O que é o Cálculo Numérico? 05/06/13. Prof. Dr. Alexandre Passito

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1 Prof. Dr. Alexandre Passito Parte do material cedido pelos Professores Fabíola Guerra/ Arilo DCC/UFAM. 1 } Quem sou eu? Alexandre Passito de Queiroz Doutor em Informática passito@icomp.ufam.edu.br } Quem são vocês? Nome? Período? Subárea que estão interessados? Expectativas? 2 O que é o Cálculo Numérico? 3 1

2 } Conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. } Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente. } Metodologia de resolução de problemas matemáticos utilizando computadores. Dada uma modelagem matemática para um dado problema, ele será resolvido por um método matemático descrito por um algoritmo. 4 Exemplo: Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor. V i R V R i = 0 V i = R Solução exata Introdução de um diodo no circuito: kt i kt i v V R i ln + 1 = 0 q I s ( i) = ln + 1 q I s Solução utilizando métodos numéricos V i D R 5 Por que produzir resultados numéricos? 6 2

3 1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: solução de sistemas de equações lineares A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). Exemplos: a) e x2 dx não tem primitiva em forma simples; 2 2 b) y ʹ = y + t não pode ser resolvido analiticamente; c) equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares. 8 Solução numérica x Solução Analítica. Solução Numérica Pode ser calculada mesmo que não exista a solução analítica. Nem sempre gera resultados exatos, mas pode ser obtida com grau crescente de exatidão. Solução Analítica Resultados são dados em termos de funções matemáticas, o que gera resultados exatos. Pode não existir. 9 3

4 } Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas. } Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalhase sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. } Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio. 10 Função do Cálculo Numérico na Engenharia Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos modelo matemático 11 Etapas na resolução de um problema Definição do problema Modelagem Matemática Solução Numérica Elaboração do Algoritmo Codificação do Programa Processamento do Programa Análise do Resultados 12 4

5 Etapas na resolução de um problema Definição do problema Modelagem Matemática Solução Numérica Elaboração do Algoritmo Codificação do Programa Processamento do Programa Análise do Resultados 13 Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 Guerra do Golfo míssil Patriot) } Na noite de 25 de Fevereiro de 1991 o sistema de detecção de ataques inimigos falhou, não conseguindo intersectar um míssil Scud lançado pela Arábia Saudita. O míssil iraquiano matou 28 militares americanos e feriu outros 98. } Esta falha grave no sistema de defesa deveu-se a erro no radar do sistema Patriot e no software que o suportava, reduzindo-se no fim, a um erro de arredondamento no cálculo e na medição do tempo. 14 Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 Guerra do Golfo míssil Patriot) Representação da velocidade do míssil atacante e do tempo em números reais Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento (ARREDONDAMENTO) 15 5

6 Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 Guiana Francesa foguete Ariane 5) Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões 16 Aplicações de cálculo numérico na engenharia. } Determinação de raízes de equações } Interpolação de valores tabelados } Integração numérica, entre outros. 17 } Objetivos } Ementa da Disciplina } Metodologia, Técnicas de Ensino } Recursos Didáticos } Avaliação } Configuração do Curso } Bibliografia 18 6

7 } Fornecer condições para que os alunos possam conhecer, calcular, utilizar e aplicar métodos numéricos na solução de problemas de engenharia. } Estudar a construção de métodos numéricos, analisar em que condições se pode ter a garantia de que os resultados computados estão próximos dos exatos, baseados nos conhecimentos sobre os métodos. 19 } Visão de Engenharia x de Matemática/Computação Conceitos e entendimentos básicos de Calculo Numérico Exemplos de custos de erros numéricos Incrementação do perfil profissional Noções de precisão e eficiência nas soluções Introdução dos métodos tradicionais Aplicação de ferramentas disponíveis 20 Módulo I Motivação e Ferramenta de Suporte Representação binária de números inteiros e reais Representação de um número na base dois Conversão Decimal >> Binário Ponto fixo e ponto flutuante Forma normalizada Erro relativo máximo de um número em ponto flutuante Erros: Existência e Propagação Erro: existência Erro: propagação 7

8 Módulo II Sistemas Lineares Conceitos Fundamentais e Sistemas Triangulares Método Direto Método de Eliminação de GAUSS Decomposição LU Método de Jordan Métodos Iterativos Estacionários Análise de Erro na solução de sistemas Módulo III - Raízes de Equações Isolamento de Raízes Método da Bisseção Métodos baseados em aproximação linear Métodos baseados em tangente Comparação entre os métodos Módulo IV Interpolação Polinomial Polinômios Interpoladores Polinômio de Lagrange Polinômio de Newton Polinômio de Gregory-Newton Módulo V Ajuste de Curvas Regressão Linear Simples Regressão Linear Múltipla Qualidade do Ajuste Interpolação x Regressão Módulo VI Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura de Gauss-Legendre Módulo VII - Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Método da Série de Taylor Método de Euler Métodos de Runge-Kutta Sistema de equações de Primeira Ordem Equação de Segunda Ordem Condição de contorno 8

9 Aulas Expositivas; Aulas Práticas em Laboratório (*); Seminários de Pesquisa; Atividades individuais e em grupo. (*) o aluno deve buscar isso durante a disciplina 25 } Quadro branco; } Retroprojetor, Datashow; } Laboratório de Informática; } Programas de Simulação (Matlab, Octave). 26 } Contínua, mediante avaliações individuais; } Trabalhos interativos de pesquisa extraclasse individual e em grupo; } Avaliações em sala, individual e em grupo, em relação ao grau de comprometimento e participação do aluno. 27 9

10 } 2 provas parciais individuais (PP) } 2 listas de exercício (LE) } 1 seminário de pesquisa (SP) } Participação do aluno em sala de aula (PS) Trabalhos e exercícios passados em sala + participação durante as aulas } 1 prova final (PF) } } } Nota de cada PP NPP X = (75%. PP X ) + (25%. LE X ) Média Parcial MP = (NPP 1 +NPP 2 +SP+PS)/4 Média Final MF = (2xMP + PF)/3 Se o aluno tirar >=7,5 em MP pode optar por não fazer a PF } } APROVADO (Presença >= 75%) E (Média Final >= 5) REPROVADO Caso contrário } PP1 e LE1: Módulo I } PP2 e LE2: Módulo II } PF: Módulos I a IV (um pouco mais de ênfase nos módulos III e IV) 10

11 } Módulo V: Ajuste de Curvas Fundamentação e Aplicações Métodos para ajuste de curvas } Módulo VI Integração Numérica Métodos para integração numérica } Módulo VII - Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Métodos de resolução de equações diferenciais e ordinárias } cnufam.weebly.com } 32 } Presença: Regulamento da UFAM Aluno deve ter o mínimo de 75% de presença para ser aprovado (Cap. VI, Art. 77). Nenhuma falta será abonada (Cap. VI, Art. 77). } Celulares: Desligado durante a aula, seminário e avaliações } Provas: Individuais } Seminário: Tema a ser sorteado entre os grupos 33 11

12 Ò CAMPOS FILHO, F.F., Algoritmos Numéricos, 2ª Edição. LTC Editora (2007). Ò BARROSO, L. C.; Barroso, M. M. de A; Campos Filho, F. F.; Carvalho, M. L. B. de; Maia, M. L., Cálculo Numérico (com aplicações), 2ª Edição. Editora Harbra (1987) Ò RUGGIERO, Márcia A. Gomes e Vera Lúcia da Rocha Lopes, "Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Práticos", Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda,