5S.1 Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente na Parede Plana, no Cilindro Longo e na Esfera

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1 5S.1 Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente na Parede Plana, no Cilindro Longo e na Esfera Nas Seções 5.5 e 5.6, foram desenvolvidas aproximações pelo primeiro termo para a condução unidimensional transiente em uma parede plana (com condições convectivas simétricas) e em sistemas radiais (cilindro longo e esfera). Os resultados se aplicam para Fo 0,2 e podem ser convenientemente representados em formas gráficas que ilustram a dependência funcional da distribuição de temperatura transiente em relação aos números de Biot e de Fourier. Resultados para a parede plana (Figura 5.6a) são apresentados nas Figuras 5S.1 a 5S.3. A Figura 5S.1 pode ser usada para se obter a temperatura no plano central da parede, T(0, t) T o (t), a qualquer instante durante o processo transiente. Se T o for conhecido para valores especificados de Fo e Bi, pode-se utilizar a Figura 5S.2 para determinar a temperatura correspondente em qualquer posição fora do plano central. Conseqüentemente, a Figura 5S.2 tem que ser usada em conjunto com a Figura 5S.1. Por exemplo, se desejamos determinar a temperatura na superfície (x* 1) em algum instante t, devemos usar a Figura 5S.1 em primeiro lugar para determinar T o em t. A Figura 5S.2 deve então ser usada para determinarmos a temperatura na superfície a partir do conhecimento de T o. O procedimento deve ser invertido se o problema FIGURA 5S.1 Temperatura no plano central como função do tempo em uma parede plana de espessura 2L [1]. Usado com permissão.

2 CD-8 Capítulo 5S.1 FIGURA 5S.2 Distribuição de temperaturas em parede plana de espessura 2L [1]. Usado com permissão. for a determinação do tempo necessário para a superfície atingir uma temperatura especificada. Resultados gráficos para a energia transferida a partir de uma parede plana durante o intervalo de tempo t são apresentados na Figura 5S.3. Esses resultados forem gerados a partir da Equação A transferência de energia adimensional Q/Q o é representada exclusivamente em termos de Fo e Bi. Resultados para o cilindro infinito são apresentados nas Figuras 5S.4 a 5S.6 e os resultados para a esfera são mostrados nas Figuras 5S.7 a 5S.9, em que o número de Biot está definido em termos de r o. FIGURA 5S.3 Variação da energia interna como função do tempo em uma parede plana de espessura 2L [2]. Adaptado com permissão.

3 Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente... CD-9 FIGURA 5S.4 Temperatura no eixo central como função do tempo em um cilindro infinito de raio r o [1]. Usado com permissão. FIGURA 5S.5 Distribuição de temperaturas em um cilindro infinito de raio r o [1]. Usado com permissão.

4 CD-10 Capítulo 5S.1 FIGURA 5S.6 Variação da energia interna como função do tempo em um cilindro infinito de raio r o [2]. Adaptado com permissão. Os gráficos anteriores também podem ser usados para determinar a resposta transiente de uma parede plana, de um cilindro infinito ou de uma esfera submetida a uma mudança súbita na temperatura superficial. Em tal condição, é necessário apenas substituir T pela temperatura superficial especificada T s e fixar Bi 1 igual a zero. Ao fazermos isto, admitimos que o coeficiente convectivo é implicitamente infinito, situação na qual T T s. FIGURA 5S.7 Temperatura no centro como função do tempo em uma esfera de raio r o [1]. Usado com permissão.

5 Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente... CD-11 FIGURA 5S.8 Distribuição de temperaturas em uma esfera de raio r o [1]. Usado com permissão. FIGURA 5S.9 Variação da energia interna como função do tempo em uma esfera de raio r o [2]. Adaptado com permissão. Referências

6 CD-12 Capítulo 5S.2 5S.2 Solução Analítica dos Efeitos Multidimensionais Com freqüência são encontrados problemas transientes nos quais os efeitos bi- e mesmo tridimensionais são significativos. Soluções para uma classe desses problemas podem ser obtidas a partir dos resultados analíticos unidimensionais das Seções 5.5 a 5.7. Considere a imersão do cilindro curto da Figura 5S.10, que está inicialmente a uma temperatura uniforme T i, em um fluido a uma temperatura T T i. Como o comprimento e o diâmetro do cilindro são comparáveis, a transferência de energia por condução subseqüente será significativa nas direções coordenadas r e x. A temperatura no interior do cilindro será então função de r, x e t. Admitindo propriedades constantes e ausência de geração, a forma apropriada da equação do calor é, a partir da Equação 2.24, onde x foi usado em lugar de z para designar a coordenada axial. Uma solução em forma fechada para essa equação pode ser obtida pelo método da separação de variáveis. Ainda que essa solução não seja considerada em detalhes, é importante notar que o resultado final pode ser representado na forma a seguir: Isto é, a solução bidimensional pode ser escrita como um produto das soluções unidimensionais que correspondem àquelas para uma parede plana com espessura 2L e para um cilindro infinito com raio r o. Para Fo 0,2, essas soluções são fornecidas pelas aproximações pelo primeiro termo das Equações 5.40 e 5.49, assim como pelas Figuras 5S.1 e 5S.2 para a parede plana e Figuras 5S.4 e 5S.5 para o cilindro infinito. FIGURA 5S.10 Condução transiente bidimensional em um cilindro curto. (a) Geometria. (b) Forma da solução do produto.

7 Solução Analítica dos Efeitos Multidimensionais CD-13 Resultados para outras geometrias multidimensionais estão resumidos na Figura 5S.11. Em cada caso a solução multidimensional é fornecida na forma de um produto que envolve uma ou mais das soluções unidimensionais a seguir: FIGURA 5S.11 Soluções para sistemas multidimensionais expressas como produtos de resultados unidimensionais.

8 CD-14 Capítulo 5S.2 A coordenada x para o sólido semi-infinito é medida a partir da superfície, enquanto para a parede plana ela é medida a partir do plano intermediário. Ao usar a Figura 5S.11, devemos observar com cuidado as origens das coordenadas. A distribuição tridimensional transiente de temperaturas em um paralelepípedo retangular, Figura 5S.11h, é então, por exemplo, o produto de três soluções unidimensionais para paredes planas com espessuras 2L 1, 2L 2 e 2L 3. Isto é, As distâncias x 1, x 2 e x 3 são todas medidas em relação a um sistema de coordenadas retangulares cuja origem se encontra no centro do paralelepípedo. A quantidade de energia Q transferida para ou a partir de um sólido durante um processo de condução transiente multidimensional também pode ser determinada através da combinação de resultados unidimensionais, conforme mostrado por Langston [1]. EXEMPLO 5S.1 Em um processo industrial, cilindros de aço inoxidável (AISI 304), inicialmente a 600 K, são resfriados por submersão em um banho de óleo mantido a 300 K, com h 500 W/(m 2 K). Cada cilindro possui comprimento 2L 60 mm e diâmetro D 80 mm. Considere o instante 3 min após o início do processo de resfriamento e determine as temperaturas no centro do cilindro, no centro de uma das faces circulares e a meia altura da superfície lateral. Note que o Problema requer uma solução numérica deste mesmo problema. SOLUÇÃO Dados: Temperatura inicial e dimensões do cilindro, assim como temperatura e condições convectivas no banho de óleo. Achar: Temperaturas T(r, x, t) após 3 min no centro do cilindro, T(0, 0, 3 min) no centro de uma das faces circulares, T(0, L, 3 min), e a meia altura da superfície lateral, T(r o, 0, 3 min). Esquema:

9 Solução Analítica dos Efeitos Multidimensionais CD-15 Considerações: 1. Condução bidimensional em r e x. 2. Propriedades constantes. Propriedades: Tabela A.1, aço inoxidável, AISI 304 [T ( )/2 450 K]: 7900 kg/m 3, c 526 J/(kg K), k 17,4 W/(m K), k/( c) 4, m 2 /s. Análise: O cilindro sólido de aço corresponde ao caso (i) da Figura 5S.11 e a temperatura em qualquer ponto no cilindro pode ser representada pelo seguinte produto de soluções unidimensionais: onde P(x, t) e C(r, t) são definidas pelas Equações 5S.2 e 5S.3, respectivamente. Dessa forma, para o centro do cilindro, Assim, para a parede plana, com tem-se, pela Equação 5.41, que onde, com Bi 0,862; na Tabela 5.1, C 1 1,109 e 1 0,814 rad. Com Fo 0,84 Analogamente, para o cilindro infinito, com tem-se, pela Equação 5.49c, que onde, com Bi 1,15; na Tabela 5.1, C 1 1,227 e 1 1,307 rad. Com Fo 0,47, Assim, para o centro do cilindro,

10 CD-16 Capítulo 5S.2 A temperatura no centro da face circular pode ser obtida através da exigência de que onde, a partir da Equação 5.40b, Assim, com x* 1, temos A temperatura a meia altura da superfície lateral pode ser obtida a partir da exigência de que onde, a partir da Equação 5.49b, Com, r* 1 e o valor da função de Bessel obtido na Tabela B.4, Assim,

11 Solução Analítica dos Efeitos Multidimensionais CD-17 Comentários: 1. Verifique que a temperatura nas arestas do cilindro é T(r o, L, 3 min) 344 K. 2. Os gráficos de Heisler da Seção 5S.1 também podem ser usados para obtenção dos resultados desejados. Utilizando esses gráficos, obteríamos os seguintes resultados: o / i Parede plana 0,64; o / i Cilindro infinito 0,55; (L)/ o Parede plana 0,68; e (r o )/ o Cilindro infinito 0,61; que apresentam uma boa concordância com os resultados obtidos com as aproximações pelo primeiro termo. Referência Problemas Condução Unidimensional: A Parede Plana 5S.1 Considere a unidade de armazenamento de energia térmica do Problema 5.11, porém construída em alvenaria, com 1900 kg/m 3, c 800 J/(kg K) e k 0,70 W/(m K), em lugar do alumínio originalmente utilizado. Quanto tempo será necessário para que se obtenham 75% do máximo armazenamento de energia possível? Quais são as temperaturas máxima e mínima na alvenaria nesse instante? 5S.2 Uma camada de gelo com 5 mm de espessura se forma sobre o pára-brisas de um carro enquanto ele permanece estacionado ao longo de uma noite fria, na qual a temperatura ambiente é de 20 C. Ao ser ligado o carro, um novo sistema de descongelamento faz com que a superfície interna do pára-brisas seja subitamente exposta a uma corrente de ar a 30 C. Supondo-se que o gelo se comporte como uma camada de isolamento térmico sobre a superfície externa do pára-brisas, qual coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície interna permitiria que a superfície externa do pára-brisas atinja 0 C em 60 s? As propriedades termofísicas do pára-brisas são: 2200 kg/m 3, c p 830 J/(kg K) e k 1,2 W/(m K). Condução Unidimensional: O Cilindro Longo 5S.3 Bastões cilíndricos de aço (AISI 1010), com 50 mm de diâmetro, são tratados termicamente ao passarem através de um forno de 5 m de comprimento, no interior do qual o ar é mantido à temperatura de 750 C. Os bastões entram a 50 C e atingem uma temperatura de 600 C no seu eixo central antes de deixarem o forno. Para um coeficiente convectivo de 125 W/(m 2 K), estime a velocidade à qual os bastões devem atravessar o forno. 5S.4 Estime o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro-quente em água fervente. Considere que a salsicha esteja inicialmente a 6 C, que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja de 100 W/(m 2 K) e que a temperatura final no seu eixo central seja de 80 C. Trate a salsicha como se fosse um longo cilindro de 20 mm de diâmetro, possuindo as seguintes propriedades: 880 kg/m 3, c 3350 J/(kg K) e k 0,52 W/(m K). 5S.5 Uma longa barra, com 70 mm de diâmetro e inicialmente a 90 C, é resfriada por imersão em um banho de água a 40 C, que proporciona um coeficiente convectivo de 20 W/(m 2 K). As propriedades termofísicas da barra são: 2600 kg/m 3, c 1030 J/(kg K) e k 3,50 W/(m K). (a) Quanto tempo deve a barra permanecer no banho para que, quando for retirada e deixada em repouso em condições de isolamento térmico total da vizinhança, ela atinja uma temperatura uniforme de 55 C? (b) Qual é a temperatura superficial da barra quando ela é retirada do banho? Condução Unidimensional: A Esfera 5S.6 Uma esfera com 80 mm de diâmetro (k 50 W/(m K) e 1, m 2 /s), que se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme elevada, é subitamente resfriada por imersão em um banho de óleo mantido a 50 C. O coeficiente convectivo no processo de resfriamento é de 1000 W/(m 2 K). Em um dado instante de tempo, a temperatura superficial da esfera é medida, sendo igual a 150 C. Qual é a temperatura correspondente no centro da esfera?

12 CD-18 Capítulo 5S.2 5S.7 Uma pedra esférica de granizo, com 5 mm de diâmetro, é formada a 30 C em uma nuvem localizada a uma altitude elevada. Se a pedra começa a cair através do ar mais quente, a 5 C, quanto tempo ela irá levar até que sua superfície externa comece a derreter? Qual é a temperatura no centro da pedra de granizo nesse instante e quanta energia (J) foi transferida para a pedra até esse momento? Utilize um coeficiente de transferência de calor por convecção de 250 W/(m 2 K) e considere as propriedades do granizo idênticas às do gelo. 5S.8 Em um processo de fabricação de esferas de vidro (k 1,4 W/(m K), 2200 kg/m 3, c p 800 J/(kg K)) com 3 mm de diâmetro, as esferas são suspensas em uma corrente ascendente de ar que se encontra a T 15 C e mantém um coeficiente convectivo de h 400 W/(m 2 K). (a) Se as esferas estão inicialmente a uma temperatura de T i 477 C, quanto tempo elas devem ficar suspensas para atingir uma temperatura no centro de 80 C? Qual é a temperatura superficial correspondente? (b) Calcule e represente graficamente as temperaturas no centro e na superfície como funções do tempo para 0 t 20 s e h 100, 400 e 1000 W/(m 2 K). Condução Multidimensional 5S.9 Um longo lingote de aço (aço-carbono não-ligado), com seção transversal quadrada de 0,3 m por 0,3 m e inicialmente a uma temperatura uniforme de 30 C, é colocado no interior de um forno que se encontra à temperatura de 750 C. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção para o processo de aquecimento é de 100 W/(m 2 K), quanto tempo o lingote deve permanecer no interior do forno até que a temperatura no seu centro atinja 600 C? 5S.10 Um tijolo refratário com dimensões de 0,06 m 0,09 m 0,20 m é removido de um forno a 1600 K e resfriado ao ar a 40 C, com h 50 W/(m 2 K). Qual é a temperatura no centro e nos vértices do tijolo passados 50 min do início do processo de resfriamento? 5S.11 Um pino cilíndrico de cobre com 100 mm de comprimento e 50 mm de diâmetro está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20 C. As faces de suas extremidades são subitamente submetidas a um aquecimento intenso que as leva a uma temperatura de 500 C. Ao mesmo tempo, a superfície cilíndrica é submetida ao aquecimento por escoamento de um gás com uma temperatura de 500 C e um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100 W/(m 2 K). (a) Determine a temperatura no ponto central do cilindro 8 s após o repentino início do aquecimento. (b) Considerando-se os parâmetros que determinam a distribuição de temperaturas em problemas de difusão de calor transiente, pode alguma hipótese simplificadora ser justificada na análise desse problema particular? Explique sucintamente. 5S.12 Lembrando que a sua mãe uma vez lhe disse que uma peça de carne deve ser cozida até que todas as suas partes tenham atingido uma temperatura de 80 C, quanto tempo será necessário para cozinhar uma peça de carne com 2,25 kg? Admita que a carne se encontra inicialmente a 6 C e que a temperatura no forno é de 175 C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 15 W/(m 2 K). Trate a peça como um cilindro com diâmetro igual ao comprimento e propriedades iguais às da água líquida. 5S.13 Um longo bastão com 20 mm de diâmetro é fabricado em alumina (óxido de alumínio policristalino) e se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme de 850 K. O bastão é subitamente exposto a um fluido a 350 K, com h 500 W/(m 2 K). Estime as temperaturas no eixo central do bastão, em uma das extremidades expostas e a uma distância axial de 6 mm dessa extremidade, 30 s após o início da exposição do bastão ao fluido. 5S.14 Considere o cilindro de aço inoxidável do Exemplo 5S.1, que se encontra inicialmente a 600 K e subitamente é imerso em um banho de óleo a 300 K com h 500 W/(m 2 K). Elabore um programa para obter as soluções a seguir. (a) Calcule as temperaturas, T(r, x, t), após 3 min da imersão, no centro do cilindro, T(0, 0, 3 min), no centro de uma face circular, T(0, L, 3 min) e a meia altura da lateral, T(r o, 0, 3 min). Compare os seus resultados com aqueles do exemplo. (b) Calcule e represente graficamente os históricos de temperatura no centro do cilindro, T(0, 0, t) e a meia altura da lateral, T(r o, 0, t), para 0 t 10 min. Comente sobre os gradientes presentes nesses locais e quais efeitos eles podem ter nas transformações de fases e nos estresses térmicos. Sugestão: Na sua varredura do intervalo de tempo, inicie em 1 s em vez de zero. (c) Para 0 t 10 min, calcule e represente graficamente os históricos de temperatura no centro do cilindro, T(0, 0, t), para coeficientes convectivos de 500 W/(m 2 K) e 1000 W/(m 2 K).

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