Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teieira da Silveira Filho

2 Conteúdo específico Integração Numérica

3 Conteúdo temático Integração Gaussiana Gauss-Legendre Gauss-Laguerre Gauss-Hermite Algumas funções do Maima para integração numérica

4 Integração numérica Ampliando as possibilidades da integração numérica

5 Integração numérica Observe que as fórmulas de Trapézios e Simpson T = b a [ f (a)+ f (b) ] [ (b a)/ b a S = f (a)+ 4 f (a+ )+f (b) ]

6 Integração numérica Observe que as fórmulas de Trapézios e Simpson b a (b a)/ b a f (a)+ f (b) [ ] S = f (a)+ 4 f (a+ )+f (b) podem ser escritas no formato T = [ w f ( )+ w f ( )+ w f ( )+ + w n f ( n ) n é o número de pontos usados para a integração ]

7 Integração numérica w f ( )+w f ( )+w f ( )+ +w n f ( n ) b a Trapézios (n=): T = [ f (a)+f (b)] w =w = b a ; =a, =b

8 Integração numérica w f ( )+w f ( )+w f ( )+ +w n f ( n ) b a Trapézios (n=): T = [ f (a)+f (b)] w =w = b a ; =a, =b [ Simpson (n=): S = (b a)/ f (a)+ 4 f (a+ b a )+ f (b) ] b a b a b a w =w = w = ; =a, =a+, =b 6,

9 Integração numérica Trabalharemos agora com métodos de integração com a forma w f ( )+ w f ( )+ w f ( )+ + w n f ( n ) deiando mais livres os valores wi e i

10 Integração numérica Diminuiremos assim o grau de arbitrariedade que viemos adotando até o momento

11 Integração gaussiana Integração gaussiana Aqui criaremos um método de integração com a forma w f ( )+ w f ( )+ w f ( )+ + w n f ( n ) onde nos proporemos obter a maior precisão possível com um determinado número de pontos.

12 Integração gaussiana Para simplificar os cálculos trabalharemos inicialmente com a integral f ( ) d

13 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( ) Temos aqui dois parâmetros livres w e Vamos impor que a fórmula seja eata para as funções,. Se assim for, será também para a combinação linear delas, ou seja, o polinômio de primeiro grau a0 +a

14 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( ) Assim teremos d=w =w =w d=w =w 0=w =0

15 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( ) Assim a fórmula gaussiana eata para integrandos iguais a um polinômio do primeiro grau é dada por f ( ) d f (0)

16 Integração gaussiana Repare que temos uma fórmula equivalente ao Método de Trapézios em precisão mas usa só um ponto

17 Integração gaussiana Repare que temos uma fórmula equivalente ao Método de Trapézios em precisão mas usa só um ponto Repare ainda que esta fórmula equivale a calcular o Método dos Retângulos tomando o valor do ponto central

18 Integração gaussiana Repare que temos uma fórmula equivalente ao Método de Trapézios me precisão mas usa só um ponto Repare ainda que esta fórmula equivale a calcular o Método dos Retângulos tomando o valor do ponto central Isto chama novamente a atenção da importância da escolha dos pontos onde calculamos a função na integração numérica

19 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( ) Temos aqui quatro parâmetros livres w, w,, Vamos impor que a fórmula seja eata para as funções,,,. Se assim for também o será para a combinação linear destas funções: a0 +a +a +a

20 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( ) Assim teremos d =w+ w =w+w =w + w d=w +w =w +w 0=w +w d=w +w =w +w =w +w 4 =w +w 0=w +w d=w +w 4

21 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( ) Caimos no seguinte sistema de equações não lineares w +w = w +w =0 w +w = w +w =0

22 Integração gaussiana Usemos o Maima para achar a solução...

23 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( ) Temos a solução w =w = ; =, = o que nos dá a fórmula f ( )d f ( )+ f ( ) eata se o integrando for um polinômio de até grau.

24 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( )+ w f ( ) Temos aqui seis parâmetros livres w, w,w,,, Vamos impor que a fórmula seja eata para as funções,,,, 4, 5 o que faz com que a fórmula que será elaborada seja eata até polinômios de grau 5 4 a0 +a +a +a +a 4 + a5 5

25 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( )+ w f ( ) Repetindo o mesmo processo que antes, obteremos as equações d=w +w +w =w +w +w =w +w +w ; d=w +w +w 0=w + w +w d=w +w +w =w +w +w ; d=w +w w 0=w +w +w d=w +w w 5 =w 4 +w 4 +w 4 ; 5 d=w 5 +w 5 w 5 0=w 5 +w 5+w

26 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( )+ w f ( ) que resulta no sistema w +w +w = w +w +w =0 w +w +w = w +w +w = w +w +w = w + w + w =0

27 Integração gaussiana Integração Gaussiana n=: w f ( )+ w f ( )+ w f ( ) que tem a solução w =w = 5 8 w = ; =, =0, = 9, o que nos dá a fórmula f ( ) d 9 f ( 5 )+ 9 f (0)+ 9 f ( 5 ) eata se o integrando for um polinômio de até grau 5.

28 Integração gaussiana Se observarmos com cuidado veremos que o caso para qualquer valor de n resultará no sistema de n equações nãolineares dadas por { 0;,, n w +w + +w n = ; 0,, n k + k k k variando de 0 a n-. k n }

29 Integração gaussiana Eistem outras maneiras de obter os valores para a integração gaussiana. Não a trabalharemos aqui mas apresentaremos alguns coeficientes para a integração.

30 Integração gaussiana Eistem outras maneiras de obter os valores para a integração gaussiana. Não a trabalharemos aqui mas apresentaremos alguns coeficientes para a integração. Para ser eato, aqui foi apresentada uma integração gaussiana chamada Integração de Gauss-Legendre e os coeficientes que obtemos estão relacionados com as raízes dos chamados Polinômios de Legendre.

31 Integração de GaussLegendre f ( ) d Gauss-Legendre N pontos i i aproimado wi wi aproimado 0 0 ±/ ±0, /9 0, ± / 5 ±0, /9 0, ± 6 /5 / 7 ±0,99804 (8+ 0)/ 6 0, ± + 6 /5 / 7 ±0,866 (8 0)/ 6 0, /55 0, ±/ 5 0 /7 ±0, (+ 70)/ 900 0, ±/ 5+ 0 /7 ±0, ( 70)/ 900 0,696885

32 Integração gaussiana Basta fazermos uma transformação de coordenadas para integrarmos uma função no intervalo [a,b] b f ( ) d= a n b a b a b+ a b a b a b+a f + d w f + i i ( ) ( )

33 Integração gaussiana Um eemplo Integre a função abaio usando, e pontos da fórmula de Gauss-Legendre 4 e d

34 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i+ f ( )d b a i= a ( Integre a função abaio usando, e pontos da fórmula de Gauss-Legendre 4 Calculemos e d b a 4 = = )

35 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i+ f ( )d b a i= a ( Integre a função abaio usando, e pontos da fórmula de Gauss-Legendre 4 Calculemos e d b a 4 b+ a 4+ 7 = = ; = = )

36 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i + f ( )d b a i= a e f ( )= Um ponto f ( )d= f + d w f + ( ) ( ) ( )

37 Integração gaussiana Um eemplo f ( ) d Gauss-Legendre N pontos i i aproimado wi wi aproimado 0 0 ±/ ±0, /9 0, ± / 5 ±0, /9 0, ± 6 /5 / 7 ±0,99804 (8+ 0)/ 6 0, ± + 6 /5 / 7 ±0,866 (8 0)/ 6 0, /55 0, ±/ 5 0 /7 ±0, (+ 70)/ 900 0, ±/ 5+ 0 /7 ±0, ( 70)/ 900 0,696885

38 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i + f ( )d b a i= a e f ( )= ( Um ponto b f ( )d= f + d w f + = f 0+ =9,46557 a ( ) ( ) ( ) )

39 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i + f ( )d b a i= a e f ( )= ( Dois pontos b [ ( f ( )d= f + d w f + +w f + a ( ) ) ( )] )

41 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i + f ( )d b a i= a e f ( )= ( Dois pontos b [ ( f ( )d= f + d w f + +w f + a b f ( )d a [( ( ) )] ) ( )] 7 7 9,46557+, f + +f + = =9, ) ( )

42 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i + f ( )d b a i= a e f ( )= Três pontos b f ( )d a [ ( w f + +w f + +w f + ) ( ) ( )] ( )

44 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i + f ( )d b a i= a e f ( )= Três pontos b f ( )d a b f ( )d a [ ( w f + +w f + +w f + [ ( ) ( ) ( f + + f (0+ )+ f ) ( )] )] ( )

45 Integração gaussiana Um eemplo b n b a b+a wi f i + f ( )d b a i= a e f ( )= Três pontos b f ( )d a b f ( )d a b [ ( w f + +w f + +w f + [ ( ) ( ) ( f + + f (0+ )+ f ) ( )] )] f ( )d ( 59 7, , ,54884 )=9, a ( )

46 Integração gaussiana Um eemplo Os valores obtidos com, e pontos foram 9,46557 ; 9, ; 9, enquanto o valor da integral obtida usando o Maima é 4 e d 9,

47 Integração gaussiana Pode-se demonstrar que a estimativa de erro para GaussLegendre pode ser dada por n+ 4 (b a) (n!) ( n) f (ξ); a<ξ <b ( n+)[(n)!]

48 Integração gaussiana Além das fórmulas de Gauss-Legendre há outras fórmulas. Aqui observarei mais duas Gauss-Laguerre Gauss-Hermite

49 Gauss-Laguerre Estas fórmulas são criadas usando os Polinômios de Laguerre e resulta em aproimações para integrais da forma e f ( ) d 0

50 Gauss-Laguerre Tabela para integração por Gauss-Laguerre n i wi i apro wi apro 0, , ,4456 0, , , , , , , , , , , , , e , ,605404

51 Gauss-Laguerre De forma similar ao que fizemos com a integração de GaussLegendre, podemos fazer translações de forma que podemos calcular integrais tipo e f ( ) d a

52 Gauss-Hermite Estas fórmulas são criadas usando os Polinômios de Hermite e resulta em aproimações para integrais da forma e f ( )d

53 Gauss-Hermite Tabela para integração Gauss-Hermite n i wi ± π 0 ± 6/ 4 6 ± + 6 ± i apro wi apro ±0, , π 0, ±, , π/ 6 π 4 ( 6 ) π 4 ( + 6 ) ±0, , ±, ,08854

54 Integração gaussiana A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função. Não é claramente adequada se você tiver a função dada por pontos.

55 Integração gaussiana A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função. Não é claramente adequada se você tiver a função dada por pontos. É possível criar fórmulas compostas

56 Integração numérica Observemos que sempre haverão problemas que eigirão cuidados ao tentarmos a integração. Daremos um eemplo

57 Integração numérica A integral abaio será de cálculo numérico difícil 4 cos(e ) d 0 Apresentamos um gráfico para enfatizar a origem do problema

58 Integração numérica Observe que a função oscila fortemente no intervalo de integração

59 Integração numérica Em geral funções oscilantes devem ser analizadas cuidadosamente quando trabalharmos numericamente

60 Integração numérica É possível elaborar fórmulas análogas à Regra dos Trapézios e à Regra de Simpson para integrais duplas

61 Integração numérica Baseados nos algoritmos que vimos, podem ser elaborados esquemas adaptativos que selecionam de forma automática o tamanho dos subintervalos de forma a otimizar a eecução dos algoritmos

62 Integração numérica Algumas funções úteis do Maima para integração numérica

63 Integração numérica: Funções úteis do Maima Algumas funções úteis do Maima para integração numérica: quad_qag(f(),, a, b, chave) Integração usando Gauss-Kronrod e recursos de adaptatividade. chave é um inteiro entre e 6 que corresponde à ordem da regra de Gauss-Kronrod. Ordens maiores são mais adequadas a funções muito oscilantes

64 Integração numérica: Funções úteis do Maima Algumas funções úteis do Maima para integração numérica: romberg(f(),,a,b) Integra f() pelo método de Romberg Obs: a forma apresentada não é de eecução eficiente. Veja o manual do Maima.

65 Integração numérica: Funções úteis do Maima Algumas funções úteis do Maima para integração numérica: dblint(f,,s,a,b) b s () Calcula a integral f (, y) dy d usando a regra de a r () Simpson para e y. Veja o eemplo dado nos tutoriais do Maima.