0.5 setgray0 0.5 setgray1. Mecânica dos Fluidos Computacional. Aula 4. Leandro Franco de Souza. Leandro Franco de Souza p.

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1 Leandro Franco de Souza p. 1/1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 Mecânica dos Fluidos Computacional Aula 4 Leandro Franco de Souza

2 Leandro Franco de Souza p. 2/1 A pressão em escoamentos compressíveis u t + u2 + (uv) v t + (uv) = 1 ρ + v2 = 1 ρ p + ν p + ν u + v = 0. 3 equações -> 3 incógnitas (u, v e p); Equações de transporte para u e v; ( 2 ) u u 2, ( 2 ) v v 2, Não há equação que exprima a variação temporal da pressão; COMO DETERMINAR O VALOR DA PRESSÃO NO INSTANTE t + t?

3 Leandro Franco de Souza p. 3/1 Cálculo da pressão ACOPLAMENTO PRESSÃO-VELOCIDADE 1) A partir de uma equação de Poisson para a Pressão: este método é amplamente utilizado na literatura. A equação de Poisson para a pressão faz a ligação entre a equação da continuidade e equações de conservação de momento. 2) Pela incorporação de um termo p/ t à equação da continuidade: conhecido como método da compressibilidade artificial, tem como vantagens possibilitar o uso de técnicas utilizadas para simulação de escoamentos compressíveis.

4 Leandro Franco de Souza p. 4/1 Equação de Poisson para a Pressão Um procedimento para obtermos a Eq. de Poisson para a pressão, consiste na aplicação das seguintes operações às equações de momento: (Eq. Momento dir. x) [ u t + u2 + (uv) [ v t + (uv) + = 1 ρ + v2 = 1 ρ (Eq. Momento dir. y) p + ν p + ν ( 2 )] u u 2 + ( 2 )] v v 2.

5 Leandro Franco de Souza p. 5/1 Equação de Poisson para a Pressão onde: t = 1 ρ ( u + v ) + 2 u v 2 2 ( 2 ) p p 2 + ν [ ( 2 u) (uv) = + ( 2 v) ], 2 u = 2 u u 2 e 2 v = 2 v v 2

6 Leandro Franco de Souza p. 6/1 Equação de Poisson para a Pressão 1 ρ ( 2 ) p p 2 = D t 2 u v (uv) +ν [ 2 ] D D), onde: é conhecido como dilatação. D = u + v =.u,

7 Leandro Franco de Souza p. 7/1 FORMULAÇÃO VORTICIDADE-FUNÇÃO DE CORRENTE Vorticidade: está associada ao movimento rotacional do fluido; é a medida de rotação de um elemento fluido em torno de um ponto. Definindo Vorticidade como -rotacional da velocidade temos: ω = u ω z = u v. Pode-se obter a equação de transporte de vorticidade fazendo-se: (Eq. Momento dir. x) (Eq. Momento dir. y).

8 Leandro Franco de Souza p. 8/1 FORMULAÇÃO VORTICIDADE-FUNÇÃO DE CORRENTE [ u t + u u + v u = p + 1 Re [ v t + u v + v v = p + 1 Re ( 2 )] u u 2 ( 2 )] v v 2 ( u v ) t = 1 Re + u ( u v ) ( 2 ( u v ) 2 + v ( u v ) + 2 ( u v ) ) 2. =

9 Leandro Franco de Souza p. 9/1 EQUAÇÃO DE TRANSPORTE DE VORTICIDADE ω z t + u ω z + v ω z = 1 Re ( 2 ω z ω z 2 ).

10 Leandro Franco de Souza p. 10/1 FUNÇÃO DE CORRENTE linhas de ψ constantes são linhas de corrente e são paralelas ao escoamento em todo o domínio não há fluxo através de uma linha de corrente constante. definição: u = ψ satisfaz a equação da continuidade: e v = ψ,.u = u + v = 2 ψ 2 ψ = 0.

11 Leandro Franco de Souza p. 11/1 Equação de Poisson para FUNÇÃO DE CORRENTE substituindo: ω z = u v, u = ψ na definição da vorticidade temos: e v = ψ, 2 ψ ψ 2 = ω z.

12 Leandro Franco de Souza p. 12/1 VORTICIDADE-FUNÇÃO DE CORRENTE ω z t + u ω z + v ω z = 1 Re ( 2 ω z 2 2 ψ ψ 2 = ω z, + 2 ω z 2 ), u = ψ e v = ψ. As equações iniciais foram substituidas por 2 equações diferenciais parciais; A redução do número de variáveis é que torna o método atrativo; se houver necessidade de se conhecer a pressão pode-se resolver a equação de Poisson para pressão;

13 Leandro Franco de Souza p. 13/1 VORTICIDADE-FUNÇÃO DE CORRENTE Definir uma malha computacional onde as equações serão resolvidas; Entrada de dados iniciais para o campo de velocidade; Usa-se um integrador temporal para a equação de transporte de vorticidade, através de diferenciação ω n+1 z ; Resolve-se a equação de Poisson para função corrente ψ n+1 ; Atualiza-se os valores das velocidades no tempo u n+1, v n+1 ; Atualiza-se o valor da vorticidade nos contornos sólidos no tempo ω n+1 z parede; Retorna ao passo 3 até atingir um estado estacionário ou um instante de tempo desejado.

14 Leandro Franco de Souza p. 14/1 Problemas com VORTICIDADE-FUNÇÃO DE CORRENTE Cálculo do valor da vorticidade nos contornos quando há presença de cantos no domínio; Extensão do método para 3 dimensões obtem-se um conjunto de 6 equações diferenciais parciais no lugar das 4 equações que são necessárias com a formulação que utiliza variáveis primitivas;