Coleção UAB UFSCar. Cálculo Numérico. Uma Abordagem para a Educação a Distância. Engenharia Ambiental

Transcrição

1 Coleção UAB UFSCar Engenharia Ambiental Selma Helena de Vasconcelos Arenales José Antonio Salvador Cálculo Numérico Uma Abordagem para a Educação a Distância

2 Cálculo Numérico Uma Abordagem para o Ensino a Distância

3 Reitor Targino de Araújo Filho Vice-Reitor Pedro Manoel Galetti Junior Pró-Reitora de Graduação Emília Freitas de Lima Secretária de Educação a Distância - SEaD Aline Maria de Medeiros Rodrigues Reali Coordenação UAB-UFSCar Daniel Mill Denise Abreu-e-Lima Joice Otsuka Valéria Sperduti Lima Coordenador do Curso de Engenharia Ambiental Luiz Márcio Poiani Conselho Editorial José Eduardo dos Santos José Renato Coury Nivaldo Nale Paulo Reali Nunes Oswaldo Mário Serra Truzzi (Presidente) Secretária Executiva Adriana Silva UAB-UFSCar Universidade Federal de São Carlos Rodovia Washington Luís, km São Carlos, SP, Brasil Telefax (16) uab@ufscar.br EdUFSCar Universidade Federal de São Carlos Rodovia Washington Luís, km São Carlos, SP, Brasil Telefax (16) edufscar@ufscar.br

4 Selma Helena de Vasconcelos Arenales José Antonio Salvador Cálculo Numérico Uma Abordagem para o Ensino a Distância 2010

5 2010, dos autores. Concepção Pedagógica Daniel Mill Supervisão Douglas Henrique Perez Pino Equipe de Revisão Linguística Ana Luiza Menezes Baldin Jorge Ialanji Filholini Paula Sayuri Yanagiwara Priscilla Del Fiori Sara Naime Vidal Vital Equipe de Editoração Eletrônica Christhiano Henrique Menezes de Ávila Peres Izis Cavalcanti Rodrigo Rosalis da Silva Equipe de Ilustração Jorge Luís Alves de Oliveira Priscila Martins de Alexandre Thaisa Assami Guimarães Makino Capa e Projeto Gráfico Luís Gustavo Sousa Sguissardi Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar A681n Arenales, Selma Helena de Vasconcelos. Cálculo Numérico : Uma Abordagem para o Ensino a Distância / Selma Helena de Vasconcelos Arenales, José Antonio Salvador. -- São Carlos : EdUFSCar, p. (Coleção UAB-UFSCar). ISBN Cálculo. 2. Cálculo numérico. 3. Métodos numéricos. 4. Algoritmos. 5. Aspectos computacionais. I. Título. CDD 515 (20 a ) CDU 517 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônicos ou mecânicos, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema de banco de dados sem permissão escrita do titular do direito autoral.

6 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO UNIDADE 1: Teoria dos Erros em Processos Numéricos 1.1 Introdução Erros na fase da modelagem Erros na fase de resolução Erros na mudança de base Erro Absoluto e Erro Relativo nos procedimentos numéricos Propagação dos erros Mapa Conceitual Exercícios UNIDADE 2: Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares 2.1 Introdução Métodos diretos Sistema triangular inferior Sistema triangular superior Método de Decomposição LU Método de Eliminação de Gauss... 44

7 2.3 Inversas de matrizes Métodos iterativos para resolução de sistemas de equações lineares Método iterativo de Jacobi-Richardson Exercícios UNIDADE 3: Solução Numérica de Equações 3.1 Introdução Localização das raízes: Método Gráfico Métodos numéricos para resolução de equações Método da Bisseção Método de Newton Método das Secantes Exercícios UNIDADE 4: Interpolação e Aproximação de funções 4.1 Introdução Interpolação Polinomial Limitante superior para o erro Diferenças finitas Fórmulas Interpolatórias Fórmula Interpolatória de Newton-Gregory... 97

8 4.5.2 Polinômio Interpolador de Newton-Gregory com mudança de variável Aproximação de funções: Método dos Mínimos Quadrados Exercícios UNIDADE 5: Integração Numérica 5.1 Introdução Integração numérica usando interpolação Fórmulas de Quadratura de Newton-Cotes Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Generalizada Regra 1/3 de Simpson Regra 1/3 de Simpson Generalizada Exercícios UNIDADE 6: Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais 6.1 Introdução Equação diferencial de primeira ordem com valor inicial Discretização Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias Método de Euler Método de Euler Aperfeiçoado Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução

9 6.5.1 Método de Diferenças Finitas Método Explícito Exercícios REFERÊNCIAS

10 Apresentação Este livro foi desenvolvido para dar suporte ao estudo de uma disciplina básica de Cálculo Numérico. O Cálculo Numérico tem por objetivo o estudo de métodos numéricos para a resolução de problemas em geral e, em particular, destacamos neste texto os problemas ambientais. Os métodos numéricos serão desenvolvidos visando eficiência e estabilidade durante a aplicação em problemas gerais. Consideramos de fundamental importância o Cálculo Numérico no que se refere à aplicação das disciplinas básicas como Cálculo Diferencial Integral, Geometria Analítica, Álgebra Linear, Introdução à Computação, entre outras, e a utilização dos conceitos e resultados adquiridos nessas disciplinas, bem como a aplicação na resolução numérica de problemas. Apresentamos métodos numéricos para solução de sistemas de equações lineares, equações algébricas, interpolação e ajuste de funções, integração numérica e equações diferenciais. Detalhamos alguns aspectos teóricos e computacionais, além da utilização de softwares especializados e reconhecidos na literatura, com a certeza de que estaremos contribuindo com ferramentas importantes para a elaboração de projetos e pesquisas que estarão presentes nas atividades dos profissionais de ciências em geral. Por fim, agradecemos a Carla Taviani Lucke da Silva Ghidini e Silvia Maria Pereira Grandi dos Santos pela colaboração na revisão deste livro. 9