Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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1 Eletromagnetismo I Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo I Prof. Daniel Orquiza de Carvalo

2 Equação de Laplace (Capítulo 6 Páginas 160 a 172) Eq. de Laplace Solução numérica da Eq. de Laplace Eletromagnetismo I 2 Prof. Daniel Orquiza

3 Equação de Laplace A equação de Laplace permite solucionar problemas onde o potencial V é desconecido em parte das regiões do problema. Assim como no caso da Eq. de Poisson, normalmente, o potencial é conecido nas fronteiras do problema. Exemplo: Capacitor e problemas envolvendo meios dielétricos na presença de 60V condutores em potenciais V conecidos. ρ v = 0 1D 50V 30V ρ v = 0-10V 2D

4 Equação de Laplace O potencial conecido nos limites do problema é usado como Condição de Contorno para encontrar o potencial em todas as regiões. A equação de Laplace é um caso particular da Eq. de Poisson quando o problema não possui distribuições continuas de carga (densidades de carga). Tendo o potencial elétrico, é possível calcular E, D e J outras grandezas. 60V 30V ρ v = 0-10V ρ v = 0 1D 2D

5 Equação de Laplace Como vimos na aula passada, a equação de Poisson pode ser derivada a partir de Lei de Gauss. 2 V = ρ v ε Se a densidade volumétricas de carga for nula no problema em questão, a Eq. de Poisson se reduz à Eq. de Laplace. 2 V = 2 V x V y V z 2 = 0 Para um dado problema, a Eq. de Poisson em conjunto com as C.C. permitem encontrar a distribuição de potencial elétrico em todas as regiões. Eletromagnetismo I 5 Prof. Daniel Orquiza

6 Equação de Laplace A Eq. de Laplace pode ser expressa em outros Sistemas de Coordenadas usando o operador Laplaciano no sistema em questão. Em Coordenadas Cilíndricas, o operador Laplaciano fica: 2 V = 1 ρ ρ ρ V V ρ ρ 2 φ + 2 V 2 z 2 Em Coordenadas Esféricas, o operador Laplaciano fica: 2 V = 1 r 2 V r r2 r + 1 r 2 senθ V senθ + θ θ 1 2 V r 2 sen 2 θ φ 2 Eletromagnetismo I 6 Prof. Daniel Orquiza

7 Procedimento para solução da Eq. Equação de Laplace 1 Resolver a equação de Laplace por integração direta (1D) ou separação de variáveis (2D). A solução geral é expressa através de constantes de integração. 1D ( se V só é função de x) 2 V = 2 V(x) = 0 x 2 2 Aplicar as condições de contorno nas superfícies onde V é conecido e encontrar a solução particular. 50V 60V 30V -10V 1D 2D

8 Procedimento para solução da Equação de Laplace 3 Tendo o potencial em todos os campos, calcular E, D e J.! E = V 4 Tendo D n nos condutores determinar ρ s, Q e C = Q/V, etc. 60V ρ S =! D â n S = D n Nas superfícies dos condutores 50V 30V -10V 1D 2D

9 Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas Atualmente métodos numéricos são muito usados na solução de problemas de eletrostática e eletromagnetismo. Um exemplo é o Método das Diferenças Finitas. No MDF, as derivadas nas Equação Diferenciais são substituídas por equações de diferenças. V 2 V(x) Considerando o potencial V(x) ao lado, a derivada no ponto (a, V a ) é aproximada por: V a V V V 2 1 x a V 1 /2 a /2 x

10 Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas y A derivada parcial com relação a x no 50V x ponto a pode ser calculada por: V V V 1 0 x a A derivada parcial com relação a x no ponto c pode ser calculada por: V 3 b V 2 a V 0 V 1-10V V V V 0 3 x b V 4 30V

11 Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas y A derivada de segunda ordem em x no 50V x ponto 0 pode ser calculada usando as duas derivadas de primeira ordem. 2 V x 2 0 V x a V x b Substituindo as equações de diferenças: V 3 b V 2 a V 0 V 1-10V 2 V x 2 0 V 1 V 0 (V 0 V 3 ) 2 V 4 30V

12 Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas y De forma similar, a derivada de segunda 50V x ordem em y no ponto 0 fica: 2 V y 2 0 V y c V y d Substituindo as equações de diferenças: V 3 b V 2 d c a V 0 V 1-10V 2 V y 2 c V 2 V 0 (V 0 V 4 ) 2 V 4 30V

13 Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas Substituindo as duas derivadas parciais 50V de segunda ordem na Eq. de Laplace: y x 2 V x + 2 V 2 y = V 1 +V 2 +V 3 +V 4 4V 0 = Para que a equação acima seja satisfeita, o potencial em zero tem que ser a média do potencial em 1, 2, 3 e 4. V 0 = 1 ( 4 V 1 +V 2 +V 3 +V 4 ) V 3 b V 2 d c a V 0 V 1-10V Esta equação pode ser resolvida V 4 iterativamente para encontrar a distribuição de V. 30V

14 Procedimento para solução da Eq. Equação de Laplace 2V -3V 2V 2D

15 Procedimento para solução da Eq. Equação de Laplace 2V -3V -3V 2V 2D

16 Exemplo (Cabo Coaxial) Considere dois condutores cilíndricos separados por um meio dielétrico com ε r = 2,1 (teflon). O condutor interno tem raio a = 4mm e o externo tem raio b = 7 mm. Se V 0 = 5V é aplicado entre o condutor interno e o externo, determine: (a) E na região entre os condutores. (b) D nesta região. (c) ρ S no condutor interno. (d) Q em 1 m de comprimento do condutor interno. (e) A capacitância (por unid de comprimento). Eletromagnetismo I 16 Prof. Daniel Orquiza

17 Exemplo Considerando um capacitor de placas paralelas com área S = 7,8 cm 2, separação entre as placas d = 4,3 cm e diferença de potencial V 0 = 10V entre as placas. Considere ainda que a região entre as placas é preencida por um dielétrico com ε r = 3,2. Determine, usando a Eq. de Laplace: (a) E entre as placas. (b) D entre as placas. (c) ρ S na placa com potencial V 0 = 10V. (d) A carga na placa com potencial V 0 = 10V. (e) A capacitância C. Eletromagnetismo I 17 Prof. Daniel Orquiza