sica- Matemática tica e a equação diferencial parcial que descreve o fluxo de calor

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1 A Equação de Calor

2 Uma das EDP s clássica da FísicaF sica- Matemática tica e a equação diferencial parcial que descreve o fluxo de calor em um corpo sólido. s E uma aplicação mais recente é a que descreve a dissipação de calor gerado pelo atrito em vôos espaciais na re-entrada entrada na atmosfera terrestre.

3 condução

4 isolamento Fluxo de calor Fluxo de calor

5 Considere uma barra com seção uniforme de um material homogêneo. Seja u(x,t) a temperatura localizada em x no tempo t. Desejamos desenvolver um modelo para determinar o fluxo de calor através s da barra. Para isto devemos seguir alguns princípios pios básicos b das fisica: A.. A quantidade de calor fluindo através s da barra é proporcional é proporcional a u / x multiplicado por uma constante de proporcionalidade k(x) chamada a condutividade térmica do material.

6 B. O fluxo de calor é sempre no sentido desde um ponto de maior temperatura a pontos de menor temperatura. C.. A quantidade de calor necessário para atingir a temperatura de um corpo de massa m em um a quantidade Δu é m c(x) Δu, onde c(x) é chamada de calor específico do material. Assim, para determinar a quantidade de calor que flui através s de uma seção de superfície A em um um tempo Δt t está dado pela fórmula: f u H ( x) = k( x)( area of A) Δt ( x, t) x

7 Analogamente,, no ponto x +Δx, + temos H u ( x + Δx) = k( x + Δx)( area of B) Δt ( x + Δx, t). t Se no intervalo [ [x, x+δx], no tempo Δt, existe alguma outra fonte de calor adicional, como por exemplo reações químicas, aquecimento ou correntes elétricas com densidade de energia Q(x,t),, a variação total de calor ΔE está dada pela fórmula: f

8 ΔE E = entrada de calor A saída de calor B + calor gerado. Com ΔE E = c(x) m Δu,, onde m = ρ(x) ΔV, dividindo por (Δx)( x)(δt) t),, e tomando limites com Δx, e Δt 0,, obtemos: x u u k ( x) ( x, t) + Q( x, t) = c( x) ( x) ( x, t) x ρ t Assumindo que k, c, ρ são constantes, 2 temos: u 2 u = β + p( x, t) 2 t x

9 Condições iniciais e de fronteira São dadas condições iniciais e de fronteira para u(x,t). Consideramos um modelo matemático tico para uma barra condutora de calor isolada termicamente, sem fontes ou sumidouros com condições de fronteira homogêneas e com uma distribuição inicial de temperatura dada por f(x) :

10 . 0 ), (,0) ( 0, 0, ), ( ) (0, 0,, ),0, ( ), ( 2 2 L x x f x u t L t u t u t L x t x x u t x t u < < = > = = > < < = β A equa A equação de calor unidimensional ão de calor unidimensional

11 O método m de separação de variáveis veis Propomos uma solução da forma u(x,t) = X(x) T(t). Substituindo na equação obtemos: X ( x) T this leads T '( t) X ''( x) = = Constants. k β T ( t) X ( x) T '( t) '( t) = β X to the ''( x) T following ( t), 0 < x < L, t > eq. Que conduz à seguinte equação Thus we temos have β kt ( t) = 0 and e X ''( x) kx ( x) = 0. 0.

12 Condições de fronteira se estamos interessados na solução não trivial X(x), que satisfaz: X ' ' ( x) X (0) = ( L ) ( x) Podemos considerar três casos: k = 0, k > 0 e k < 0. 0 X kx = = 0 0

13 Caso (i): k = 0. Neste caso temos X(x) = 0, a solução trivial Caso (ii( ii): k > 0. Seja k = λ 2, então subsituindo temos X - λ 2 X = 0. O conjunto fundamental de soluções é: : { e λ x, e -λx }. E a solução geral está dada por : X(x) = c 1 e λx + c 2 e -λx X(0) = 0 c 1 + c 2 = 0, e X(L) = 0 c 1 e λl + c 2 e -λl = 0, assim c 1 (e 2λL -1) = 0 c 1 = 0 e c 2 = 0. Mais uma vez obtemos a solução trivial X(x) 0.

14 Ainda bem que temos mais um caso (iii) quando k < 0. 0 Novamente começamos com k = - λ 2, λ > 0. 0 X (x) + λ 2 X(x) = 0, 0 cuja equação característica é r 2 + λ 2 = 0, ou r = ± λ i. A solução geral: X(x) = c 1 e iλx + c 2 e -iλx ou: X(x) = c 1 cos λ x + c 2 sin λ x.

15 Aplicando as condições de fronteira temos X(0) = X(L) = 0 que implica que: c 1 = 0 e c 2 sin λ L= 0, para que isto acontecer deve ser λ L = nπ n, i.é. λ = nπ n /L ou k = - (nπ /L ) 2. assim X n (x) = a n sin (nπ /L)x, n = 1, 2, 3,...

16 Para T (t) - βkt(t) ) = 0, k = - λ 2. Re-escrevendo escrevendo esta equação como: T + β λ 2 T = 0 ou T = - β λ 2 T. Vemos que as soluções são da forma n () T t = b e n n π β L t

17 u(x,t) ) = u n (x,t), para todo n. Mais precisamente, u ( x, t) We must u( x,0) = = 1 have 1 c Devemos ter c n n e : sin ( x) Isto conduz novamente à questão se é possível representar a f(x) por uma série s de Fourier em senos? 2 nπ β L t sin nπ x L = nπ x L f..

18 A equação de calor bidimensional A distribuição de temperatura em uma placa

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20 As equações no estado transitório rio e no estado estacionário Laplace Equação de calor

21 Métodos numéricos 1. método das diferenças finitas 2. métodos m todos dos elementos finitos 3. métodos m todos dos volumes finitos 4. método m dos elementos de contorno

22 Métodos das Diferenças finitas e dos Elementos finitos

23 Método das diferenças finitas

24 Resolvendo a equação de LAPLACE O procedimento padrão consiste em particionar o domínio gerando uma malha. Cada nón da malha é identificado como um elemento na matriz e seu valor depende dos nós n s vizinhos. m j+1 j 2 1 i,j i i+1 n Usando diferenças centradas 2 Ω i+ 1, j i, j i 1, j 2 = 2 u 2 Ω i, j+ 1 i, j i, j 1 2 = 2 v & Ω u Ω 2Ω +Ω Δu Ω 2Ω +Ω Ω + = v 0 Δv

25 Para uma partição for uniforme então Δu = Δv Ω 4Ω +Ω +Ω +Ω = 0 i+ 1, j i, j i 1, j i, j+ 1 i, j 1 Ω +Ω +Ω +Ω i+ 1, j i 1, j i, j+ 1 i, j 1 4 =Ω O que isto significa? Obtemos o valor em cada nó fazendo a média com os valores no nós vizinhos dispostos sobre uma cruz +. Isto funciona para os nós localizados no interior da região. Para os nós próximos da fornteira usamos os valores dados pelas condições de fronteira. i, j

26 Exemplo T = 10 T = 0 a 11 a 21 a 12 a 13 a 22 a 23 T = 0 Calculemos os valores do potencial nos nós internos usando valores nas fronteira. Não há fontes nem sumidouros. a 31 a 32 a 33 T = 0 a Para o nó a 11 + a = a 11 Para o nó a 12 Para o nó a 13 Para o nó a 21 a12 + a13 + a a a = 12 + a a a + a + a + 0 = a = 13 21

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28 WITH 50 X 50 GRID MAP: CONTOUR MAPPING Potential Breadth Length

29 A equação parabólica Sendo U a temperatura

30 Três esquemas de integração temporais 1.. Explícito 2. Implícito 3. Crank-Nicolson

31 Esquema Explícito

32 Esquema Implícito

33 Crank-Nicolson

34 Aproximação das derivadas de segunda ordem

35 Aproximação das derivadas de primeira ordem em relação a x

36 Aproximação das derivadas de primeira ordem em relação a y

37 Discretização temporal

38 Discretização esquema explícito

39 Discretização esquema implícito

40 Discretização usando o esquema de Crank-Nicolson