm 1, n Tm 1, n 1 h b( T Tm n ) + h b( T Tm n ) + K b + K b = y 1, 1 1, 1 0 Assumindo = y e dividindo a equação do BE por K e por b: h h T + 1 Tm 1, n 1 + Tm, n 1 + Tm 1, n = 0 K K UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 177

16 cálculo da taa de calor nas arestas em que ocorre convecção: pelo cálculo da taa de convecção: ( ) ( ) ( ) T Tm 3, n 1 T T + m 1, n 1 q1 = h yb + ( T Tm+, n 1) + ( T Tm+ 1, n 1 ) + ( T Tm, n 1) + + ( ) T T T T h b + ( T Tm 1, n) + ( T Tm 1, n+ 1) + ( T Tm+ 1, n+ ) + m 1, n 1 m 1, n+ 3 pelo cálculo da taa de condução (assumindo = y e um ângulo de inclinação da parede isolada de 45o) : ( Tm 1, n Tm 1, n 1 ) ( Tm+, n Tm+, n 1) + ( Tm+ 1, n Tm+ 1, n 1 ) + ( Tm, n Tm, n 1) + + ( Tmn, 1 Tm 1, n 1) q = Kb + ( Tmn, Tm 1, n) + ( Tmn, + 1 Tm 1, n+ 1 ) + ( Tmn, + Tm 1, n+ ) + ( Tmn, + 3 Tm 1, n+ 3) Questão para refleão: Qual a temperatura do ponto nodal m+,n+3? Caso 0: regime permanente, com geração de calor volumétrica de calor q! e troca de calor por convecção e radiação com vizinhança, comprimento da superfície é b. UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 178

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