Física Computacional 14 EDDPs dependentes do tempo: continuação, eq. do calor

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1 Física Computacional 14 EDDPs dependentes do tempo: continuação, eq. do calor 1. Simular um meio extenso com EDDPs a. EDDPs hiperbólicas e parabólicas com evolução no tempo b. Métodos implícitos e explícitos para a evolução no tempo c. Caso1: Eq. Das ondas d. caso2: Eq. do calor de Fourier bicudo@tecnico.ulisboa.pt Física Computacional - MEFT 2013/14 P. Bicudo 1

2 (continuação) Eq. do calor, de Fourier Consideremos uma barra onde se propaga o calor, e onde, devido a capacidade calorífica, o calor afeta a temperatura T. Demonstra-se que a equação da evolução da temperatura T, campo escalar T(t,x,y,z) que pretendemos determinar, é dada pela a equação da difusão do calor de Fourier. A 1+1 dimensões temos, =k T xx, a 1+2 dimensões temos, =k (T xx +T yy ), a 1+3 dimensões temos, =k (T xx +T yy +T zz ), Física Computacional - MEFT 2010/11 P. Bicudo & P. Martins 2

3 Eq. da difusão do calor Consideremos um troço duma barra com calor a entrar nos dois extremos. Em 1 a ordem, o fluxo em cada extremo deve-se ao gradiente da temperatura T=T(t,x), que é uma função do tempo t e da posição x. Q direita = K A T x (t, x+h) Q esquerda =K A T x (t,x) Onde K é a condutividade térmica e A a secção. T(t,x) T(t,x+h) Q esquerda Q direita O x x+h x Física Computacional - MEFT 2010/11 P. Bicudo & P. Martins 3

4 O fluxo de calor vai levar ao aquecimento/arrefecimento do troço da barra, cuja energia interna U é dada, também em 1 a ordem, pelo calor específico, U =C v T, C v =c v rv onde r é a densidade e V é o volume. O balanço energético é, (t, x)+ K A c v rv [ T (t, x+h)+t x x (t, x)]=0 no limite h 0, ganhamos outra derivada e obtemos a eq. do calor, (t, x)=k T xx onde o coeficiente k= K c v r [m2 /s] é a difusibilidade térmica. 4

5 A equação da difusão do calor, proposta por Fourier, também se obtém da mesma forma para duas dimensões, considerando uma placa bi-dimensional aquecida nos lados, =k (T xx +T yy ), ou um paralelepípedo tri-dimensional aquecido nas faces, =k (T xx +T yy +T zz )=Δ T. A constante k é a mesma em qualquer dimensão. Devido ao Laplaceano, nas suas derivadas espaciais a eq. Fourier é semelhante à eq. Laplace e à eq. Poisson, também é semelhante à eq. das ondas tridimensionais, pelo que as suas soluções, tanto numéricas como analíticas terão alguns pontos (não todos) em comum. 5

6 Apresentamos uma tabela de alguns valores para a difusibilidade térmica de algumas amostra de materiais correntes, notando que os valores dependem da temperatura e da amostra específica quando se trata de materias com grandes variações material K [m 2 / s] grafite pirolítico 1.22 x 10-3 cobre 1.11 x 10-4 água 1.43 x 10-6 ar 1.9 x 10-5 aço x 10-5 tijolo 5.2 x 10-7 PVC 8 x 10-8 madeira 8.2 x10-8 6

7 Solução numérica A solução numérica mais simples é obtida com diferenças finitas de 1a ordem, onde no tempo usamos a eq. de Euler retardada (por exemplo para o caso uni-dimensional), T (t+h t, x)=t (t, x)+h t k T xx (t, x) e no espaço substituímos a segundas derivadas por, T xx (t, x)= 1 Se notarmos para a média dos primeiros vizinhos, também utilizada por exemplo na solução da eq. Poisson, T (t, x)= 1 2 h x 2 obtemos a solução por iteração, [T (t, x+h) 2 T (t, x)+t (t, x h)] [T (t, x+h)+t (t, x h)] T (t+h t, x)=t (t, x)+ 2h t h x 2 k [ T (t, x) T (t, x)] Física Computacional - MEFT 2010/11 P. Bicudo & P. Martins 7

8 A solução numérica é estável, pelo critério de von Neumann, se: 2 h t h k<1 h < h x 2 t x 2k mas obviamente quanto menores forem os passos maior será a precisão do resultado. A iteração é muito semelhante à da eq. Laplace, mas agora a iteração tem significado físico: cada passo corresponde a um avanço no tempo. Para 2 e 3 dimensões usa-se o mesmo algoritmo, onde onde o fator 2 passa respetivamente a 4 e a 6, pois o número de primeiros vizinhos aumenta Física Computacional - MEFT 2010/11 P. Bicudo & P. Martins 8

9 Solução analítica A solução analítica mais poderosa usa transformadas de Fourier. Aqui consideramos exemplos com soluções mais simples, todos para barras uni-dimensionais, ou sistemas tri-dimensionais invariantes para translações planas. 1) Caso estático, no limite Tt 0. Neste caso temos a eq. de Laplace, Txx=0, o que implica uma solução linear. 2) Onda amortecida. Num extremo temos uma temperatura oscilante (por exemplo a temperatura a oscilar diariamente ou anualmente). No outro extremo bastante distante temos uma temperatura constante. Se assumirmos um amortecimento da temperatura do tipo, T (t, x)=exp( λ x)cos(w t)~ exp( λ x±i w t) ±i w+k λ 2 =0 λ=± w /k 2 ±i w /k 2 2 w k logo, a velocidade da onda amortecida é Física Computacional - MEFT 2010/11 P. Bicudo & P. Martins 9