CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 12 Interpolação Parte 1

3 INTERPOLAÇÃO Cálculo Numérico 3/57

4 MOTIVAÇÃO A seguinte tabela relaciona densidade da água e temperatura: Temperatura ( o C) Densidade (kg/m 3 ) 998,0 997,0 996,0 994,0 992,1 Suponha que se queira calcular: A densidade da água à 32,5 o C; A temperatura para a qual a densidade é 993,3 kg/m 3. Cálculo Numérico 4/57

5 MOTIVAÇÃO A seguinte tabela fornece os resultados do censo no Brasil, em milhões de pessoas, entre 1960 e Ano População (em milhões) 70 93, ,8 169,8 190,755 Poderíamos nos perguntar: Esses dados podem ser utilizados para fornecer uma estimativa razoável da população, digamos em 1983? Cálculo Numérico 5/57

6 Quando aplicar A interpolação nos ajuda a resolver estes tipos de problemas. Quando são somente conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor de um ponto não tabelado. Quando a expressão da função é complicada demais para ser integrada ou diferenciada. Cálculo Numérico 6/57

7 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Cálculo Numérico 7/57

8 Uma das classes mais conhecidas e úteis de funções que levam o conjunto de números reais em si mesmo é a classe dos : P n ( x) = a + a x + a x 2 +!+ a x n n n % = a x i ',& i i=0 (' a i R, i n Ζ + Cálculo Numérico 8/57

9 PORQUE POLINÔMIOS??? Dada qualquer função definida e contínua em um intervalo fechado, existe um polinômio que está tão próximo da função dada quanto quisermos. Cálculo Numérico 9/57

10 PORQUE POLINÔMIOS??? Cálculo Numérico 10/57

11 PORQUE POLINÔMIOS??? Suponha f definida e contínua em [a, b]. Para cada ε > 0, existe um polinômio P (x), tal que: f ( x) P( x) < ε, x [ a, b] Cálculo Numérico 11/57

12 PORQUE POLINÔMIOS???? Outra razão para considerar a classe de polinômios na aproximação de funções é que derivadas e integrais de polinômios são também polinômios, têm tratamento analítico simples. Cálculo Numérico 12/57

13 POLINÔMIOS INTERPOLADORES DE LAGRANGE Cálculo Numérico 13/57

14 Forma de Lagrange Iremos encontrar polinômios aproximadores que são determinados, simplesmente, especificando-se certos pontos no plano pelos quais eles devem passar. Caso mais simples Interpolação Linear P 1 ( x) = a + a x 0 1 Cálculo Numérico 14/57

15 Interpolação Linear Vamos supor, que temos valores para f (x) em apenas dois pontos, x 0 e x 1. Agora, queremos obter uma função que represente f (x) em todos os pontos x no intervalo [x 0, x 1 ]. Cálculo Numérico 15/57

16 Interpolação Linear P 1 (x) é a única função linear que passa por (x 0, f (x 0 )) e (x 1, f (x 1 )) y y = f (x) y = P 1 (x) y 1 = f (x 1 ) y 0 = f (x 0 ) x 0 x 1 Cálculo Numérico 16/57 x

17 Interpolação Linear Os coeficientes a 0 e a 1 de P 1 (x) devem ser tais que: P ( x ) = f x ( ) e P x 1 1 ( ) = f ( x ) 1 ou seja, o função f nos malhas de interpolação). P 1 (x) coincide com a x 0 e x 1 (também chamados Cálculo Numérico 17/57

18 Interpolação Linear Definiremos, então: P 1 ( x) = L ( x) f ( x ) + L ( x) f ( x ) onde: L 0 ( x) = x x 1, L ( x) = x x 0 x x 1 x x Cálculo Numérico 18/57

19 Interpolação Polinomial de ordem n Para generalizar o conceito de interpolação linear, vamos considerar a construção de um polinômio de grau n (maior potência de x é, possivelmente, n) que interpola f nos pontos x 0, x 1,..., x n. Os coeficientes a k de P n (x) devem ser tais que: P n ( x ) = f ( x ), k k k (1) Cálculo Numérico 19/57

20 Definiremos as funções L i (x) com a seguinte propriedade: L i ( x ) = δ = k ik " $ # %$ 1, se i = k 0, se i k, i = 0,1,!, n Delta de Kronecker Cálculo Numérico 20/57

21 Caso tais funções existam, a expressão: P n n ( x) = L ( x) f ( x ) k = 0 n, k k satisfaz, por construção, a eq. (1). Determinando as funções L i (x), P n (x) é facilmente obtido. Cálculo Numérico 21/57

22 Para satisfazer L n,k (x i ) = 0, para cada i k, é necessário que o numerador de L n,k (x i ) contenha o termo: ( x x )( x x )!( x x )( x x )!( x x ) 0 1 k 1 k+1 n Para satisfazer L n,k (x k ) = 1, para cada i = k, o denominador de L n,k (x i ) deve ser igual ao numerador calculado em x = x k. L n,k = ( x x 0 )!( x x )( k 1 x x k+1 )!( x x ) n ( x k x 0 )!( x k x )( k 1 x k x k+1 )!( x k x ) n Cálculo Numérico 22/57

23 N-ésimo polinômio interpolador Se x 0, x 1,..., x n são n+1 números distintos e f é uma função cujos valores são dados nesses números, então existe um único polinômio P(x) de grau no máximo n com: f ( x ) = P( x ), k k para cada k = 0,1,!, n Cálculo Numérico 23/57

24 N-ésimo polinômio interpolador Esse polinômio é dado por: P n ( x) = f ( x 0 )L ( n,0 x) +!+ f ( x n )L ( n,n x) n k=0 = f ( x k )L n,k x onde, para cada k = 0, 1,..., n: L n,k ( x) = n i=0 i k ( ) ( x x ) i ( x k x ) i Cálculo Numérico 24/57

25 Exemplo 3 Use os nós x 0 = 2, x 1 = 2,5, x 2 = 4 para determinar o segundo polinômio interpolador para f (x) = 1/x. Cálculo Numérico 25/57

26 EXERCÍCIO Determine o polinômio interpolador para os pontos: i x i f (x i ) A resposta será: P 2 ( x) = 2x 2 3x +1 Cálculo Numérico 26/57

27 Qual o erro envolvido??? Agora, vamos apresentar um para o erro envolvido na aproximação de uma função por um polinômio interpolador. Cálculo Numérico 27/57

28 Suponha x 0 < x 1 <... < x n, (n + 1) pontos distintos em [x 0, x n ] e que. Então, para cada x em [x 0, x n ], existe um número ξ (x) (geralmente desconhecido) em ] x 0, x n [, tal que: onde P n (x) é o polinômio interpolador de f nos pontos x 0, x 1,..., x n. f C n+1 R x ( ) = f x ( ) P n x [ x 0, x n ] ( ) = f ( n+1 ) ( ξ ( x) ) ( n +1)! ( x x )( 0 x x 1 )!( x x ) n Cálculo Numérico 28/57

29 A fórmula para o erro tem uso limitado na prática, dado que serão raras as situações em que conheceremos f (n+1) (x), e o ponto ξ x nunca é conhecido. Cálculo Numérico 29/57

30 Sob as hipóteses do Teorema 2, podemos escrever a seguinte relação: R n ( x) = f ( x) P ( n x) ( x x )( 0 x x 1 )!( x x ) n M n+1 n +1 ( )! onde: M = n+ 1 máx x [ x, x ] 0 n f ( n+ 1 ) ( x) Cálculo Numérico 30/57

31 Exemplo 4 Determine o limitante para o erro cometido na aproximação de f (x) = 1/x por P 2 (x) do exemplo 3. Erro para o Polinômio de Lagrange de ordem 2 ( f 2+1 ) ( ξ ( x) ) ( 2 +1)! ( x x )( 0 x x )( 1 x x ) 2 Cálculo Numérico 31/57

32 Na prática, geralmente, teremos apenas um conjunto de pontos que representa um problema, portanto não conhecemos f (x). Qual será o erro cometido devido à uma certa interpolação polinomial? Neste caso, não podemos fazer uma estimativa para o erro, quando usamos a interpolação de Lagrange. Cálculo Numérico 32/57

33 Nem sempre a aproximação baseada em é a que se aproxima mais do valor verdadeiro. Cálculo Numérico 33/57

34 Exemplo 6 A tabela abaixo fornece os valores de uma função em vários pontos. Compare as aproximações para f (1,5) obtidas pelos diversos polinômios de Lagrange. x f (x) 1,0 0, ,3 0, ,6 0, ,9 0, ,2 0, Cálculo Numérico 34/57

35 Exemplo 6 A função que está sendo aproximada é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero, cujo valor em 1,5 é conhecido como sendo 0, P n x ( ) = f x 0 n k=0 ( )L n,0 x L n,k P 1 P 2 = f ( x k )L n,k x ˆP 2 P 3 ˆP 3 ( x) = P 4 ( ) +!+ f x n n i=0 i k ( ) ( x x ) i ( x k x ) i ( )L n,n x ( ) Cálculo Numérico 35/57

36 Exemplo 6 A função que está sendo aproximada é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero, cujo valor em 1,5 é conhecido como sendo 0, P n (1,5) P 1 P 2 ˆP 2 P 3 ˆP 3 P 4 Valor 0, , , , , , precisão de Cálculo Numérico 36/57

37 Exemplo 6 Como coincidem até uma precisão de , espera-se essa ordem de precisão para essas aproximações. P 3 ( 1, 5), ˆP 3 ( 1, 5), P 4 ( 1, 5) Espera-se, também, que P 4 (1,5) seja a aproximação mais precisa, pois utiliza mais dados fornecidos. Cálculo Numérico 37/57

38 Exemplo 6 Comparação das aproximações com o valor exato f (1,5) = 0, P ( 1 1, 5) f ( 1, 5) 1, P ( 2 1, 5) f ( 1, 5) 5, ˆP ( 2 1, 5) f ( 1, 5) 6, P ( 3 1, 5) f ( 1, 5) 2, ˆP ( 3 1, 5) f ( 1, 5) 1, P ( 4 1, 5) f ( 1, 5) 7, Embora P 3 (1,5) seja a aproximação mais precisa, se não conhecermos o valor real de f (1,5) aceitaríamos P 4 (1,5) como a melhor aproximação Cálculo Numérico 38/57

39 Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, xiii, 721 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. xvi, 406 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 39/57