Física Computacional 16 a Eq. de Schrödinger como

Transcrição

1 Física Computacional 16 a Eq. de Schrödinger como caso de estudo de EDO e EDDP 1. A equação de Schrödinger como caso de estudo de EDO e de EDDP a. O nascimento da Mecânica Quântica há um século b. Derivando a Eq. de Schrödinger c. O nosso caso de estudo: uni-dimensional, estacionário, oscilador harmónico d. Solução analítica para o estado fundamental e. Estados ecitados f. Origem da instabilidade numérica com o método de Euler g. A Eq. de Schrödinger como Eq. matricial bicudo@tecnico.ulisboa.pt Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 1

2 A equação de Schrödinger como caso de estudo de EDO e de EDP c++ O nascimento da Mecânica quântica (MQ) há um século. Em 1899, a MQ nasce com a soma discreta da radiação de Planck, utilizada em Física Estatística. A Física Estatística estuda sistemas com um grande número de partículas e calcula médias considerando os possíveis micro-estados. Planck conseguiu entender a radiação do corpo negro, que inclui todos os tipos de ondas eletromagnéticas, visíveis e invisíveis. Um eemplo de corpo negro é uma simples caia contendo radiação, com uma pequena janela aberta para a passagem da radiação Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins

3 Plank conseguiu a reproduzir os dados eperimentais, limitando as energias possíveis da radiação a valores múltiplos de um valor muito pequeno, o quantum de radiação, onde surgiu a constante de Planck h. E n h, h J s Anteriormente os físicos tinham considerado simplesmente que todas as energias eram possíveis, tinham assumido um continuum de energia. -34 E E Para os matemáticos, isto equivale a substituir a integral por uma soma, um conceito matemático bem mais simples de definir, Pedro Bicudo, IST 3

4 O efeito fotoeléctrico de Einstein (1905) Einstein levou mais longe o conceito de quantum de luz, ao qual chamou de fotão. Notemos que Einstein realizou a sua Tese em física estatística, e que desde o liceu, ele estava interessado no problema da velocidade da luz na relatividade. Einstein propôs, em 1905, para resolver o problema do efeito fotoeléctrico, que a luz seja composta de quanta de energia, E h ev h ev 0 e Pedro Bicudo, IST 4

5 A MQ tornou-se verdadeiramente eficaz quando o momento linear p=mv dos fotões e dos electrões foram quantificados. Já em 1913 Bohr havia quantificado o momento angular dos electrões no átomo, e em 1916, Einstein havia quantificado o momento linear do fotão. Mas Louis de Broglie foi mais longe na ligação entre a onda de partículas ao longo da dualidade onda-partícula enfatizada por Einstein em De Broglie descobriu uma relação, p h que complementa a famosa relação da energia de Planck- Einstein, E h v Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 5

6 Derivando a eq. de Schrödinger. Na época os físicos eram especialistas em ondas, pois no anterior século XIX tinham havido grandes progressos nos estudos das ondas não lineares, e das respectivas equações diferenciais. Para começar podemos verificar que, numa onda plana, Ne i( k wt) eistem operadores diferenciais que equivalem tanto ao momento de de Broglie como à energia de Plank, h ik i p i, h iw i v E i, t t Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 6

7 Schrödinger tentou partir de várias equações clássicas, mas teve sucesso quando aplicou a sua substituição na equação da conservação da energia mecânica clássica, p m V( r ) E Chegando à Equação (de Schrödinger), p ( r, t) V( r ) ( r, t) E ( r, t) m ( h / ) ( r, t) V( r ) ( r, t) i m h t ( r, t) Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 7

8 O nosso caso de estudo: uni-dimensional, estacionário, oscilador harmónico No entanto esta equação é uma equação diferencial às derivadas parciais (EDDP), e começa-se por estudar normalmente um caso simplificado. Podemos estudar um caso uni-dimensional afim de simplificarmos o Laplaceano. E ainda podemos considerar apenas as soluções estacionárias, entendidas por Bohr, afim de ficarmos sem a derivada no tempo Finalmente considerarmos uma eemplo de potencial, e consideramos o potencial do oscilador harmónico. Assim ficamos com uma equação diferencial ordinária (EDO). A eq. é linear na função de onda e nas suas derivadas, mas os coeficientes não são lineares, ( ( h / ) m d d k ( E ( Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 8

9 Solução analítica para o caso fundamental Para obter uma primeira solução, consideremos sem perda de generalidade um sistema de unidades tal que h/=m=k=1, ficando a eq. na forma, d d ( ( E) ( No limite de grande podemos desprezar a energia. Podemos ainda supor que uma solução para grande deverá verificar, d d ( ( Ne ( ( ( Ne Obtemos assim duas soluções, uma que diverge e outra uma gausseana que tende para 0 para grandes Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 9

10 A solução que tem alguma semelhança com a solução clássica é a solução convergente com a forma de uma gaussiana Verifiquemos então se esta solução, para além de ser válida para grande, é válida para todo o, d d φ( = d = d ( Ne d d Ne ) =( 1 )Ne E realmente esta solução é boa, sendo a sua energia, E 0= Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 10

11 Estados ecitados Que outras soluções podemos ter para o mesmo comportamento a grande? Como a eponencial domina sobre os polinómios, podemos ter soluções do tipo, ( polinómio( Ne e : d d Ne (, 3) Ne E 1 3 Onde o estudo destes polinómios (neste caso de Hermite) será dado nas cadeiras de mecânica quântica. Os polinómios pares têm as mesma condições fronteira que o estado fundamental φ(0 )=cste,φ ' (0)=0, mas os ímpares tem uma condição fronteira diferente φ(0 )=0,φ ' (0)=cste, Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 11

12 Origem da instabilidade numérica A origem da instabilidade numérica está na eistência de uma solução eplosiva. Assim que tenhamos >E, a solução é uma combinação linear entre a solução eplosiva e a solução que tende para 0. O erro numérico faz com que as soluções que tendam para 0 já não tenham energias eactamente iguais a, E n = n+1/, n=0,1,... mas sim tenham um pequeno desvio desses valores. Se usarmos os valores de En obtidos analiticamente eistirá na solução numérica uma mistura da componente eplosiva, que, mesmo que seja pequena, irá acabar por eplodir. No entanto, numericamente, mesmo assim podemos obter uma solução ecelente, muitíssimo próima da solução analítica Física Computacional - MEFT 009/10 P. Bicudo & P. Martins 1

13