As bases da Dinâmica Molecular - 2

Transcrição

1 As bases da Dinâmica Molecular - 2 Alexandre Diehl Departamento de Física - UFPel

2 Um pouco de história... SCEF 2

3 Um pouco de história... A pré-história da Dinâmica Molecular A ideia da Dinâmica Molecular (MD) de sistemas físicos é introduzida... J. Chem. Phys. 27, 1208 (1957) SCEF 3

4 Um pouco de história... A pré-história da Dinâmica Molecular J. Chem. Phys. 31, 459 (1959) Um algoritmo de MD é proposto... SCEF 4

5 Um pouco de história... A pré-história da Dinâmica Molecular Phys. Rev. 136, A405 (1964) Um sistema físico realista é estudado por MD... SCEF 5

6 A ideia básica de MD Um algoritmo simples: O sistema é constituído de partículas (pontuais) e as interações entre elas. Uma configuração inicial (posições, velocidades) para as partículas do sistema é proposta. As equações de movimento (EDO) clássicas das partículas são resolvidas de forma iterativa, usando um método de diferenças finitas. SCEF 6

7 A ideia básica de MD Um método simples: Resolver a EDO, para obter a posição e velocidade como função do tempo, usando uma expansão temporal do tipo Taylor: Erro EULER SCEF 7

8 A ideia básica de MD Um método simples: Incremento de tempo EULER O incremento de tempo é pequeno. A pergunta é: qual valor deve ser usado? 1.O valor não pode produzir instabilidades numéricas no método de integração das EDOs. 2. O valor deve permitir que colisões sucessivas entre as partículas sejam observadas. 3.Deve ser tal que a evolução temporal do sistema seja observada num tempo físico razoável. SCEF 8

9 A ideia básica de MD Um método mais confiável: Condições que devem ser observadas 1. De fácil implementação. 2. Rápido no processamento computacional. 3. Seja estável para incrementos de tempo grandes, a fim de que tempos de computação mais longos sejam atingidos. 4. As trajetórias das partículas sejam reprodutíveis (inversão temporal, por exemplo). 5. Deve conservar energia (nem todos os casos), conservar momento linear e momento angular. SCEF 9

10 O método de Verlet Um método mais confiável: O algoritmo de VERLET Phys. Rev. 159, 98 (1967) SCEF 10

11 O método de Verlet Expansão em Taylor Expansão em Taylor Quando somadas, obtemos a equação de evolução da posição: SCEF 11

12 O método de Verlet Expansão em Taylor Expansão em Taylor Quando subtraídas, obtemos a equação de evolução da velocidade: SCEF 12

13 O método de Verlet Expansão em Taylor Expansão em Taylor Quando subtraídas, obtemos a equação de evolução da velocidade: SCEF 13

14 O método de Verlet Equações de evolução para Verlet Vantagens do método de Verlet Evolução das posições mais precisa do que o método de Euler. Estável para longos tempos de interação. Reversível no tempo. Apresenta boa conservação de energia para tempos longos. SCEF 14

15 O método de Verlet Equações de evolução para Verlet Desvantagens do método de Verlet As equações de evolução têm problemas para tempo zero. A equação da velocidade tem problemas numéricos (divisão de números pequenos). O erro na velocidade é grande. A posição e a velocidade são avaliadas a tempos distintos. SCEF 15

16 O método de Verlet Equações de evolução para Verlet SCEF 16

17 O método de Verlet A cada ciclo de integração das EDOs 1. Com as posições no tempo t, calculamos as acelerações neste tempo, usando as expressões derivadas a partir do potencial de interação. 2. Com as acelerações, avançamos as posições para um incremento de tempo, usando a equação de Verlet: 3. Com as novas posições, calculamos as velocidades, caso necessário, usando a equação de Verlet. Repetimos o ciclo, avançando as posições e velocidades para cada novo incremento de tempo. SCEF 17

18 O método de Verlet A cada ciclo de integração das EDOs SCEF 18

19 J. Chem. Phys. 76, 637 (1982) SCEF 19

20 Derivação, usando as equações de Verlet (1) (2) Da equação (2) temos Que substituída na equação (1) resulta em SCEF 20

21 Derivação, usando as equações de Verlet (1) (2) Da equação (2) temos Que substituída na equação (1) resulta em SCEF 21

22 Derivação, usando as equações de Verlet (1) (2) Da equação (2) temos Que substituída na equação (1) resulta na equação de evolução da posição (3) SCEF 22

23 Derivação, usando as equações de Verlet (2) Para obter a equação de evolução para a velocidades, usamos a equação (2): SCEF 23

24 Derivação, usando as equações de Verlet (2) Para obter a equação de evolução para a velocidades, usamos a equação (2): (4) SCEF 24

25 Derivação, usando as equações de Verlet (1) SCEF 25

26 Derivação, usando as equações de Verlet (1) (5) SCEF 26

27 Derivação, usando as equações de Verlet Substituindo (5) em (4) teremos 1 1 SCEF 27

28 Derivação, usando as equações de Verlet Substituindo (5) em (4) teremos SCEF 28

29 Derivação, usando as equações de Verlet Substituindo (5) em (4) teremos (6) SCEF 29

30 Derivação, usando as equações de Verlet Substituindo (3) em (6) teremos SCEF 30

31 Derivação, usando as equações de Verlet Substituindo (3) em (6) teremos e equação de evolução da velocidade (7) SCEF 31

32 Equações de evolução para velocity-verlet Vantagens do método de velocity-verlet Pode ser usado a partir de tempo igual a zero. Velocidade não é obtida a partir da razão entre números pequenos. Posição e velocidade avaliados no mesmo tempo. SCEF 32

33 Equações de evolução para velocity-verlet Desvantagens do método de velocity-verlet Exige o cálculo das acelerações duas vezes num mesmo ciclo de integração das EDOs. SCEF 33

34 A cada ciclo de integração das EDOs 1. Avançamos as velocidades até metade do incremento de tempo, usando: 2. Com estas velocidades, avançamos as posições por um incremento de tempo, usando: pois isto será equivalente à equação de evolução das posições de SCEF 34

35 A cada ciclo de integração das EDOs 3. Com as novas posições, calculamos as novas acelerações, usando a rotina derivada a partir do potencial de interação proposto. 4. Com as novas acelerações, atualizamos as velocidades até pois isto será equivalente à equação de evolução das velocidades de Repetimos o ciclo, avançando as posições e velocidades para cada novo incremento de tempo. SCEF 35

36 A cada ciclo de integração das EDOs SCEF 36

37 Rotina de integração das EDOs Etapas 1 e 2 Etapa 3 Com calculamos as novas acelerações SCEF 37

38 Rotina de integração das EDOs Etapa 4 O cálculo das velocidades deve ser feito em dois momentos: Um com os valores de aceleração a tempo Outro com os valores de aceleração a tempo SCEF 38

39 Proposta de estrutura em MD, usando velocity-verlet Inicializa posições e velocidades Cálculo de acelerações Cálculo de propriedades de interesse SCEF 39

40 Proposta de estrutura em MD, usando velocity-verlet Dimensão do espaço SCEF 40