étodos uméricos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 étodos uméricos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 2016

2 Conteúdo 1. Fórmulas de Newton-Cotes. 2. Quadratura de Gauss-Legendre. 3. Comparação dos métodos de integ. simples. 4. Integ. dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes. 5. Integ. dupla via fórmulas de Gauss-Legendre. 6. Comparação dos métodos para integ. Dupla.

3 Introdução Seja uma função f(x) integrável no intervalo [a, b]: b a f ( x) dx F( b) F( a), F ( x) f ( x) Quando a fórmula analítica for de difícil obtenção ou se forem conhecidos somente valores discretos de f(x), se faz necessário o uso de métodos numéricos para avaliar a integral de f(x). Esses métodos consistem em aproximar f(x) por um polinômio interpolador e determinar analiticamente a integral desse polinômio no intervalo [a, b].

4 Seja uma função f(x) aproximada por um PI, por exemplo, um polinômio de Gregory-Newton: Operador de Diferença Finita: Exemplo: Verificar a tabela de diferenças finitas:

5 Para n = 1: Mudança de variável de x u x e simplificando a notação u x u:

6 Usando a notação y i = f(x i ): Integrando, analiticamente, o polinômio: Que é conhecida como regra do trapézio.

7 Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 1:

8 Exemplo: Calcular pela regra do trapézio a integral: Polinômio de grau 1 passa pelos pontos a = x 0 = 1 e b = x 1 = 4

9 Aproximando f(x) por polinômio P 2 (x) de grau 2: Mudança de variável: Equação de integração:

10 Integrando analiticamente o polinômio: Que é a regra de 1/3 de Simpson ou primeira regra de Simpson.

11 Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 2:

12 Exemplo: Calcular usando a regra do 1/3 de Simpson a integral: Para construir um polinômio de grau 2 são necessários 3 pontos. Assim as abscissas por onde o polinômio irá passar são:

13 Aproximando f(x) por polinômio P 3 (x) de grau 3: Mudança de variável: Equação de integração:

14 Integrando analiticamente o polinômio: Que é a regra dos 3/8 de Simpson ou segunda regra de Simpson.

15 Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 3

16 Exemplo: Calcular usando a regra do 3/8 de Simpson a integral: São necessários 4 pontos para construir um polinômio de grau 3. Assim as abscissas são: Sendo:

17 Resultado da integração melhora à medida que o grau do PI aumenta:

18 Formulas de Newton-Cotes são da forma geral:

19 Na prática é difícil o uso de um polinômio de grau superior a 3 para integração numérica. O resultado é melhorado pela subdivisão do intervalo de integração e aplicação de uma fórmula de Newton-Cotes em cada subintervalo.

20 1 Regra do Trapézio (composta): Integração baseada em polinômio de grau 1: Subdividir [a, b] em m subintervalos iguais e aplicar a equação acima a cada 2 pontos: c 0 = c m = 1 c i = 2, i = 1,2,..., m-1 Aplicável a qualquer número de subintervalos m.

21 Integração da função f(x) utilizando 6 PI P(x) de grau 1:

22 Exemplo: Usando a regra do trapézio composta com m = 4 subintervalos, calcular: Valor de h: Dispositivo prático formado por quatro colunas, o com i = 0, 1,..., m, x i = a, a + h, a + 2h,..., b, y i = f(x i ) e c i sendo os coficientes de Cotes:

23 Exemplo: Usando a regra do trapézio composta com m = 5 subintervalos, calcular : Valor de h:

24 2 Regra de 1/3 de Simpson (composta): Integração baseada em polinômio de grau 2: Subdividir [a, b] em m (múltiplo de 2) subintervalos iguais. Aplicar a equação acima a cada 3 pontos: Número de subintervalos m deve ser múltiplo de 2, que é o grau do PI usado. c 0 = c m = 1 c i = 4 se i impar c i = 2 se i par

25 Integração da função f(x) utilizando 3 PI P(x) de grau 2:

26 Exemplo: Usando a regra do 1/3 de Simpson composta com h = 0,25, verificar que: Valor de m: Dispositivo prático:

27 Exemplo: Usando a regra do 1/3 de Simpson composta com m=6, calcular: Valor de h:

28 3 Regra de 3/8 de Simpson (composta): Integração baseada em polinômio de grau 3: Subdividir [a, b] em m (múltiplo de 3) subintervalos iguais. Aplicar a equação acima a cada 4 pontos: Número de subintervalos m deve ser múltiplo de 3, que é o grau do PI usado. c 0 = c m = 1 c i = 2 se i for múltiplo de 3 c i = 3 resto

29 Integração da função f(x) utilizando 2 PI P(x) de grau 3:

30 Exemplo: Usando a regra dos 3/8 de Simpson com m = 6 subintervalos, calcular: Valor de h:

31 Exemplo: Usando usando a regra dos 3/8 de Simpson com passo de integração h = 0,3, calcular: Valor de m:

32 4 Erro de Integração: Erro de truncamento de um polinômio de Gregory-Newton de grau n: Regra do trapézio (polinômio de grau n = 1) Erro de integração E 1,1 cometido ao usar P 1 (x) no intervalo [x 0, x 1 ]

33 Mudança de variável de x para Erro de integração global considerando os m subintervalos é: i é determinado em cada um dos m subintervalos. Se f (x) for contínua no intervalo [a, b], então existe algum valor de x = [a, b] para o qual o somatório é igual a mf ( ). Considerando o passo de integração:

34 Erro global de integração da regra do trapézio torna-se: Regra do 1/3 de Simpson: Regra do 3/8 de Simpson: Devido à dificuldade de determinar o valor de ele é tomado como o ponto no intervalo [a, b], no qual a derivada de f (ii,iv) (x) apresenta o maior valor em módulo. As equações fornecem a cota máxima do erro de integração.

35 Exemplo: Utilizando a regra do 1/3 de Simpson com m = 2 subintervalos, calcular: Valor de h: Erro de integração:

36 Resultado exato: Formulas de Newton-Cotes

37 Exemplo: Usando as três primeiras fórmulas de Newton Cotes com m = 6 subintervalos, calcular:

38 Regra do trapézio: Formulas de Newton-Cotes Regra do 1/3 de Simpson: Regra dos 3/8 de Simpson :

39 Determinação de : Erro de integração da regra do trapézio: Erro de integração da regra dos 3/8 de Simpson : Erro de integração da regra dos 1/3 de Simpson :

40 Erros de integração máximo e real cometidos: Regra do 1/3 de Simpson produziu os menores erros máximo e erro real. Sinal negativo do erro E n excesso: I n > I exata. indica que a integração numérica foi por

41 Exemplo: Usando as três primeiras fórmulas de Newton-Cotes com E < 10-2, calcular: Determinação do valor m para cada fórmula: Regra do trapézio: =. Regras de Simpson: = /2.

42 Regra do trapézio: Formulas de Newton-Cotes Regra do 1/3 de Simpson: Regra dos 3/8 de Simpson :

43 Passo de integração:

44 Pela regra do 1/3 de Simpson: Verificação da exatidão:

45 Exemplo: Verificar o erro cometido no cálculo da integral a seguir usando as seis primeiras fórmulas de Newton-Cotes, com m = 60: A medida que o grau n do PI aumenta, o erro diminui. Fórmulas utilizando grau par é melhor do que a de grau ímpar seguinte.

46 Quadratura de Gauss-Legendre Escolher pontos igualmente espaçados nas fórmulas de Newton- Cotes simplifica os cálculos. Sem a imposição de espaçamento constante, podem ser obtidas fórmulas que fornecem uma maior exatidão, usando o mesmo número de pontos que Newton-Cotes.

47 Quadratura de Gauss-Legendre 1 Fórmula para dois pontos: Com esse objetivo faz-se inicialmente a mudança de variável de x para t, definida no intervalo [-1, 1] Derivando E definindo A integral

48 Quadratura de Gauss-Legendre Então deseja-se que, Expressão análoga à regra do trapézio Então deve-se encontrar valores de t 1, t 2, A 1 e A 2 que tornem a exatidão a maior possível. Método construído de modo a ser exato para polinômios de grau até 3. Fazendo e impondo

49 Para Quadratura de Gauss-Legendre Para Para Para

50 Quadratura de Gauss-Legendre Sistema de equações não lineares de ordem 4 Solução

51 Quadratura de Gauss-Legendre Exemplo: Calcular: Mudança de variável. Dispositivo prático:

52 Quadratura de Gauss-Legendre Resultado exato:

53 Quadratura de Gauss-Legendre Exemplo: Calcular: Mudança de variável.

54 Quadratura de Gauss-Legendre Valor exato: Erro cometido: Mais exato que pela regra do trapézio com m = 6 subintervalos, equivalente a 7 pontos (30,8816).

55 Quadratura de Gauss-Legendre 2 Fórmula geral: Determinar os valores dos pesos A i, e das abscissas De modo que esta seja exata para polinômios de grau menor ou igual a 2n - 1.

56 Quadratura de Gauss-Legendre Sabendo que: Impondo: Sistema de equações não lineares de ordem 2n

57 Quadratura de Gauss-Legendre Solução fornece os n pesos A i e as n abscissas t i. A solução desse sistema linear pode ser evitada utilizando um processo alternativo. Inicialmente sejam os polinômios de Legendre definidos pela fórmula de recorrência: Com L 0 (x) = 1 e L 1 (x) = x. Por exemplo

58 Quadratura de Gauss-Legendre Para maior exatidão na fórmula de quadratura é suficiente que t i, i = 1, 2,.... n sejam os zeros do polinômio de Legendre de grau n. Conhecidas as abscissas t i, o sistema não linear se reduz a um sistema linear de ordem n Em vez de resolver este sistema via decomposição LU, os pesos A i podem ser obtidos por

59 Quadratura de Gauss-Legendre L n (t i ): derivada de L n (x) na abscissa t i.

60 Quadratura de Gauss-Legendre L n (t i ): derivada de L n (x) na abscissa t i.

61 Quadratura de Gauss-Legendre Exemplo: Verificar com n=3 e n=4.que: Mudança de variável. Para n = 3:

62 Quadratura de Gauss-Legendre Para n = 4:

63 Quadratura de Gauss-Legendre Exemplo: Com n=5 calcular: Mudança de variável.

64 Quadratura de Gauss-Legendre Resultado exato: Gauss-Legendre com n = 5 é mais exato que a regra do 1/3 de Simpson com m = 6 (30,4337).

65 Quadratura de Gauss-Legendre 3 Erro de integração: Erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre : abscissa, na qual a derivada f 2n (x) apresenta o maior valor em módulo no intervalo [a, b]. Cota máxima do erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre.

66 Quadratura de Gauss-Legendre Exemplo: Com n = 2 e o respectivo erro de integração calcular: Mudança de variável. Para n = 2:

67 Quadratura de Gauss-Legendre Determinação de. Cálculo do erro máximo: Valor exato: Erro real:

68 Comparação dos Métodos As comparações são realizadas por meio dos exemplos a seguir:

69 Comparação dos Métodos Foram utilizadas regras simples de Newton Cotes, isto é o grau do polinômio é igual ao número de subintervalos. O número de ponto de Gauss Legendre é igual a m+1, sendo m o número de intervalos de Newton-Cotes, de forma a ter o mesmo número de pontos avaliados. Quadratura de Gauss-Legendre mais vantajosa!!!

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72 Referencias Bibliográficas 1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.