Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos

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1 Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos INTODUÇÃO Sistemas térmicos são sistemas nos quais estão envolvidos o armazenamento e o fluxo de calor por condução, convecção ou radiação A rigor, sempre estão envolvidas simultaneamente as três formas de transferência de calor Entretanto, na prática, tem-se em geral a preponderância de uma forma sobre as demais ou então a preponderância de duas formas sobre a terceira, o que é mais comum Exemplos clássicos de sistemas térmicos são o sistema de arrefecimento do motor de um automóvel, o refrigerador doméstico, o sistema de condicionamento de ar de um escritório, etc Há três maneiras pelas quais o calor pode fluir de uma substância para outra: condução, convecção e radiação Na transferência de calor por condução ou convecção, o fluxo de calor q, em kcal/s, é dado por () q K θ onde () θ diferença de temperatura, em K K coeficiente de proporcionalidade, em kcal/sk, dado por ka K na condução X (3) K ha na convecção onde k condutividade térmica, em kcal/msk A área normal ao fluxo de calor, m X espessura do condutor, em m h coeficiente de transferência de calor por convecção, kcal/m sk Na transferência de calor por radiação, o fluxo de calor q, em kcal/s, é dado por (4) q K ( θ θ ) r 4 4 onde K r coeficiente de proporcionalidade, em kcal/sk 4, que depende da emissividade, tamanho e configuração da superfície θ temperatura do emissor, em K θ temperatura do emissor, em K

2 Na modelagem que será feita a seguir, serão consideradas apenas as transferências de calor por condução e por convecção, desprezando-se o efeito da radiação VAIÁVEIS TÉMICAS As variáveis usadas para descrever o comportamento de um sistema térmico são: θ temperatura em Kelvins [K] q fluxo de calor em Watts [W] o C K - 73,5 W J/s As temperaturas em vários pontos de um corpo variam com a localização, o que significa que o sistema térmico é inerentemente um sistema com parâmetros distribuídos Em conseqüência, os modelos matemáticos são constituídos por equações diferenciais parciais, pois as propriedades são distribuídas e não concentradas Na modelagem e na análise, entretanto, para simplificar o problema, é conveniente admitir que um sistema térmico possa ser representado por um modelo de parâmetros concentrados, no qual as substâncias que são caracterizadas pela resistência ao fluxo de calor têm capacitância térmica desprezível e que as substâncias que são representadas pela capacitância térmica têm resistência desprezível ao fluxo de calor Isso nos conduzirá a modelos regidos por equações diferenciais ordinárias, com as suas já conhecidas vantagens 3 NÚMEO DE BIOT Existe um parâmetro adimensional, denominado Número de Biot, que serve de critério para definir se um sistema térmico pode ser admitido como de parâmetros concentrados Ele é definido como (5) hl Bi k c onde h e k já foram definidos e onde L c é o comprimento característico do sólido, definido por V (6) L c As onde V volume do sólido, em m 3 A s é a área da superfície de contato entre sólido e fluido, no caso de transferência de calor por convecção, em m Evidentemente, L c depende da forma do sólido Assim, para esferas de raio r, temos:

3 3 Para cilindros maciços de raio r e comprimento L: L 4 πr 3 4πr 3 c r 3 L c πr L πrl + πr rl (r + L) Para cubos de aresta L: L 3 c L 6L L 6 Um critério aceitável para que a temmperatura no interior de um sólido não varie com a localização é que hl (7) Bi c < 0, k 4 VAIÁVEIS INCEMENTAIS Para a maioria dos sistemas térmicos existe uma condição de equilíbrio que define o ponto de operação do sistema Assim, podemos definir uma temperatura incremental e um fluxo de calor incremental como ^ (8) θ (t) θ(t) θ (9) q^(t) q(t) q onde θ e - q são os valores das variáveis no ponto de operação 5 CAPACITÂNCIA TÉMICA Existe uma relação entre a temperatura de um corpo físico e o calor nele armazenado Não havendo mudança de fase e desde que a faixa de temperaturas não seja excessiva, tal relação pode ser considerada linear Assim, sendo q i (t) o fluxo de calor que entra em um corpo e q o (t) o fluxo de calor que sai do mesmo corpo, o calor líquido (no sentido contábil) armazenado no corpo entre dois instantes de tempo t 0 e t é dado por t [ qi ( λ) qo t 0 ( λ)] dλ onde λ é uma variável muda usada na integração 3

4 4 Vamos assumir que o calor armazenado durante esse intervalo de tempo seja igual a uma certa constante C multiplicada pela variação de temperatura, ou seja t t 0 [ qi ( λ) qo ( λ)]dλ C[ θ(t) θ(t0 )] onde θ(t 0 ) é a temperatura do corpo no instante de referência t 0 Podemos rescrever a equação acima como t (0) θ( t) θ(t0 ) + [qi ( λ) qo ( λ)] dλ C t 0 onde a constante C é definida como a capacitância térmica do corpo, dada em [J/K] Para um corpo de massa M e calor específico c, a capacitância térmica é dada por C Mc, para M em [kg] e c em [J/kgK] Diferenciando a eq (0), obtemos () θ( t) [qi (t) qo (t)] C equação que é muito usada quando o sistema é modelado no espaço de estados 6 ESISTÊNCIA TÉMICA No caso de transferência de calor por condução, a Lei de Fourier estabelece que o fluxo de calor q(t) entre dois corpos com temperatura θ (t) > θ (t), separados por um meio condutor, é dado por q(t) θ αa (t) θ d (t) onde α condutividade térmica do material condutor [J/msK] ou [W/mK] (tabelada) A área normal ao fluxo de calor [m ] d espessura do condutor [m] Podemos rescrever a equação acima como () q(t) [ θ (t) θ (t)] onde é definida como a resistência térmica e é função do material e das dimensões do meio condutor, sendo dada por d (3) A α 4

5 5 Só podemos usar a eq () quando não há armazenamento de energia térmica no meio condutor Caso isso não aconteça, devemos então incluir a capacitância térmica do meio condutor no modelo esistências térmicas em série Consideremos dois corpos com temperaturas θ (t) > θ (t), separados por duas resistências térmicas em série e, conforme ilustra a fig (a): Fig Sendo q(t) o fluxo de calor através das mesmas e estando as resistências perfeitamente isoladas termicamente, queremos achar uma resistência térmica equivalente eq, conforme a fig (b) Chamando θ B a temperatura na interface das duas resistências, podemos escrever a eq () duas vezes: q ( θ θb ) Eliminando θ B nas equações acima, chegamos a q ( θb θ ) q ( θ θ ) + que, comparada com a eq (), permite que escrevamos eq + donde podemos concluir que existe uma analogia com as resistências elétricas em série Podemos estender o resultado para n resistências térmicas em série: (4) eq i n i 5

6 6 esistências térmicas em paralelo Aproveitando a analogia citada, podemos estabelecer uma expressão para n resistências térmicas em paralelo: (5) eq n i i 7 FONTE TÉMICA A fonte térmica ideal adiciona ou retira energia térmica do sistema No primeiro caso, o fluxo de calor q i (t) é positivo e, no segundo caso, q i (t) é negativo A fonte térmica ideal é representada pela fig : Fig Vamos estudar, a seguir, a modelagem matemática de alguns sistemas térmicos através de exemplos 8 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS TÉMICOS Exemplo A fig 3 mostra uma capacitância térmica C isolada do ambiente por uma resistência térmica equivalente A temperatura interna é θ, considerada uniforme, enquanto que a temperatura ambiente é θ a, também uniforme Calor é adicionado ao interior do sistema com um fluxo q i (t) No ponto de operação, os valores de q i e θ são qi e θ, respectivamente Desenvolver um modelo matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais - Fig 3 6

7 7 Solução Aplicando a eq (): qo (t) [ θ(t) θa ] Substituindo na eq (): θ( t) {qi (t) [ θ(t) θa ]} C ou C θ(t) + θ(t) q (t) + θ onde reconhecemos uma EDOL de a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, com duas entradas q i (t) e θ a e saída θ(t) A constante de tempo do sistema é dada por τ C i a Em termos das variáveis incrementais ^ θ (t) θ(t) θ q^(t) q(t) q e podemos obter um modelo matemático substituindo θ(t), q i (t) e suas derivadas na EDOL acima, chegando a ^ ^ C θ(t) + θ(t) q (t) ^ i Vemos, agora, que temos um sistema com apenas uma entrada e uma saída Exemplo - Termômetro de mercúrio A fig 4 ilustra um sistema térmico constando de um termômetro de mercúrio que está, inicialmente, à temperatura ambiente θ e é mergulhado em um reservatório cujo líquido está a uma temperatura θ + θ b, isto é, θ b acima da temperatura ambiente Fig 4 O reservatório tem capacitância térmica C e o termômetro tem resistência térmica Desenvolver um modelo matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais 7

8 8 Solução Aplicando a eq () para o termômetro: qi (t) [ θb θ(t)] Substituindo na eq (): θ( t) { [ θb θ (t)]} C ou (6) C θ(t) + θ(t) θ onde reconhecemos uma EDOL de a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, com entrada θ b e saída θ(t) A constante de tempo do sistema é dada por τ C b Comparando a eq (6) com a EDOL modelo matemático do circuito elétrico C paralelo mostrado na fig 5, dada por d eo C + eo ei dt Fig 5 vemos que existe uma analogia entre o sistema térmico e o sistema elétrico, denominada analogia eletrotérmica, dada pela tabela seguinte: Sistema elétrico voltagem e corrente elétrica i resistência elétrica Capacitância C Sistema térmico temperatura θ fluxo de calor q resistência térmica capacitância térmica C Exemplo 3 A fig 6 mostra um vaso indeformável de volume V, no qual um líquido de massa específica ρ e calor específico c escoa através dele Um "mixer" assegura que a temperatura do líquido permaneça uniforme em todo o reservatório e igual a θ(t) O líquido entra no reservatório com uma vazão volumétrica constante w à temperatura θ i (t) Ele sai do reservatório com a mesma vazão volumétrica à temperatura θ o (t), considerada igual à temperatura do líquido θ(t), devido à mistura perfeita feita pelo "mixer" A resistência térmica do vaso é e a temperatura ambiente é constante e igual a θ a 8

9 9 Fig 6 É adicionado um fluxo de calor q h (t) ao líquido por meio de um aquecedor Desenvolver um modelo matemático para o sistema Solução Calor que entra no vaso: q (t) q (t) + w ρcθ (t) i h i _ 0 ρ θ q (t) θ θ a + Capacitância térmica: C Mc ρvc Calor que sai do vaso: [ (t) ] w c (t) Levando na eq (): θ( t) [q i(t) qo (t)] {[qh (t) + w ρcθi(t)] [ ( θ(t) θa ) + w ρcθ(t)]} C ρcv earrumando a equação acima, chegamos à EDOL de a ordem w w θ( t) + ( + ) θ(t) θi (t) + qh (t) + θ V C V C C a onde a constante de tempo é dada por τ w V + C Podemos observar que temos três entradas, θ i (t), q h (t) e θ a, e apenas uma saída, θ(t) Exemplo 4 Uma esfera de cobre (ρ 8954 kg/m 3, c 383, J/kg 0 C e k 385 W/m 0 C), de diâmetro 0,06 m, é subitamente colocada em um reservatório que contem um líquido quente a uma temperatura θ o Em conseqüência, a temperatura da esfera, θ(t), cresce com o tempo O coeficiente de transferência de calor por convecção é h 5 W/ m 0 C Pedem-se: 9

10 0 (a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique; (b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema; (c) Calcular a constante de tempo do sistema Solução (a) Logo, é possível (b) Aplicando a eq (): onde 0,06 L c r 0,0 m 3 3 hlc 5x0,0 4 Bi 6,49x0 < 0, k 385 θ( t) [qi (t) qo (t)] C C Mc ρvc q i ha [ θ s o θ(t)] ρvc q o 0 ( s o Logo: θ t) { ha [ θ θ(t)] 0} ρvc θ(t) + θ(t) θ ha s o (c) ρvc τ ha s ρcl h c 8954x383,x0, s,87 h 0

11 EXECÍCIOS A figura mostra um vaso fechado, isolado, cheio de líquido e contendo um aquecedor elétrico imerso no líquido A resistência elétrica do aquecedor, por sua vez, está colocada dentro de uma jaqueta metálica de resistência térmica HL A resistência térmica do vaso e de seu isolamento é La O aquecedor tem uma capacitância térmica C H e o líquido uma capacitância térmica C L A temperatura do aquecedor é θ H e a do líquido é θ L, a qual é considerada uniforme devido ao "mixer" Dados numéricos: C H 0 x 0 3 J/K C L x 0 6 J/K HL x 0-3 K/W LA 5 x 0-3 K/W θ a 300 K O aquecedor elétrico e o líquido estão inicialmente à temperatura ambiente θ a, estando o aquecedor desligado No instante t 0, o aquecedor é ligado, de modo que o fluxo de calor fornecido ao sistema é q i (t) Pedem-se: (a) modelo matemático no espaço de estados, usando as variáveis de estado θ H (t) e θ L (t), as quais podem ser obtidas diretamente a partir da eq (9); (b) usando o VisSim, graficar as temperaturas θ H (t) e θ L (t) para as entradas θ a 300 K e q i (t) sendo um degrau de amplitude,5 x 0 4 W; (c) a partir do gráfico do item (b), achar o tempo que leva o líquido para atingir a temperatura desejada θ d 365 K Obs: para os itens (b) e (c) usar os dados numéricos mostrados ao lado da figura Uma esfera de alumínio de diâmetro 0,08 m encontra-se em um forno à temperatura de 00 0 C Ela é retirada do forno e colocada ao ar livre que se encontra à temperatura de 0 0 C Conhecendo as propriedades do alumínio, dadas abaixo, pedem-se: (a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique; (b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema; (c) Calcular a constante de tempo do sistema Dados do Alumínio: ρ 707 kg/m 3 ; c 896 J/kg 0 C; k 04 W/m 0 C; h 3,5 W/ m 0 C esp: (a) Sim; ρvc (b) θ(t) + θ(t) θ ar ha (c),56 h s

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