MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS À ENGENHARIA

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS À ENGENHARIA INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS E DE VOLUMES FINITOS Prof. Dr. Admilson T. Franco Agosto de 2011

2 CAPÍTULO 1 Introdução ao Método de Diferenças Finitas e Aplicações Nesse capítulo são apresentadas as motivações para o estudo de métodos numéricos em engenharia e exemplos de aplicações da solução numérica. 1.1 Introdução Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs) aparecem em inúmeros problemas da física-matemática. Em especial, na área de engenharia, todo cálculo um pouco mais elaborado normalmente recai em uma equação diferencial. Como poucas EDs têm solução analítica possível ou viável, os métodos numéricos aparecem como uma ferramenta extremamente eficiente para sua solução. O uso de métodos numéricos é extremamente difundido em engenharia, atualmente. A Tabela 1.1 mostra o vertiginoso desenvolvimento do hardware nos últimos 50 anos. Pode-se também afirmar que o desenvolvimento dos softwares seguiu a mesma proporção. Tabela 1.1 Comparação entre o Eniac e o Pentium. Eniac (1.945) Pentium (1.993) Volume 558 m³ cabe em qualquer mesa Peso 30 ton. 5 kg Arquitetura do Sistema válvulas 3,1 milhões de transistores Operações por segundo 3,5 mil 100 milhões Preço (US$) 260 milhões 3 mil Fonte: Revista ISTOÉ / /02/96 pág. 84. Pentium.Pro 100 mil vezes mais rápido que o Eniac. Na Figura 1.1 é apresentada uma foto do primeiro computador, o ENIAC. 2

3 Figura 1.1 Primeiro computador ENIAC (1945) O uso de técnicas numéricas para solução de complexos problemas de engenharia tem permitido o projeto e otimização de equipamentos e sistemas de uma forma jamais imaginada a 30 ou 40 anos atrás. Isto foi possível principalmente ao fantástico desenvolvimento da capacidade computacional tanto em termos de velocidade e capacidade de armazenamento como ao aperfeiçoamento dos métodos numéricos. A facilidade de utilização dos métodos numéricos e a qualidade dos resultados obtidos tem sido um atrativo sempre crescente para aumentar sua utilização, aliada a economia de tempo de projeto e obviamente, do custo total do equipamento. Para se reforçar a atratividade dos métodos numéricos para simulação, atualmente um escoamento turbulento supersônico sobre um aerofólio requer alguns minutos de CPU com custo de centenas de dólares. A mesma simulação na década de 60, consumiria um tempo de computação de aproximadamente 30 anos, com custo de 10 milhões de dólares. A enorme difusão da simulação numérica se justifica, então, pelo barateamento dos equipamentos computacionais e desenvolvimento (aprimoramento) dos métodos numéricos utilizados na soluções das equações diferenciais que regem o fenômeno. 1.2 Métodos de Solução de Problemas Em engenharia existem principalmente três métodos de solução de problemas: Métodos analíticos, os quais conduzem a resultados analíticos, (R. A.); Métodos numéricos (experimentação numérica), (R. N.); Experimentação em laboratório, (R.E.). 3

4 Os métodos analíticos são a melhor forma de solucionar os problemas, pois fornecem um solução de forma fechada. Entretanto, poucos problemas de engenharia podem ser resolvidos dessa forma, devido as dificuldades impostas pelo conjunto de equações (normalmente EDPs de 2 a ordem e não-lineares) que regem o fenômeno. Mesmo as soluções analíticas para alguns problemas, quando existem, normalmente contém séries infinitas, funções especiais ( erf, ), equações transcendentais para autovalores, etc. No entanto, as soluções analíticas, mesmo de alguns problemas simples e de pouco interesse prático, servem de base para a compreensão do comportamento do sistema de equações, para o desenvolvimento de métodos numéricos e validação de códigos computacionais. A experimentação em laboratório trata com a configuração real e é imprescindível quando estudando um novo fenômeno. Tem como desvantagem o custo muitas vezes proibitivo, problemas de segurança como transferência de calor no núcleo de reatores nucleares, ou impossibilidade de reprodução das condições reais, como vôos supersônicos em grandes altitudes ou simulação de reservatórios de petróleo. Na ausência de modelos matemáticos estabelecidos e em geometrias extremamente complexas, muitas vezes esta é a única alternativa viável. Os métodos numéricos praticamente não apresentam restrições e oferecem atrativas vantagens como: Baixo custo: a maior vantagem sobre os outros métodos; Velocidade: centenas de diferentes configurações podem ser testadas em poucas horas; Informações Completas: fornece o valor das variáveis relevantes em qualquer ponto de interesse; Facilidade de Simular Condições Realísticas: pode tratar qualquer condição de contorno, velocidades altas ou baixas, temperaturas altas ou baixas, domínios pequenos ou amplos. Qualquer geometria arbitrária pode, a princípio, ser tratada. 1.3 Tipos de Erros Dois tipos de erros que podem estar presentes na solução numérica quando os resultados são comparados com a realidade de um problema físico: erros numéricos: resultantes da má solução das equações diferenciais. É necessário comparar com outras soluções analíticas ou numéricas. 4

5 erros: resultantes do uso de equações diferenciais que não representam adequadamente o fenômeno. A comparação entre: (R.N.) e (R.A.) ou outro (R.N.) validação numérica. (R.N.) e (R.E.) validação física. 1.4 Solução Numérica A solução numérica de um problema de engenharia é feita com as seguintes etapas: 1. Modelo matemático: construído a partir da observação do fenômeno, usando leis da física e da matemática. Julga-se que esse modelo represente muito apropriadamente o comportamento real do fenômeno físico. 2. Modelo numérico: obtido a partir do modelo matemático usando-se um método de aproximação para as equações diferenciais. Esse método consiste na discretização do domínio e na solução da equação em pontos específicos. Portanto, tem-se a seguinte sequência em uma solução numérica: Modelo Físico Modelo Matemático Modelo Numérico Solução Numérica (Processo iterativo) Resultados Numéricos A Figura 1.2 ilustra de forma adequada essas etapas. Modelagem Matemática Problema Físico Ajuste do Modelo Equações Governantes Discretização Sistema de Equações Algébricas Análise e Interpretação Solução Aproximada Resolução das Equações Algébricas 5

6 Figura 1.2 Etapas envolvidas na solução numérica de um problema físico Notar que, como desejamos que os resultados numéricos representem o fenômeno físico que estamos reproduzindo numericamente, deve-se ter o máximo cuidado em todas as etapas de solução de um problema, com o risco de se obter resultados que não possuem significado físico. Uma importante observação é: A ferramenta numérica é a adequada e confiável quando se está de posse de um método numérico que resolva corretamente as equações diferenciais, e de um modelo matemático, que represente com fidelidade o fenômeno físico. 1.5 Diferenças Finitas, Volumes Finitos e Elementos Finitos. O Método das Diferenças Finitas (MDF) sempre foi empregado pelos analistas das área de escoamento de fluidos, enquanto o Método dos Elementos Finitos (MEF) o foi para a área estrutural, na solução de problemas de elasticidade. Os problemas de escoamento são altamente não-lineares, enquanto os da elasticidade não possuem os termos convectivos, não-lineares, e assemelham-se a problemas puramente difusivos de Transferência de Calor. O MDF, atualmente, pode ser utilizado em qualquer tipo de malha, mesmo a nãoestruturada usada em elementos finitos. O Método dos Volumes Finitos (MVF) garante a conservação da propriedade envolvida (massa, quantidade de movimento e entalpia) no volume elementar, e é preferível em relação ao MDF. Na atualidade, ambos os métodos (MVF e MEF) estão resolvendo problemas altamente convectivos, inclusive com ondas de choque e em geometrias arbitrárias. Isto é esperado, visto que, eles são derivados do mesmo princípio e diferem apenas na forma de minimização escolhida. O MEF, aplicado em níveis de volumes elementares produz o Volume Finite Element Method (CVFEM). O Método dos Elementos de Contorno (BEM - Boundary Element Method), possibilita tratar apenas com a discretização da fronteira, sem necessidade de discretizar o domínio interno. Na Figura 1.3 são mostrados alguns exemplos de aplicação dos métodos numéricos em problemas de engenharia. 6

7 AEROESPACIAL Figura 1.3 Exemplos de Aplicação dos Métodos Numéricos 7

8 Atividade 1 Realizar a simulação do processo de transferência de calor em uma placa com as condições de contorno mostradas. Determinar o campo de temperatura em regime permanente. Fazer a simulação numérica do problema de condução de calor proposto com o programa Trans-CalV1.1, usando as 11 etapas do Processo de Análise e explicando-as. Entregar na próxima semana. O programa Trans-Cal V1.1 pode ser baixado do link: y T t = 100 o C H=0,5 m T l = 400 o C T r =300 o C T b = 200 o C x L=1,0 m 8

9 Lista de Exercícios 1 1) Quais são os métodos usados em engenharia para solução de problemas? Quais as características de cada um e o que diferencia a escolha para determinada aplicação? 2) No seu ponto de vista, quais as duas maiores vantagens da utilização de métodos numéricos para problemas de engenharia? 3) Explique as etapas para a solução numérica de um problema físico. 4) Foram obtidos dois conjuntos de dados sobre um certo problema físico. Um conjunto originou-se de uma simulação numérica, o outro a partir de um experimento físico. Qual dos conjuntos você considera mais representativo do fenômeno? Por quê? Discuta quais fatores podem levar um conjunto a ser mais representativo do que o outro, e vice-versa. 5) O que justifica o emprego em larga escala de métodos numéricos para problemas de engenharia atualmente? 6) Cite outros exemplos de aplicação de métodos numéricos não apresentados na Figura ) Cite 2 programas comerciais de larga aplicação em dinâmica dos fluidos. Faça o mesmo para a análise estrutural? 9