Introdução aos Métodos Numéricos
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- Aurélio William Barata
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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho
2 Conteúdo temático Zeros de Função
3 Conteúdo específico Aspectos básicos sobre zeros de função Métodos de partição Método da bissecção Critério de parada
4 Zeros de função Suponha que, por algum motivo, necessitamos de determinar onde uma função se anula f (x)=0
5 Zeros de função Parece que a solução é simples: basta achar a função inversa da função e a calcular em zero x=f 1 (0)
6 Zeros de função Parece que a solução é simples: basta achar a função inversa da função e a calcular em zero x=f 1 (0) Pena que achar a inversa de uma função não seja uma coisa simples em geral
7 Zeros de função Parece que a solução é simples: basta achar a função inversa da função e a calcular em zero x=f 1 (0) Pena que achar a inversa de uma função não seja uma coisa simples em geral Sem contar que podemos ter a função anulando em mais de um ponto, como na figura que mostramos...
8 Zeros de função Mas em que situações necessitaríamos determinar os pontos uma função se anula? Determinação de máximos de funções
9 Zeros de função Mas em que situações necessitaríamos determinar os pontos uma função se anula? Determinação de máximos de funções Apresentação realística de contato entre objetos em computação gráfica (animações, etc.)
10 Zeros de função Mas em que situações necessitaríamos determinar os pontos uma função se anula? Determinação de máximos de funções Apresentação realística de contato entre objetos em computação gráfica (animações, etc.) Determinação de níveis de energia em simulações Etc.
11 Zeros de função Existe um conjunto de funções das quais sabemos algo sobre o ponto no qual elas se anulam como os polinômios.
12 Zeros de função Existe um conjunto de funções das quais sabemos algo sobre o ponto no qual elas se anulam como os polinômios. Se um polinômio de grau n sabemos que terá n pontos onde se anulará, seja no eixo real ou no plano complexo Mesmo aqui temos problemas
13 Zeros de função Sabemos fórmulas algébricas para polinômios de grau até 4.
14 Zeros de função Sabemos fórmulas algébricas para polinômios de grau até 4. Deste grau para cima é demonstrável que não existem fórmulas algébricas para o caso geral, apenas para casos particulares.
15 Zeros de função Sabemos fórmulas algébricas para polinômios de grau até 4. Deste grau para cima é demonstrável que não existem fórmulas algébricas para o caso geral, apenas para casos particulares. Usar o recurso de dividir polinômios é numericamente instável...
16 Zeros de função Mas o que fazer se as equações forem como estas? e x 3 cos x=0 ;cos x sen 2 x+ 3 x 2 =0 ; 0 Existem pontos onde se anulam? sent t dt x+1=0
17 Zeros de função Mas o que fazer se as equações forem como estas? e x 3 cos x=0 ;cos x sen 2 x+ 3 x 2 =0 ; 0 Existem pontos onde se anulam? Se tem, quantos? sent t dt x+1=0
18 Zeros de função Mas o que fazer se as equações forem como estas? e x 3 cos x=0 ;cos x sen 2 x+ 3 x 2 =0 ; 0 Existem pontos onde se anulam? Se tem, quantos? Como achar estes pontos? sent t dt x+1=0
19 Zeros de função Diremos que determinar onde funções se anulam está em determinarmos os zeros destas funções
20 Zeros de função Diremos que determinar onde funções se anulam está em determinarmos os zeros destas funções O termo raízes é mais adequado aos pontos onde polinômios se anulam
21 Zeros de função Mudaremos a visão do problema No lugar de termos um problema com n zeros, vamos transformar este problema em n problemas de um zero a determinar
22 Zeros de função Mudaremos a visão do problema No lugar de termos um problema com n zeros, vamos transformar este problema em n problemas de um zero a determinar Faremos isto isolando cada zero num determinado intervalo que o contém...
23 Zeros de função...como na figura abaixo
24 Zeros de função Escolhamos um zero
25 Zeros de função Escolhamos um zero Como sabemos que há um zero no intervalo (A,B)?
26 Zeros de função Escolhamos um zero Como sabemos que há um zero no intervalo (A,B)? Se a função f(x) for diferenciável no intervalo então f ( A)f (B)<0
27 Zeros de função Na grande maioria das vezes não temos o gráfico da função e nem nos interessa ter um gráfico! Queremos o zero da função Pergunta: O teste que fizemos anteriormente sempre funcionará?
28 Zeros de função Isolar raizes em geral não é simples, precisamos ter um estudo minimamente aprofundado da função
29 Zeros de função Isolar raizes em geral não é simples, precisamos ter um estudo minimamente aprofundado da função...e muitas vezes a função é tão complexa que temos dificuldade em isolar mas raizes, ou seja, podemos cometer erros.
30 Zeros de função Zeros múltiplos Observe a figura: Se escolhermos isolar o zero no intervalo [1/2,3/2] teremos um problema com nosso teste. Ele dirá que não há nenhum zero no intervalo. De fato há dois zeros!
31 Zeros de função Zeros múltiplos A função na figura é da função x 3 +4 x 2 5 x+2 que tem como zeros os valores 1 e 2, sendo 1 uma raiz dupla. Diremos que: x = 1 é zero de multiplicidade 2 x = 2 é zero de multiplicidade 1 ou um zero simples
32 Zeros de função Zeros múltiplos Observe agora a figura: Se escolhermos isolar o zero no intervalo [1/2,3/2] não teremos um problema com nosso teste. Mas aqui há três zeros!
33 Zeros de função Zeros múltiplos A função desta figura é da função x 3 +3 x 2 3 x+1 como zeros o valores 1 que é um zero triplo. Diremos que: x = 1 é zero de multiplicidade 3. que tem
34 Zeros de função Zeros múltiplos Podemos generalizar estes exemplo observando que: Se uma função tiver um zero de multiplicidade par o nosso teste falhará Se uma função tiver um zero de multiplicidade impar o nosso teste funcionará mas indicará menos zeros do que os existentes
35 Zeros de função Zeros múltiplos Generalizando mais ainda, temos que: Se uma função tiver um zero R de multiplicidade n então não só a função se anulará em R como também se anularão em R suas n-1 derivadas Experimente isto com as funções apresentadas
36 Zeros de função Partiremos agora do suposto que fizemos uma boa análise da função de nosso interesse e sabemos que isolamos um zero simples, ou seja, que o zero não é múltiplo. Assim nosso teste valerá e nos dará um método útil de determinarmos zeros de função
37 Zeros de função Apresentaremos um método da categoria de Métodos de Partição, ou seja, métodos que sucessivamente obtém subintervalos que contém a solução do problema
38 Método da bissecção Este método começa por acharmos o ponto médio do intervalo, ou seja, X= A+B 2
39 Método da bissecção Como o zero se encontra entre A e B, temos que este zero se encontra no intervalo (A,X] ou no intervalo [X,B). Usaremos o teste Se f ( A)f ( X )<0 ; R ( A, X )
40 Método da bissecção Como o zero se encontra entre A e B, temos que este zero se encontra no intervalo (A,X] ou no intervalo [X,B). Usaremos o teste Se Se f ( A)f ( X )<0 ; R ( A, X ) f ( A)f ( X )>0 ; R ( X, B)
41 Método da bissecção Feito isto faremos Se f ( A)f ( X )<0 ; R ( A, X ); B X Se f ( A)f ( X )>0 ; R ( X, B); A X Novamente calculamos X= A+B 2 para o novo A ou B. A figura ficará...
42 Método da bissecção Novamente faremos o teste com uma pequena modificação
43 Método da bissecção Se f ( A)f ( X )<0 ; R ( A, X ); B X f ( A)f ( X )>0 ; R ( X, B); A X f ( A)f ( X )=0; R=A ou R=X Isto é necessário pois não temos como prever o comportamento da função em X
44 Método da bissecção Calculando X= A+B 2
45 Método da bissecção Resumo do que fizemos
46 Método da bissecção Seja f(x) diferenciável em [A, B]. Tenhamos f(a) I) Calcule X= A+B e f ( X) 2 II) Se f ( A) f ( X )<0 ; R ( A, X ); B X f ( A) f ( X )>0 ; R ( X, B); A X f ( A)f ( X)=0 ; R=A ou R=X III) Se o critério de parada não for satisfeito, retorne a I
47 Método da bissecção No momento não abordaremos o critério de parada
48 Método da bissecção Um exemplo Determine aproximações para o ponto onde a função abaixo se anula no semi-eixo positivo. e x 3 cos x
49 Método da bissecção Um exemplo Determine aproximações para o ponto onde a função abaixo se anula no semi-eixo positivo. e x 3 cos x Isto significa que queremos resolver a equação abaixo e x 3 cos x=0
50 Zeros de função O primeiro obstáculo é localizar o zero dentro de um intervalo. Isto pode ser feito por Um estudo da natureza do problema
51 Zeros de função O primeiro obstáculo é localizar o zero dentro de um intervalo. Isto pode ser feito por Um estudo da natureza do problema Um estudo exploratório
52 Zeros de função O primeiro obstáculo é localizar o zero dentro de um intervalo. Isto pode ser feito por Um estudo da natureza do problema Um estudo exploratório O estudo da natureza do problema é o melhor e exige boa compreenção do que estamos fazendo
53 Zeros de função Aqui olharemos para o problema como a intersecção entre duas curvas, ou seja, e x 3 cos x=0
54 Zeros de função Aqui olharemos para o problema como a intersecção entre duas curvas, ou seja, e x 3 cos x=0 e x =3 cos x e conhecemos bem estas duas funções.
55 Zeros de função Aqui olharemos para o problema como a intersecção entre duas curvas, ou seja, e x 3 cos x=0 e x =3 cos x e conhecemos bem estas duas funções. Já que é assim, façamos um esboço destas duas funções no semi-eixo positivo, lembrando que cosseno atinge o primeiro valor zero em π/2
56 Zeros de função Esboço do ponto de intersecção e x =3 cos x
57 Zeros de função Esboço do ponto de intersecção e x =3 cos x É fácil de perceber que existe um ponto entre 0 e 1 na qual e x e 3cos(x) se intersectam, ou seja, a nossa função tem um zero em [0,1]
58 Zeros de função Verifiquemos... f (x)=e x 3 cos x f (0)=e 0 3 cos 0=1 3= 2 f (1)=e 1 3 cos1=2, ,540302=1,097374
59 Zeros de função Verifiquemos... f (x)=e x 3 cos x f (0)=e 0 3 cos 0=1 3= 2 f (1)=e 1 3 cos1=2, ,540302=1, Temos a confirmação que há um zero neste intervalo
60 Zeros de função Verifiquemos... f (x)=e x 3 cos x f (0)=e 0 3 cos 0=1 3= 2 f (1)=e 1 3 cos1=2, ,540302=1, Temos a confirmação que há um zero neste intervalo Apliquemos o Método da Bissecção fazendo A=0, B=1
61 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 = = 1 2 f (X )=f ( 1 ) 2 =e1/2 3 cos 1 2 = 0, f ( A)f ( X )>0 ; A X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 2 Agora A= 1 2 e f ( A)= 0, continuando...
62 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 =1/2+1 = f (X )=f ( 3 ) 4 =e3/ 4 3 cos 3 4 = 0, f ( A)f ( X )>0 ; A X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 0, Agora A= 3 4 e f ( A)= 0, continuando...
63 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 = 3/ = 7 8 =0,875 f (X )=f ( 7 ) 8 =e7 /8 3 cos 7 8 =0, f ( A)f ( X )<0 ; B X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 0, Agora B= 7 8 e f (B)=0, continuando...
64 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 = 3/ 4+7/8 2 = =0,8125 f (X )=f ( 13 ) 16 =e13/16 3 cos =0, f ( A)f ( X )<0 ; B X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 0, Agora B= 13 16
65 Método da bissecção Um exemplo X= A+B 2 = 3/ 4+7/8 2 = =0,8125 f (X )=f ( 13 ) 16 =e13/16 3 cos =0, f ( A)f ( X )<0 ; B X f (x)=e x 3 cos x f ( A)= 0, Agora B= paremos por aqui...
66 Método da bissecção Um exemplo Resumindo temos a seguinte progressão R [0,1] R [ 1 2,1 ]
67 Método da bissecção Um exemplo Resumindo temos a seguinte progressão R [0,1] R [ 1 2,1 ] R [ 3 4, 1 ]
68 Método da bissecção Um exemplo Resumindo temos a seguinte progressão R [0,1] R [ 1 2,1 ] R [ 3 4, 1 ] R [ 3 4, 7 ] 8
69 Método da bissecção Um exemplo Resumindo temos a seguinte progressão R [0,1] R [ 1 2,1 ] R [ 3 4, 1 ] R [ 3 4, 7 ] 8 R [ 3 4, 13 ] 16 ou na última avaliação R [0,75;0,8125]
70 Método da bissecção Um exemplo Resumindo temos a seguinte progressão R [0,1] R [ 1 2,1 ] R [ 3 4, 1 ] R [ 3 4, 7 ] 8 R [ 3 4, 13 ] 16 ou na última avaliação R [0,75;0,8125] Temos uma progressão mas como ela se dá?
71 Método da bissecção Um exemplo Resumindo temos a seguinte progressão R [0,1] R [ 1 2,1 ] R [ 3 4, 1 ] R [ 3 4, 7 ] 8 R [ 3 4, 13 ] 16 ou na última avaliação R [0,75;0,8125] Temos uma progressão mas como ela se dá? Quando parar?
72 Método da bissecção Acredito que seja fácil de perceber que o intervalo que contém o zero decresce para metade de sua amplitude a cada passo, ou seja, L n = B A 2 n
73 Método da bissecção Acredito que seja fácil de perceber que o intervalo que contém o zero decresce para metade de sua amplitude a cada passo, ou seja, L n = B A 2 n onde B e A são os valores iniciais. Isto nos dá um critério de parada.
74 Método da bissecção Vamos supor que desejamos parar quando o intervalo que contém R for de tamanho tol. Assim, tol= B A 2 n = B A ( B A ) n=log 2 n tol 2 tol Com isto, sabemos quantos passos do método teremos que executar para obtermos o resultado que desejamos
75 Método da bissecção Se no nosso exemplo desejássemos que tol fosse um milésimo do intervalo original, teríamos n=log 2 ( B A ) tol =log ( 1 0 ) 2 0,001 =log 2(1000) 10 Este método não parece tão ruim assim.
76 Método da bissecção Se no nosso exemplo desejássemos que tol fosse um milésimo do intervalo original, teríamos n=log 2 ( B A ) tol =log ( 1 0 ) 2 0,001 =log 2(1000) 10 Este método não parece tão ruim assim. Mas é lento...
77 Método da bissecção O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais.
78 Método da bissecção O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais. Abaixo temos alguns valores numéricos calculados durante o uso do algoritmo f (0)= 2;f (1)=1, ; f ( 1 2 ) = 0, f ( 3 4 ) = 0, ; f ( 7 8 ) =0, ;f ( ) =0,190478
79 Método da bissecção O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais. Abaixo temos alguns valores numéricos calculados durante o uso do algoritmo f (0)= 2;f (1)=1, ; f ( 1 2 ) = 0, f ( 3 4 ) = 0, ; f ( 7 8 ) =0, ;f ( ) =0, o valor em ¾ parece próximo da solução...
80 Método da bissecção O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais. Abaixo temos alguns valores numéricos calculados durante o uso do algoritmo f (0)= 2;f (1)=1, ; f ( 1 2 ) = 0, f ( 3 4 ) = 0, ; f ( 7 8 ) =0, ;f ( ) =0, o valor em ¾ parece próximo da solução......e o método não viu...
81 Método da bissecção O método da bissecção parece eficaz mas não é eficiente, afinal despresa propriedades numéricas da função; Implementações em computadores podem fazer com que ele se torne instável, pois num computador não temos números Reais mais números de ponto flutuante; O fato dele desconsiderar propriedades da função pode ser útil se a função tem propriedades analíticas que dificultem determinarmos os zeros
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