3ª Lista de Exercícios: TRANSFERÊNCIA DE CALOR (RESOLUCIONÁRIO)

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1 UNIVESIDADE FEDEA FUMINENSE Escola de Engenharia HidroUFF aboratório de Hidráulica Disciplina: FENÔMENOS DE ANSPOE E HIDÁUICA Professores: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente) Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil - EC) 3ª ista de Exercícios: ANSFEÊNCIA DE CAO (ESOUCIONÁIO) 1) Coeficiente de condutividade térmica equivalente (keq) : k1 k kn n q = k d, neste caso: = k = q Ak = n q k eq = q 1 q k 1 k q n k n k eq = 1 k 1 + k + n k n k eq = 1 k1 + k + n kn kaço = 17 W/mK Kcobre = 37 W/mK kaço = 17 W/mK 400 C 100 C mm 3 mm mm k eq = = 8,76 W mk q = k eq = 8,76 ( ) = 1.33 kw/m² = 3 = q 1 k 1 = C = q k = C

2 400 C 55 C 45 C 100 C ) = A k d Considerando que a superfície lateral é isolada, o fluxo pode ser calculado em uma direção: = A k = (0 00) 1 = 7,44 W a) S 1 = Q 1 = 7,44 = 1, W/K b) S = Q = +7,44 =, W/K c) S barra = 0, pois a quantidade de calor total que entra na barra é igual a que sai. d) S sistema = S 1 + S barra + S = +1,15 10 W/K A resposta satisfaz a ª ei da ermodinâmica, pois S sistema = ds sistema > 0. dt 3) D =0,15m Q x =40 C D(x) = 0,3 m D 1 = 0,075 m 1=6 C Q y

3 D(x) = x (D D 1 ) + D 1 A(x) = π[d(x)] = π 4 4 [x (D D 1 ) + D 1 ] = Ak d d = Ak 1 = = 0 = Ak k 0 A k 0 π 4 [x (D D 1 ) + D 1 ] 1 = 4 = ( 1 )D 1 D πk 4 πk 0 [ x (D D 1 ) + D 1 ] = 4 = (40 6) 0,075 0,15 π 0,7 4 0,3 (D D1 ) x= πk [ x (D D 1 ) + D 1 ] x=0 = 0,7 W = 4 D 1 D πk 4) = dq dt = mc d dt, d como 3 C = 3 C = 1 C dt h 3600 s 100 s Q 1=0 C dq dq 348,3 W 348,3 W dt 100 dt Caso de fluxo unidimensional: dq dt = Ak k = dq 1 348,3 1 = 4,87 W dt A 1,3 (75 0) m K =75 C k 4,87 Polietileno: k = 0,33 W/mK 6,8 cm Madeira (cedro): k = 0,11 W/mK,3 cm 5) k ( x + + y z k + q = ρc ) + q = ρc para k constante k + q = ρc Numa parede plana, com << A, (espessura e área lateral A), se definirmos a direção x como perpendicular à superfície as direções y e z possuirão limites muito superiores à x e, portanto o problema pode ser considerado, com boa aproximação, unidimensional ( y = 0 e z = 0).

4 Não há fontes internas de calor (q = 0) e o estado é permanente ( = 0). ogo, k ( x ) = 0, como k 0: x = 0 x = C 1 (x) = C 1 x + C (x) = x ( 1 ) + 1, logo a distribuição de temperatura é linear. O fluxo pode ser simplificado por: q = k d = k ( 1 ) = k 6) k + q = ρc para k constante k + q = ρc em coordenadas polares: k [ 1 r r (r r ) + 1 r + θ z ] + q = ρc e i e Pela simetria do tubo, θ = 0 e para tubos suficientemente compridos (>>i) pode-se considerar que não há variação ao longo do eixo z ( = 0). Como no problema anterior, q = 0 e = 0. z k 1 r r (r ) = 0, como k e r 0: r r (r ) = 0 r = C r r 1 = C 1 r r (r) = C 1 ln r + C { () = i ( e ) = e { i = C 1 ln + C e = C 1 ln e + C C 1 = ( i e ) ln C = i ( i e ) ln { ln = () = C 1 ln + C = ( i e ) ln ln + i ( i e ) ln ln = i + ( i e ) ln ln ln i = i e i ln e, onde e No caso de tubulações com paredes finas, ou seja, e : e e muito próximo de 1, logo é válida a aproximação

5 ln 1 = ln e e 1 = e Então a equação se simplifica para i e i = e, que define uma distribuição linear de temperatura (apenas para tubulação com paredes finas), assim como em paredes planas. O fluxo de calor através da parede do tubo pode ser calculado como: q = k d dr = Ak d = πk dr ( i e ) 1 ln = πk( i e ) ln e 7) a) Pela fórmula deduzida na questão anterior: = πk( i e ) ln b) q = = π (50 48) ln 8 33 A q e = π e = 44, π 0,33 10 = 44,36 kw =,14 kw/m² 8) q = k d 0 q = kd q = kd = (A + B)d 1 1 Como q = Q e numa parede plana S é constante ao logo da espessura, q também é constante ao S longo da espessura da parede. q 0 = A d B d = A( 1 ) B ( 1 1 ) 1 q = A( 1 ) B ( + 1 )( 1 ) = [A + B ( + 1 ) ] ( 1 ) = k ( + 1 ) q = k ( + 1 ) Ou seja, pode ser utilizado o k para a temperatura média entre as faces, e como a distribuição de temperatura no interior da parede é linear, esta corresponde à temperatura do meio.

6 9) Como no exercício 1: k eq = 1 k 1 + k + n k n De 100 C até 5 C: De 100 C até i: 1 = 1q k 1 = k eq = = 8 W 7 mk q = k Δ = 8 (5 100) W m² 10,71 C i = ,7 = 89,3 C O calor que passa nas primeiras paredes é o mesmo que fluirá até o final e a área que ele atravessa não altera, por ser tratar de paredes planas. ogo q é constante De 5 C até j: 3 = 3q k 3 De j até r: 4 = 4q k 4 = = ,6 C j = 5 8,6 = 16,4 C 10,7 C r = 16,4 10,7 = 5,7 C 10) a) O calor de convecção para o fluido é equivalente ao calor absorvido pela esfera com sinal oposto. Como não há variação de volume da esfera, pela 1ª ei da ermodinâmica pode se dizer que o calor trocado é igual a variação de energia interna. Ah ( ) = du dt, onde k = ρcv h A Neste caso, i = 40 C, h =0 C, k = ρc4 3 π3 (t) = 40e t 955 ( C) convecção = absorvido, após dedução demonstrada na apresentação de aula: = e i = ρc 4 3 h 4 π h 4 t k = , s

7 Variação de entropia (J/K) emperatura da esfera ( C) b) empo (s) c) Q = ρvc = π (1,5 10 ) (40 0) = 115 J d) S = ρcv ( 1 1 ) d ( 0 ) = ρcv [ ln ( ( 313) )] = 8,1 [ ln ( 313 )] emperatura (K) 11) q convecção = q condução h ( ) = k d q convecção q condução fluxo em parede plana h ( ) = k k = h ( ) = 00 (0 100) 0,08 (0 0) = 64 W mk

8 1) kaço = 17,5 W/mK =7 C =300 K Q radiação Vácuo Q condução 1=17 C =400 K 0,1 m radiação = condução AF 1 σ( ) = Ak d Considerando que as paredes irradiam calor somente uma para a outra: F1- = 1 Por se tratar de condução de calor em paredes planas d = Então: σ( ) = k ( 1 ) 5, ( ) = 17,5 (400 ) 0,1 = 407,7 K = 13,7 C 13) Equação da difusão: k + q = ρc Utilizando coordenadas esféricas: para k constante k + q = ρc k [ 1 r (r) r + Calor em casca esférica: 1 r sen θ θ (sen θ θ ) + 1 r sen θ φ] + q = ρc Pela simetria temos que = 0 e = 0. θ φ Como não há fontes internas de calor q = 0. Considerando que o equilíbrio já foi alcançado trata-se de um problema permanente ( = 0). stando: k [ 1 r (r) r ] = 0 k 0 (r) r = 0 (r) r = C 1 r = C 1 r + C (r) = C 1 + C r

9 ( ) = i = C 1 + C C i = i e i ( e ) = e { { e = C 1 + C e e i C e { 1 = i i e e e i = () = i i e e e + i e e i e i = i e ( e e e) i 1 = ( e i e e e i ) i = ( e e i e ) No caso de cascas esféricas muito finas, ou seja, e embrando que e e { 1 e 1 e e 1 i e i = e O calor que atravessa a casca esférica pode ser calculado por: = Ak = (4π )k ( i e e e ) = 4πk ( e i e ) e e 1 1 i e radiação = condução A 1 F 1 σ( 1 4 i 4 ) = 4πk ( e i e ) e Considerando que todo calor radiado pela esfera é absorvido pela casca esférica e vice-versa : F 1 = 1 4π 1 σ( 1 4 i 4 ) = 4πk ( e i e ) e 1 σ( 1 4 i 4 ) = k ( i e e ) e

10 0,03 5, ( i ) = 10 ( i 98 ) 0,09 0,093 0,093 0,09 Considerando i 4 0: i 694,5 K = 41,5 C Calculando pelo método de tentativa e erro: i 673 K = 400 C radiação = condução = A 1 F 1 σ( 1 4 i 4 ) = 4π 1 5, ( ) =,15 kw 14) convecção = Ah ( c ) A temperatura do fluido é a temperatura do ar na sala. Considerando uma temperatura ambiente de 5 C: convecção = 4π h ( c ) = 4π 0,03 7 (90 5) = 5,15 W. Assumindo que a lâmpada não recebe calor irradiado de nenhuma outra fonte (ex.: paredes da sala), 5,15 W corresponde à porção do calor total gerado pela lâmpada (150 W) que é transmitido por convecção (através do gás da lâmpada) e radiação do filamento para o vidro e, posteriormente, por convecção do vidro para o ar da sala. ogo, a fração de calor da lâmpada irradiada diretamente do filamento através do vidro para o ar da sala é: 150 5, = 0,966 = 96,6% 15) Um fluxo de ar a 0 C passa num lado de uma placa fina de metal (h =10,6 W/m²K). Metanol a 87 C flui do outro lado (h =141 W/m²K). O metal age como um resistor elétrico, liberando 1000 W/m². Calcule: a) A temperatura do metal. b) A taxa de transferência de calor do metal para o ar. c) A taxa de transferência de calor do metal para o metanol. a) Ar 1 = 0 C h 1=10,6 Q 1 Metal, Q Metanol =87 C h =141 = 1 + = Ah 1( 1 ) + Ah ( )

11 q = A = h 1( 1 ) + h ( ) = q + h h h 1 + h = = q + h h h 1 + h , , ,9 C b) q 1 = h 1( 1 ) = 10,6 (88,9 0) = 730,3 W m² c) q = h ( ) = 141 (88,9 87) = 67,9 W m² 16) Como a cerveja é composta na maior parte por água (90%), pode-se considerar com boa aproximação as mesmas propriedades físicas da água: ρ = 1000 kg m³, c = J kg C, k = 0,6 W m K Além disso, o alumínio que envolve a cerveja, possui uma espessura muito pequena e elevada condutividade térmica, como todos os metais, podendo então ser desprezado tanto em termos de condução, quanto absorção de calor. Como a lata foi colocada sobre uma superfície isolada, a base deve ser desconsiderada para cálculo da superfície de convecção e assumido que a lata não será tocada durante o resfriamento. Número Biot: Bi = h = 7,3 0,03 = 0,365 < 1 k corpo 0,6 Embora o número de Biot não seja muito menor que 1, como neste caso se trata de um líquido, o processo de transferência de calor no interior da lata se dará por convecção, o que facilitará este fenômeno. Portanto, pode-se considerar com boa aproximação uma temperatura uniforme no interior da lata (capacidade aglomerada). Então, conforme expressão demonstrada na apresentação de aula:, onde: k = ρcv h A = = e t k t = i k ln ( ) i πd ρcv ρc ( h (A lateral + A topo ) = 4 H) = h (πdh + πd 4 ) ρc(dh) h (4H + D) = k = ,06 0,09 7,3 (4 0,09 + 0,06) = 736 s Então: t = 736 ln ( 4 40 ) 398 s 6,6 min 40