1 ) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no interior do sólido começa a variar

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1 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE Condições variam com o tempo problema transiente ocorre quando as condições de contorno variam. ) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no interior do sólido começa a variar ) Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e resfriamento A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do sistema e condução no interior do sistema O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises considerando:. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação com a posição) e somente há variação com o tempo: T(t).A variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo: T(x,t) Exemplos de aplicação: - tratamento térmico - lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma corrente de ar frio - produção de novos materiais com propriedades melhoradas - congelamento de alimentos

2 ) MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL - T(t) (sólido com resistência interna desprezível) Sólido submetido a uma variação térmica repentina. Ex: - Em t=0 uma peça metálica aquecida e na temperatura Ti é imersa em um banho líquido na temperatura T (Ti>T) - Para t>0 a temperatura do metal diminui até alcançar T. Isto se deve à convecção na interface sólido-líquido Considerando que: ) a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo, o que implica que o gradiente de temperatura dentro do sólido é desprezível ) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência de uma condutividade térmica, k, infinita. Admite-se que a resistência interna à transferência de calor por condução dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a superfície e o meio (convecção) Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área superficial e o volume, ex: placas finas e fios.

3 Desprezando os gradientes de temperatura no interior d sólido a análise não pode ser feita com a equação do calor. A resposta transiente da temperatura é determinada por: Balanço global de energia no sólido Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna E sai E ac Por conveniência se define: (t ) T(t ) T Substituindo resulta: ha(t( t dt( t ) ) T ) Vc dt Vc ln i t ha Esta equação é usada para determinar o tempo em que um sólido leva para atingir a temperatura T. Também pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no tempo t. ha O termo Vc T( t ) T ha exp t Ti T i Vc onde é denominada de constante de tempo térmica, em s. E representa o tempo que levará um objeto à responder a qualquer variação no seu conteúdo térmico

4 T( t ) T exp t Ti T i Por analogia: e ha R Resistência à T.C. por convecção ρ Vc = mc = C Capacitância térmica do sólido então =RC Qualquer aumento de R ou C causará uma resposta mais lenta do sólido às mudanças no ambiente térmico e aumentará o tempo para alcançar o equilíbrio térmico. - A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T. - Quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, menor e, por tanto, mais tempo leva para aquecer ou resfriar. A energia total transferida Q é: Q 0 t qdt ha 0 dt t substituindo t 0 i Q ha exp( ha Vc t )dt

5 ha Q Vci exp t (J) Vc ou Q=E ac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna Q é se a energia interna aumenta (sólido é aquecido) Validade do método para que condições o método pode ser aplicado Para uma placa com uma superfície mantida à T e de temperatura T outra exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície: ka (T L T ) ha(t T ) T T T T L / ka / ha R R cond conv hl Bi k Número de Biot Bi: Razão entre as resistências interna e externa. Dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo à diferença de temperatura entre a superfície e o fluido. Bi=hL/k Se - Bi<< é razoável assumir uma distribuição de temperatura uniforme no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente. (T(x,t)T(t)) - Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é significativo T(x,t). - Bi>> o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre a superfície e o fluido.

6 Para aplicá-lo testar se: Bi = hl cond /k < 0, onde L cond é o comprimento da condução, que é definido para considerar outras formas geométricas, Lcond=V/A

7 Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria geométrica e térmica - Parede plana Lcond=L (espessura L): - Cilindro longo Lcond=r/ - Esfera Lcond=r/3 Número adimensional de Fourier Fo Denominado tempo relativo Fo t Lc k Difusividade térmica c (m²/s) p Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo: i T( t ) T Ti T exp Bi.Fo A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para diversos tipos geométricos. Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente.

8 Exemplo: Em um processo de fabricação esferas de bronze de 50 mm de diâmetro estão inicialmente a 0ºC e são submetidas a um processo de têmpera, que consiste em fazêlas passar através de um banho de água a 50ºC por um período de min a uma taxa de 0 esferas por minuto. Se o coeficiente de transferência de calor convectivo é de 40 W/m²K, determine: a) A temperatura das esferas após o processo. b) A taxa de calor que deve ser removida do banho de água para manter sua temperatura em 50ºC. Esferas 0ºC Banho de água 50ºC c) A temperatura na superfície das esferas é diferente da temperatura no centro?

9 Análise geral do MCG Outros processos induzem a condição térmica transiente no interior do sólido: - sólido pode estar separado da vizinhança por um gás ou pelo vácuo se a temperatura do sólido e da vizinhança forem diferentes a radiação pode causar variação da energia interna no sólido e na sua temperatura - fluxo térmico na superfície - início de um processo de geração de calor no interior do sólido (passagem de corrente elétrica por exemplo) Vizinhança Tv q " As( a ) + qg - ( q" conv + q" rad )As( c,r ) s = dt ρvc dt 4 4 s = q " As( a ) + qg - [ h(t - T ) + εσ(t - Tviz )] As( c,r ) dt ρvc dt

10 Solução: ) ou por diferenças finitas ) ou solução exata para condições simplificadas: Exemplo : sem q, sem qg, sem convecção 4 ( T Tviz )As( c,r ) 4 Vc dt dt t As,r dt Vc 0 T Ti (T 4 dt T 4 viz ) t Vc 4A T s, r 3 viz T ln T viz _ viz T T T ln T viz viz Ti tan _ Ti T T viz tan Ti T viz Exemplo : sem q e sem qg, mas com convecção e radiação -[ h(t - T ) εσ(t T viz )] As 4 = dt ρvc dt Bi = Rcond Rconv + Rrad τ = ( Rconv + Rrad )C

11 Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis - Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como uma função do tempo e da posição Parede exposta a um meio a T <Ti em t=0 Transferência de calor da parede para o meio Gradiente de temperatura na parede Problema da condução transiente unidimensional adimensionalizado Equação diferencial cuja solução envolve séries infinitas e equações transcendentais. Parede plana de espessura L: unidimensional, k constante e sem geração Equação diferencial x T T ( x,t ) t -L x +L Simetria em x = 0 basta analisar: 0 x L Condições inicial e de contorno Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti T Condições de contorno x=0 0 (simetria) x dt x=l k h[t( L,t ) T ] dx T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)

12 Adimensionalizar as equações e condições permite: - diminuir a dependência da temperatura - arranjar as variáveis em grupos Temperatura adimensional T T 0 θ i Ti T Coordenada espacial ou posição adimensional x x L L = semi-espessura da parede plana 0 x t Tempo adimensional: nº de Fourier, Fo t Fo L Equação diferencial torna-se: x Fo Condição inicial: ( x, 0 ) (0,Fo ) Condições de contorno: 0 x (,Fo ) Bi (,Fo ) x f ( x,fo,bi ) Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função de x, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares. A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo a transformada de Laplace e outras, método de separação de variáveis, método das diferenças finitas e dos elementos finitos.

13 ) Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera x Fo Método de separação de variáveis: consiste em expandir a função arbitrária da série de Fourier. A variável dependente é o produto de uma série de funções, cada uma sendo função de uma única variável independente reduz a equação diferencial parcial em uma série de equações diferenciais ordinárias. (x,fo) = F(x)G(Fo) equações diferencias ordinárias uma função de x e outra de Fo A solução na forma de uma série infinita. θ = C n= n exp( - ξ Fo )cos( ξ x ) C n = ξ n 4senξn + sen( ξ n ) onde n são os valores discretos (autovalores) (raízes da equação característica ou auto função). Solução aproximada: para Fo > 0, a solução pode ser aproximada pelo primeiro termo da série (erro menor que %) Considerando o comprimento característico: Lc=V/A - Parede Plana de espessura L: semi-espessura L - Cilindro longo: raio externo, re - Esfera: raio externo, re hlc t Bi Fo k Lc

14 A) Parede plana - Temperatura Fo )cos( C exp( x ) ou o cos( x ) onde o C exp( To T Fo ) Ti T C e (em rad) são constantes tabeladas para cada geometria em função de Bi - Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de tempo t Q Q o sen o Qo - Energia interna inicial da parede em relação à temperatura do fluido ou quantidade máxima de transferência de calor para tempo infinito. Q o cv(ti T )

15 B) Cilindro infinito raio re Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na direção radial. Razoável para L/re 0 Fo )Jo( C exp( r ) Jo= função de Bessel tabelada e r r re ou o Jo( r ) onde o C exp( To T Fo ) Ti T Q Q o o J( ) J = função de Bessel tabelada C) Esfera raio re C exp( Fo ) r sen( r ) ou o sen( r ) onde r r r re o C exp( To T Fo ) Ti T Q Q o 3 o sen( ) cos( ) 3

16 Coeficientes usados nas soluções aproximadas (um termo das soluções em série) para condução transiente unidimensional Parede plana Cilindro longo Esfera Bi = hl/k para parede plana e Bi=hr e /k para cilindro e esfera

17 Funções de Bessel de primeiro tipo

18 Exemplos:. No estágio de reaquecimento do processo de têmpera uma placa de aço de 00 mm de espessura que está inicialmente a 00ºC deve ser aquecida até a temperatura máxima de 550ºC. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde os produtos de combustão a 800ºC e mantêm um coeficiente de transferência de calor de 50 W/m²K em ambas as superfícies da placa. a) Quanto tempo a placa deve ser deixada no forno? b) Qual a energia total transferida, por unidade de área?. Um eixo cilíndrico longo de 30 mm de diâmetro inicialmente a 000 K, é subitamente resfriado pela imersão em um grande banho de óleo que se encontra a uma temperatura constante de 350 K. k=,7 W/mK, c=600 J/kgK e =400 kg/m³. O coeficiente de transferência de calor convectivo é de 50 W/m²K. a) Qual o tempo necessário para que a superfície do cilindro atinja 400 K? E no centro qual seria a temperatura neste tempo? b) Represente a variação de temperatura da superfície do cilindro no intervalo de tempo 0 <=t<= 300 s. Se o óleo fosse agitado, fornecendo um coeficiente convectivo de 00 W/m²K como ficaria a variação de temperatura no cilindro com o tempo de resfriamento?

19 Sólido semi-infinito - Idealização útil para muitos problemas práticos - Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfície do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólido finito onde nos instantes iniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi afetada pelas alterações superficiais x T T ( x,t ) t Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti Condições de contorno Caso - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts e T(,t)=Ti Temperatura aumenta gradualmente dentro do sólido a medida que o calor penetra mais fundo no sólido

20 dt Caso Fluxo de calor constante na superfície: q k e T(,t)=Ti dx Calor é continuamente fornecido ao sólido aumentando a Ts e do interior do mesmo dt Caso 3 Convecção na superfície: k h(t T( 0,t )) e T(,t)=Ti dx

21 Soluções analíticas aproximadas: resposta dentro do sólido diferente para cada situação: Caso T( x,t ) Ts Ti Ts erf x t t em segundos e x em metros erf é função erro de Gauss e q k(ts Ti ) t Caso q T( x,t ) Ti t / x qx exp erfc k 4t k x t Sendo erfc(w)=-erf(w) função erro complementar de erf (w)

22 Caso3- Convecção T( x,t ) Ti T Ti erfc x hx h t exp erfc t k k x h t T k

23 Exemplo: Na instalação de adutoras deve haver a preocupação com a possibilidade de ocorrer congelamento durante períodos de baixa temperatura ambiente, em locais de clima frio. Considerando a temperatura da superfície constante ao longo de um período prolongado de tempo frio, qual é a profundidade mínima que seria recomendado para evitar o congelamento em condições nas quais o solo está a uma temperatura inicial uniforme de 0ºC e é submetido a uma temperatura constante na superfície de -5ºC por 60 dias? -5ºC solo 0ºC