Solução aproximada de equações de uma variável

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1 Cálculo Numérico de uma variável Prof. Daniel G. Alfaro Vigo Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ

2 Parte I Localização de zeros e Método da bissecção

3 Motivação: Queda de um paraquedista Sob algumas hipóteses simplificadoras podemos considerar que a velocidade de um paraquedista em queda livre satisfaz a equação v(t) = g (1 e kt) k onde g = 9, 81 m/s 2 é a aceleração da gravidade e k > 0 é um coeficiente (com unidade 1/s) relacionado com a resistência do paraquedas.

4 Motivação: Queda de um paraquedista Conhecendo que um paraquedista em queda livre após 5 s tinha uma velocidade de 10 m/s, queremos saber qual é o valor do coeficiente k correspondente? Para isso devemos resolver a equação 10 = 10 9, 81 k 9, 81 k (1 e 5k) ( 1 e 5k) = 0.

5 Motivação: Queda de um paraquedista Ou seja, devemos determinar um zero da função 9, 81 ( f (x) = 10 1 e 5x ). x 10 y = f(x)=10-9,81 ( 1-e ⁵ˣ )/x zero de f -5

6 Motivação: Queda de um paraquedista Se tentarmos isolar a incógnita k na equação 10 = 9, 81 k ( 1 e 5k), infelizmente não conseguiremos! Isso não é de se surpreender, mesmo para funções polinomiais não existem fórmulas gerais para determinar seus zeros (Teorema de Abel-Ruffini). Alternativa prática Determinar uma solução aproximada com o nível de precisão prefixado. Mas, começemos por uma questão mais simples... Onde procurar pela solução da equação?

7 Localização de zeros: Teorema de Bolzano Teorema 1 [Teorema de Bolzano] Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) e f (b) possuem sinais diferentes (ou seja f (a)f (b) < 0), então existe um número c (a, b) tal que f (c) = f(x)=2x^3-x^2+x a c b Aqui f(c)=0

8 Localização de zeros Observações sobre o teorema de Bolzano Simples de aplicar. Indica uma condição apenas suficiente, mas a situação é muito geral! Garante a existência de pelo menos um zero, infelizmente não há garantia de unicidade. Teorema 2 (sobre a unicidade) Se além das condições do Teorema 1, a função é diferenciável no intervalo (a, b) e sua derivada não muda de sinal nesse intervalo (ou seja f (x) > 0 ou < 0 para todo x (a, b) ), então existe um único número c (a, b) tal que f (c) = 0.

9 Localização de zeros: Exemplo f (x) = 10 9, 81 x ( 1 e 5x ) f (0, 5) < 0, f (1, 5) > 0. f 9, 81 ( (x) = 1 e 5x ) 49, 05e 5x x 2 > 0, 0, 5 < x < 1, 5. x Pelo Teorema, existe um único zero no intervalo [0, 5, 1, 5]! 10 y = f(x)=10-9,81 (1-e ⁵ˣ )/x 5 y = f' (x)=-9,81 (1-e ⁵ˣ )/x² - 49,05 e ⁵ˣ/x

10 Método da bissecção A função satisfaz as hipóteses do Teorema de Bolzano. Dividimos o intervalo inicial pela metade para determinar um novo intervalo (umas das metades do inicial) em que está contido um zero da função e repetimos esse processo para cada novo intervalo, até obtermos uma boa aproximação. Formalizando Começamos com k = 1, [a 1, b 1 ] = [a, b] e repetimos o seguinte processo. Dado o intervalo [a k, b k ], definimos p k = a k+b k 2 = a k + b k a k 2 1 Se f (p k ) = 0 p k é um zero da função! 2 Se f (a k )f (p k ) < 0 novo intervalo [a k+1, b k+1 ] = [a k, p k ] 3 Se f (p k )f (b k ) < 0 novo intervalo [a k+1, b k+1 ] = [p k, b k ] (Escolhemos o intervalo onde f muda de sinal nos extremos.) Paramos quando o erro seja pequeno o suficiente.

11 Método da bissecção Qual será a qualidade da aproximação p k? Se c (a k, b k ) é um zero de f e p k = a k+b k 2 então c p k max{p k a k, b k p k } c p k b k a k 2 Assim se queremos uma aproximação com erro (absoluto) menor que um ɛ > 0 prefixado podemos que usar o seguinte critério de parada. Critério de parada Na iteração k-ésima o erro será pequeno o suficiente (menor que ɛ) quando b k a k < ɛ 2

12 Método da bissecção Quantas iterações precisamos fazer para chegar em uma aproximação p k com a qualidade desejada? Queremos que o erro absoluto seja menor que um ɛ > 0 prefixado, ou seja c p k < ɛ. É suficiente que b k a k 2 < ɛ, por outro lado b k a k 2 = b a 2 k. Logo b a 2 k < ɛ k > log( b a ɛ ) log 2

13 Algoritmo: Método da bissecção Considere f contínua no intervalo [a, b] e tal que f (a)f (b) < 0. Entradas: a, b; tol (tolerância); N iter (número máximo de iterações) Saída: p (valor aproximado) ou mensagem de erro 1 Faça k = 1; fa = f (a) 2 Enquanto k N iter, execute os passos Faça p = a + (b a)/2; fp = f (p) 4 Se fp = 0 ou (b a)/2 < tol então SAIDA: p; PARE 5 Se fa fp > 0 então Faça a = p; fa = fp senão Faça b = p; 6 Faça k = k SAIDA: o método falhou após N iter iterações ; FIM

14 Convergência do método da bissecção O seguinte resultado representa a justifica matemática desse método. Teorema 3 [Convergência do método da bissecção] Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] tal que f (a) e f (b) possuem sinais diferentes, então quando aplicamos o método da bissecção podemos obter um zero de f após um número finito de passos ou as sequências de números a k, b k e p k tais que lim k a k = lim k b k = lim k p k = c (a, b) e f (c) = 0.

15 Exemplo: queda de um paraquedista Para estudar a queda de um paraquedista consideramos um modelo simplificado, em que o movimento é na vertical. Gravidade F G e a resistência do ar F R. F G = mg onde m é a massa do paraquedista e g = 9, 81 m/s 2 é a aceleração da gravidade. Para F R consideramos o modelo linear F R = cv onde v é a velocidade e c é o coeficiente de arrasto (kg/s). Da segunda lei de Newton obtemos m dv dt = F G F R dv dt = g c m v

16 Exemplo: Queda de um paraquedista Considerando v(0) = v 0 a solução para essa EDO é v(t) = v 0 + ( g ( k v 0) 1 e kt), onde k = c/m. Problema: Determinar k com uma tolerância tol = 0, 1 sabendo que o paraquedas abriu quando a velocidade do paraquedista era de 40 m/s e após 5 s ele tinha uma velocidade de 10 m/s. Solução: Neste caso devemos resolver a equação ( 9, 81 (1 f (x) = ) e 5x ) = 0. x Notando que lim x 0 + f (x) = 79, 05, podemos considerar f (0) = 79, 05 e assim f será contínua em [0, + ). Por outro lado como f (2) = 5, , pelo T. de Bolzano concluímos que existe pelo menos uma solução no intervalo (0, 2).

17 Exemplo: Queda de um paraquedista Aplicando o método da bissecção. f (p) = 0 ou b a 2 < tol? NÃO, f (a)f (p) > 0? SIM p a f (p) = 0 ou b a 2 < tol? NÃO, f (a)f (p) > 0? NÃO p b f (p) = 0 ou b a 2 < tol? NÃO, f (a)f (p) > 0? NÃO p b f (p) = 0 ou b a 2 < tol? NÃO, f (a)f (p) > 0? NÃO p b f (p) = 0 ou b a 2 < tol? SIM! Aproximação: x p = 1, 0625 k a b p = a+b b a 2 f (a) f (p) 2 < tol , 05 0, > 0, , 5 0, , , 5 > 0, , 5 1, 25 0, , , 25 > 0, , 25 1, 125 0, , , 125 > 0, , 125 1, , , , 0625 < 0, 1

18 Parte II Método do ponto fixo

19 Motivação No primeiro problema do paraquedista queremos resolver a equação f (x) = 10 9, 81 x Essa equação pode ser re-escrita na forma 10 9, 81 x ( 1 e 5x ) = 0 ( 1 e 5x ) = 0 x = 0, 981 ( 1 e 5x) Dessa forma o zero que estamos procurando, coincide com o número c tal que g(c) = c onde g(x) = 0, 981 ( 1 e 5x).

20 Ponto fixo 1.5 y=x 1 c = g(c) y = 9,81 (1-exp(-5x)) c

21 Ponto fixo Definição de ponto fixo Seja g uma função definida no intervalo [a, b], um número c [a, b] tal que g(c) = c é chamado de ponto fixo de g. Temos os seguintes resultados. Teorema 4 [Existência e unicidade do ponto fixo] Seja g uma função contínua no intervalo [a, b]. a) Se a g(x) b para todo x [a, b], então existe pelo menos um ponto fixo de g em [a, b]. b) Se além disso, g é diferenciável em (a, b) e existe uma constante positiva κ < 1 tal que g (x) κ para todo x (a, b) então o ponto fixo é único.

22 Método do ponto fixo Para obter aproximações do ponto fixo c de g a partir de uma aproximação inicial p 0 construímos novas aproximações fazendo p n+1 = g(p n ), n 0. A função g é chamada de função de iteração. Iterações de ponto fixo 1.2 y=x y=g(x) p 0 p 1 p 2 p

23 Algoritmo: Método do ponto fixo Aproxima um ponto fixo de g a partir do chute inicial p 0. Entradas: p 0 (aproximação inicial); tol (tolerância); N iter (número máximo de iterações) Saída: p (valor aproximado) ou mensagem de erro 1 Faça k = 1 2 Enquanto k N iter, execute os passos Faça p = g(p 0 ) 4 Se p p 0 < tol, então SAIDA: p; PARE 5 Faça p 0 = p 6 Faça k = k SAIDA: o método falhou após N iter iterações ; FIM

24 Convergência do método do ponto fixo Teorema 5 [Convergência do método do ponto fixo] Seja g uma função contínua no intervalo [a, b], tal que a g(x) b para todo x [a, b]. Suponha adicionalmente que g é diferenciável em (a, b) e existe uma constante positiva κ < 1 tal que g (x) κ para todo x (a, b), então para qualquer p 0 [a, b] a sequência p n definida por p n+1 = g(p n ), n 0 converge para o único ponto fixo c da função g em [a, b].

25 Convergência do método do ponto fixo (cont) Corolário [Qualidade da aproximação] Nessas condições, o erro na aproximação p n satisfaz as limitantes c p n κ 1 κ p n p n 1, c p n κn 1 κ p 1 p 0, c p n κ n max{p 0 a, b p 0 }. Se κ for conhecido garantimos que c p n < ɛ quando p n p n 1 < (1 κ)ɛ. κ Critério de parada Na prática, quando não conhecemos κ, usamos a condição p n p n 1 < ɛ tol.

26 Convergência do método do ponto fixo (cont) Suponha que κ < 1 é conhecido. Para garantir que c p n < ɛ é suficiente escolher n de forma que κ n ( ) 1 κ p p1 p 0 1 p 0 < ɛ n > log / log(κ 1 ) (1 κ)ɛ ou alternativamente κ n max{p 0 a, b p 0 } < ɛ ( ) max{p0 a, b p 0 } n > log / log(κ 1 ) ɛ

27 Convergência do método do ponto fixo (cont) Essas fórmulas são semelhantes àquela do caso do método da bissecção mas com κ 1 no lugar de 2. Assim um método de ponto fixo com κ < 1/2 em geral vai convergir mais rápido que o método da bissecção. Obsevações: Se o valor de κ se aproxima de zero o número de iterações diminui. Quanto menor o valor de κ tanto mais rápida será a convergência! O fator κ nos ajuda a comparar a velocidade de convergência de diferentes métodos de ponto fixo, e vai nos guiar na construção de um método de ponto fixo muito eficiente.

28 Convergência do método do ponto fixo (cont) Para aplicar o teorema de convergência acima devem ser satisfeitas duas condições de caráter global, ou seja relacionadas com todo o intervalo [a, b] ou (a, b), a saber g([a, b]) [a, b] g (x) κ < 1, x (a, b). Apresentamos um resultado de convergência local que nos será muito útil. Teorema 6 [Convergência local do método do ponto fixo] Seja g uma função com primeira derivada contínua no intervalo [a, b]. Se c (a, b) é um ponto fixo de g e g (c) < 1, então existe δ > 0 tal que para qualquer p 0 [c δ, c + δ] a sequência p n definida por p n+1 = g(p n ), n 0 converge para o ponto fixo c.

29 Exemplo: Queda livre do paraquedista Nesse problema temos g(x) = 0, 981 ( 1 e 5x). Observamos que g(0.5) = > 0.5 e g(1.5) = < 1.5. Além disso g (x) = e 5x > 0, por isso a função é crescente e temos que 0.25 g(x) 1.5 x [0.5, 1.5] Existe pelo menos um ponto fixo em [0.5, 1.5]. Ainda, sabemos que a função g (x) também é decrescente e g (0.5) = , portanto g (x) κ = x [0.5, 1.5] Dessa forma existe um único ponto fixo em [0.5, 1.5].

30 Exemplo: Queda livre do paraquedista (cont.) Consideramos ɛ tol = 10 5 e p 0 = 0.5 n (iteração) p n (aproximação) p n p n 1 (erro) e e e e e 06 Usando ɛ tol = em 13 iterações obtemos p n =

31 Exemplo: Queda livre do paraquedista (cont.) Para esse caso considerando κ = g (0.5) = e ɛ = obtemos que ( ) ɛ n iter > log / log κ max{p 0 a, b p 0 } Essa previsão é muito pessimista! Se por outro lado escolhemos κ = g (0.9) = obtemos n iter > 12.7, que está bem mais próximo do que foi observado!

32 Parte III Método de Newton-Raphson

33 Procurando um bom método de ponto fixo Considere a equação f (x) = 0, e suponha que ela possui uma solução c isolada. Qualquer equivalência f (x) = 0 g(x) = x nos leva a um método de ponto fixo (alguns podem não convergir!). Para um método do ponto fixo ter uma convergência bem rápida, o ideal seria que κ = 0. Essa situação corresponde ao caso especial quando o gráfico de g(x) é uma reta horizontal. Vamos exigir apenas que κ fique muito próximo de zero em uma vizinhança do ponto fixo c. Uma forma bastante natural de garantir isto é exigindo que g (c) = 0.

34 Procurando um bom método de ponto fixo (cont.) Vamos procurar a função g na forma Observe que g(x) = x + a(x)f (x). g(c) = c + a(c)f (c) = c + a(c) 0 g(c) = c. Considerando g (c) = 0 obtemos g (x) = 1 + a (x)f (x) + a(x)f (x) g (c) = 1 + a(c)f (c) logo Definindo satisfazemos a exigência! a(c) = 1 f (c). a(x) = 1 f (x)

35 Método de Newton-Raphson Obtemos então o método de Newton-Raphson Observações p n+1 = p n f (p n) f (p n ), n 0 Método para achar aproximações de um zero da função f. Representa um método de ponto fixo com g(x) = x f (x) f (x). É preciso de um chute inicial p 0 para iniciar as iterações. A derivada f (p n ) não pode ser zero. Na prática, se for muito próxima de zero teremos problemas com a convergência. As vezes é chamado apenas de método de Newton ou método da tangente.

36 Interpretação geométrica A interseção com o eixo x da reta tangente à curva y = f (x) em x = p n, nos dá a nova aproximação p n p1 p p2-0.5

37 Algoritmo: Método de Newton Aproxima um zero de f a partir do chute inicial p 0. Entradas: p 0 (aproximação inicial); tol (tolerância); N iter (número máximo de iterações) Saída: p (valor aproximado) ou mensagem de erro 1 Faça k = 1 2 Enquanto k N iter, execute os passos Faça p = p 0 f (p 0 )/f (p 0 ) 4 Se p p 0 < tol, então SAIDA: p; PARE 5 Faça p 0 = p 6 Faça k = k SAIDA: o método falhou após N iter iterações ; FIM

38 Convergência do método de Newton Teorema 6 [Convergência do método de Newton] Seja f uma função com duas derivadas contínuas no intervalo [a, b]. Suponha que c (a, b) é um zero de f tal que f (c) 0. Então existe δ > 0 tal que para qualquer chute inicial p 0 no intervalo [c δ, c + δ] a sequência p n definida por converge para c. p n+1 = p n f (p n) f (p n ), n 0 Observações O Teorema, garante a convergência quando escolhemos o chute inicial p 0 suficientemente próximo de c. Nesse sentido dizemos que a convergência do método é local.

39 Exemplo: Queda livre do paraquedista Lembramos que temos que resolver a equação Como f (x) = 10 f (x) = chegamos no método p n+1 = p n 9, 81 x 2 9,81 p 2 n 9, 81 x ( 1 e 5x ) ( 1 e 5x ) = ,81 p n ( 1 e 5p n ) (1 e 5pn ) 49, 05 e 5x, x 49,05 e 5pn p n, n 0.

40 Exemplo: Queda livre do paraquedista (cont.) Consideramos ɛ tol = e p 0 = 0.5 n (iteração) p n (aproximação) p n p n 1 (erro) e e e e e e e + 00 Usando este método precisamos de apenas 6 iterações! Realmente a convergência é muito rápida. Praticamente a cada iteração o número de casas decimais exatas é dobrado.

41 Vantagens e desvantagens do método de Newton O método pode ser generalizado para o caso de sistemas de equações (não lineares). Em geral, converge muito rapidamente quando a aproximação inicial é boa. A função deve ser duas vezes diferenciável. É preciso calcular a primeira derivada da função em cada iteração, se o cálculo for muito complicado podemos perder em eficiência computacional. Na prática, se f (c) for muito pequena podemos ter problemas de convergência e precisão. Nas aplicações podemos obter um bom chute inicial, fazendo algumas iterações preliminares pelo método da bissecção. O método pode ser modificado para se evitar o cálculo da primeira derivada.

42 Parte IV Método da secante

43 Metodo da secante Substituindo no método de Newton a aproximação f (p n ) f (pn) f (p n 1) p n p n 1 para a derivada, chegamos no Método da secante p n+1 = p n f (p n)(p n p n 1 ) f (p n ) f (p n 1 ), n 1. Para iniciar as iterações precisamos de duas aproximações iniciais p 0 e p 1. Não é um método do tipo ponto fixo. Converge um pouco mais devagar que o método de Newton.

44 Interpretação geométrica A interseção com o eixo x da reta secante à curva y = f (x) passando pelos pontos (p n 1, f (p n 1 )) e (p n, f (p n )), nos dá a nova aproximação p n p0 p p p

45 Algoritmo: Método da secante Aproxima um zero de f a partir das aproximações iniciais p 0 e p 1. Entradas: p 0 e p 1 (aproximações iniciais); tol (tolerância); N iter (número máximo de iterações) Saída: p (valor aproximado) ou mensagem de erro 1 Faça k = 1 2 Enquanto k N iter, execute os passos Faça p = p 1 f (p 1 )(p 1 p 0 )/(f (p 1 ) f (p 0 )) 4 Se p p 1 < tol, então SAIDA: p; PARE 5 Faça p 0 = p 1, p 1 = p 6 Faça k = k SAIDA: o método falhou após N iter iterações ; FIM

46 Convergência do método da secante Teorema 7 [Convergência do método da secante] Seja f uma função com duas derivadas contínuas no intervalo [a, b]. Suponha que c (a, b) é um zero de f tal que f (c) 0. Então existe δ > 0 tal que para quaisquer chutes iniciais p 0 e p 1 no intervalo [c δ, c + δ] a sequência p n definida por converge para c. p n+1 = p n f (p n)(p n p n 1 ) f (p n ) f (p n 1 ), n 1 Observação A convergência do método está garantida localmente, ou seja as aproximações iniciais devem ser suficientemente boas.

47 Exemplo: Queda livre do paraquedista Lembramos que temos que resolver a equação f (x) = 10 9, 81 x Assim o método da secante fica na forma p n+1 = p n ( 1 e 5x ) = 0. ( (p n p n 1 ) 10 9,81 ( ) ) p n 1 e 5p n 9,81 p n 1 (1 e 5p n 1 ) 9,81 p n (1 e 5pn ), n 1.

48 Exemplo: Queda livre do paraquedista (cont.) Consideramos ɛ tol = 10 16, p 0 = 0.5 e p 1 = 1.5 n (iteração) p n (aproximação) p n p n 1 (erro) e e e e e e e e e e + 00

49 Exemplo: Queda livre do paraquedista (cont.) Observações: Usando este método precisamos de 9 iterações para chegar no resultado. Se comporta um pouco pior que o método de Newton mas ainda melhor que o método do ponto fixo. Praticamente a cada iteração o número de casas decimais exatas cresce mais ou menos em 50%. Como podemos comparar os métodos estudados de uma forma mais geral e quantitativa?

50 Parte V Ordem de convergência

51 Ordem de convergência É uma forma de medir a eficiência do método avaliando o quanto as aproximações melhoram a cada iteração realizada. Definição de ordem de convergência Considere uma sequência de números p n (n 0) que converge para c e tal que p n c. A sequência tem ordem de convergência q = 1, se c p n+1 lim = C 1, com 0 < C 1 < 1. n c p n A tem ordem de convergência q > 1, se c p n+1 lim n c p n q = C q, com C q > 0. A constante C q é chamada de constante assintótica do erro.

52 Ordem de convergência (cont.) Observações: Se as sequências geradas por um determinado método, em geral, possuem ordem de convergência q então dizemos que o método converge com ordem q. No caso q = 1, dizemos que o método (a sequência) converge linearmente, e se q = 2 falamos em convergência quadrática. c p Se lim n+1 n c p n = 0, dizemos que a ordem de q convergência é melhor do que q. Para n grande temos que c p n+1 c p n q C q log( c p n+1 ) q log( c p n ) + log C q, em uma escala logarítmica o gráfico se aproxima de uma reta! (Ou seja, os pontos (log( c p n )), log( c p n+1 ) se aproximam de uma reta.) A inclinação da reta é dada pela ordem q.

53 Comportamento do erro Gráfico dos erros (em escala logarítmica), usando os métodos do ponto fixo, de Newton e da secante, quando resolvemos o problema da queda livre do paraquedista. Compare a inclinação das retas para cada método M. secante M. ponto fixo M. Newton 10 6 c p n c p n

54 Ordem de convergência teórica O resutado observado corresponde ao seguinte teorema. Teorema [sobre a ordem de convergência] O método do ponto fixo p n+1 = g(p n ) converge linearmente com a constante assintôtica C 1 = g (c) onde c é o ponto fixo de g. O método de Newton p n+1 = p n f (p n )/f (p n ) possui convergência quadrática (q = 2) com a constante assintótica C 2 = f (c) 2 f (c) onde c é o zero de f. O método da secante p n+1 = p n f (p n )(p n p n 1 )/(f (p n ) f (p n 1 ) tem ordem de convergência q =

55 Conclusões O método da bissecção é o mais simples de todos os métodos estudados e funciona sob condições bastante gerais. Os outros métodos (do ponto fixo, de Newton e da secante) precisam de funções regulares (diferenciáveis), apresentam restrições nas derivadas para garantir a convergência e convergem apenas localmente (ou seja, precisam de boas aproximações iniciais). O método de Newton possui ordem de convergência quadrática, superando em velocidade aos outros métodos.

56 Em uma Gala xia muito distante... Soluc a o aproximada de equac o es